Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmpwsfi Structured version   Unicode version

Theorem frlmpwsfi 18550
 Description: The finite free module is a power of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frlmval.f freeLMod
Assertion
Ref Expression
frlmpwsfi ringLMod s

Proof of Theorem frlmpwsfi
StepHypRef Expression
1 fvex 5874 . . . . . 6 ringLMod
2 fnconstg 5771 . . . . . 6 ringLMod ringLMod
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ringLMod
4 dsmmfi 18536 . . . . 5 ringLMod m ringLMod s ringLMod
53, 4mpan 670 . . . 4 m ringLMod s ringLMod
65adantl 466 . . 3 m ringLMod s ringLMod
7 rlmsca 17629 . . . . 5 ScalarringLMod
87adantr 465 . . . 4 ScalarringLMod
98oveq1d 6297 . . 3 s ringLMod ScalarringLMods ringLMod
106, 9eqtrd 2508 . 2 m ringLMod ScalarringLMods ringLMod
11 frlmval.f . . 3 freeLMod
1211frlmval 18546 . 2 m ringLMod
13 eqid 2467 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s
14 eqid 2467 . . . . 5 ScalarringLMod ScalarringLMod
1513, 14pwsval 14737 . . . 4 ringLMod ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
161, 15mpan 670 . . 3 ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
1716adantl 466 . 2 ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
1810, 12, 173eqtr4d 2518 1 ringLMod s
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113  csn 4027   cxp 4997   wfn 5581  cfv 5586  (class class class)co 6282  cfn 7513  Scalarcsca 14554  scprds 14697   s cpws 14698  ringLModcrglmod 17598   m cdsmm 18529   freeLMod cfrlm 18544 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-prds 14699  df-pws 14701  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-dsmm 18530  df-frlm 18545 This theorem is referenced by:  lnrfrlm  30671
 Copyright terms: Public domain W3C validator