Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmpws Structured version   Unicode version

Theorem frlmpws 19079
 Description: The free module as a restriction of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f freeLMod
frlmpws.b
Assertion
Ref Expression
frlmpws ringLMod s s

Proof of Theorem frlmpws
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . 4 m ringLMod m ringLMod
21dsmmval2 19065 . . 3 m ringLMod s ringLMods m ringLMod
3 rlmsca 18166 . . . . . 6 ScalarringLMod
43adantr 463 . . . . 5 ScalarringLMod
54oveq1d 6293 . . . 4 s ringLMod ScalarringLMods ringLMod
6 frlmval.f . . . . . . . 8 freeLMod
76frlmval 19077 . . . . . . 7 m ringLMod
87eqcomd 2410 . . . . . 6 m ringLMod
98fveq2d 5853 . . . . 5 m ringLMod
10 frlmpws.b . . . . 5
119, 10syl6eqr 2461 . . . 4 m ringLMod
125, 11oveq12d 6296 . . 3 s ringLMods m ringLMod ScalarringLMods ringLMods
132, 12syl5eq 2455 . 2 m ringLMod ScalarringLMods ringLMods
14 fvex 5859 . . . . 5 ringLMod
15 eqid 2402 . . . . . 6 ringLMod s ringLMod s
16 eqid 2402 . . . . . 6 ScalarringLMod ScalarringLMod
1715, 16pwsval 15100 . . . . 5 ringLMod ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
1814, 17mpan 668 . . . 4 ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
1918adantl 464 . . 3 ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
2019oveq1d 6293 . 2 ringLMod s s ScalarringLMods ringLMods
2113, 7, 203eqtr4d 2453 1 ringLMod s s
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3059  csn 3972   cxp 4821  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841   ↾s cress 14842  Scalarcsca 14912  scprds 15060   s cpws 15061  ringLModcrglmod 18135   m cdsmm 19060   freeLMod cfrlm 19075 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-prds 15062  df-pws 15064  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-dsmm 19061  df-frlm 19076 This theorem is referenced by:  frlmsca  19082  frlm0  19083  frlmplusgval  19093  frlmsubgval  19094  frlmvscafval  19095  frlmgsumOLD  19097  frlmgsum  19098  frlmsplit2  19099  frlmip  19105  rrxprds  22113
 Copyright terms: Public domain W3C validator