MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmpws Structured version   Unicode version

Theorem frlmpws 18541
Description: The free module as a restriction of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmpws.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
frlmpws  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )

Proof of Theorem frlmpws
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . 4  |-  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) ) )  =  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) ) )
21dsmmval2 18527 . . 3  |-  ( R 
(+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )s  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) ) )
3 rlmsca 17622 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  R  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  R  =  (Scalar `  (ringLMod `  R ) ) )
54oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
6 frlmval.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
76frlmval 18539 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F  =  ( R 
(+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
87eqcomd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) )  =  F )
98fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )  =  ( Base `  F
) )
10 frlmpws.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
119, 10syl6eqr 2519 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )  =  B )
125, 11oveq12d 6293 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( ( R X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) )s  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) ) )  =  ( ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )s  B ) )
132, 12syl5eq 2513 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) )  =  ( ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )s  B ) )
14 fvex 5867 . . . . 5  |-  (ringLMod `  R
)  e.  _V
15 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( (ringLMod `  R )  ^s  I )  =  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )
16 eqid 2460 . . . . . 6  |-  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )
1715, 16pwsval 14730 . . . . 5  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  _V  /\  I  e.  W )  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
1814, 17mpan 670 . . . 4  |-  ( I  e.  W  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
1918adantl 466 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
2019oveq1d 6290 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B )  =  ( ( (Scalar `  (ringLMod `  R ) ) X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) )s  B ) )
2113, 7, 203eqtr4d 2511 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   {csn 4020    X. cxp 4990   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   ↾s cress 14480  Scalarcsca 14547   X_scprds 14690    ^s cpws 14691  ringLModcrglmod 17591    (+)m cdsmm 18522   freeLMod cfrlm 18537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-hom 14568  df-cco 14569  df-prds 14692  df-pws 14694  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-dsmm 18523  df-frlm 18538
This theorem is referenced by:  frlmsca  18544  frlm0  18545  frlmplusgval  18557  frlmsubgval  18558  frlmvscafval  18559  frlmgsumOLD  18561  frlmgsum  18562  frlmsplit2  18563  frlmip  18569  rrxprds  21549
  Copyright terms: Public domain W3C validator