Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmplusgval Unicode version

Theorem frlmplusgval 27097
Description: Addition in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgval.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmplusgval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmplusgval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
frlmplusgval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
frlmplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
frlmplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
frlmplusgval.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
frlmplusgval.p  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
frlmplusgval  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  o F  .+  G
) )

Proof of Theorem frlmplusgval
StepHypRef Expression
1 frlmplusgval.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
2 frlmplusgval.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 frlmplusgval.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
4 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
53, 4frlmpws 27086 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
61, 2, 5syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
76fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) ) )
8 frlmplusgval.p . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
9 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
10 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) )  =  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  ( Base `  Y
) )
11 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
1210, 11ressplusg 13526 . . . . 5  |-  ( (
Base `  Y )  e.  _V  ->  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) ) )
139, 12ax-mp 8 . . . 4  |-  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
147, 8, 133eqtr4g 2461 . . 3  |-  ( ph  -> 
.+b  =  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
1514oveqd 6057 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F ( +g  `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) ) G ) )
16 eqid 2404 . . 3  |-  ( (ringLMod `  R )  ^s  I )  =  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )
17 eqid 2404 . . 3  |-  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( Base `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
18 fvex 5701 . . . 4  |-  (ringLMod `  R
)  e.  _V
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  R )  e.  _V )
20 frlmplusgval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
213, 20frlmpws 27086 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
221, 2, 21syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
2322fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
2420, 23syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
25 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B )  =  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B )
2625, 17ressbasss 13476 . . . . 5  |-  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) )  C_  ( Base `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
2724, 26syl6eqss 3358 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
28 frlmplusgval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2927, 28sseldd 3309 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
30 frlmplusgval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
3127, 30sseldd 3309 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
32 frlmplusgval.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
33 rlmplusg 16223 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
3432, 33eqtri 2424 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
3516, 17, 19, 2, 29, 31, 34, 11pwsplusgval 13667 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) G )  =  ( F  o F  .+  G
) )
3615, 35eqtrd 2436 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  o F  .+  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   +g cplusg 13484    ^s cpws 13625  ringLModcrglmod 16196   freeLMod cfrlm 27080
This theorem is referenced by:  frlmup1  27118  matplusg2  27345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-dsmm 27066  df-frlm 27082
  Copyright terms: Public domain W3C validator