MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmplusgval Structured version   Unicode version

Theorem frlmplusgval 18091
Description: Addition in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgval.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmplusgval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmplusgval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
frlmplusgval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
frlmplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
frlmplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
frlmplusgval.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
frlmplusgval.p  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
frlmplusgval  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  oF  .+  G
) )

Proof of Theorem frlmplusgval
StepHypRef Expression
1 frlmplusgval.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
2 frlmplusgval.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 frlmplusgval.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
4 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
53, 4frlmpws 18075 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
61, 2, 5syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
76fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) ) )
8 frlmplusgval.p . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
9 fvex 5698 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
10 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) )  =  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  ( Base `  Y
) )
11 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
1210, 11ressplusg 14276 . . . . 5  |-  ( (
Base `  Y )  e.  _V  ->  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) ) )
139, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
147, 8, 133eqtr4g 2498 . . 3  |-  ( ph  -> 
.+b  =  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
1514oveqd 6107 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F ( +g  `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) ) G ) )
16 eqid 2441 . . 3  |-  ( (ringLMod `  R )  ^s  I )  =  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )
17 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( Base `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
18 fvex 5698 . . . 4  |-  (ringLMod `  R
)  e.  _V
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  R )  e.  _V )
20 frlmplusgval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
213, 20frlmpws 18075 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
221, 2, 21syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
2322fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
2420, 23syl5eq 2485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
25 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B )  =  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B )
2625, 17ressbasss 14226 . . . . 5  |-  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) )  C_  ( Base `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
2724, 26syl6eqss 3403 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
28 frlmplusgval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2927, 28sseldd 3354 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
30 frlmplusgval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
3127, 30sseldd 3354 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
32 frlmplusgval.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
33 rlmplusg 17255 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
3432, 33eqtri 2461 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
3516, 17, 19, 2, 29, 31, 34, 11pwsplusgval 14424 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) G )  =  ( F  oF  .+  G
) )
3615, 35eqtrd 2473 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  oF  .+  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oFcof 6317   Basecbs 14170   ↾s cress 14171   +g cplusg 14234    ^s cpws 14381  ringLModcrglmod 17228   freeLMod cfrlm 18071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-hom 14258  df-cco 14259  df-prds 14382  df-pws 14384  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-dsmm 18057  df-frlm 18072
This theorem is referenced by:  frlmphl  18106  frlmup1  18126  matplusg2  18227  zlmodzxzadd  30655
  Copyright terms: Public domain W3C validator