MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmplusgval Structured version   Unicode version

Theorem frlmplusgval 18580
Description: Addition in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgval.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmplusgval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmplusgval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
frlmplusgval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
frlmplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
frlmplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
frlmplusgval.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
frlmplusgval.p  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
frlmplusgval  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  oF  .+  G
) )

Proof of Theorem frlmplusgval
StepHypRef Expression
1 frlmplusgval.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
2 frlmplusgval.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 frlmplusgval.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
4 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
53, 4frlmpws 18564 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
61, 2, 5syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
76fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) ) )
8 frlmplusgval.p . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
9 fvex 5875 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
10 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) )  =  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  ( Base `  Y
) )
11 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
1210, 11ressplusg 14596 . . . . 5  |-  ( (
Base `  Y )  e.  _V  ->  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) ) )
139, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
147, 8, 133eqtr4g 2533 . . 3  |-  ( ph  -> 
.+b  =  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
1514oveqd 6300 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F ( +g  `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) ) G ) )
16 eqid 2467 . . 3  |-  ( (ringLMod `  R )  ^s  I )  =  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )
17 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( Base `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
18 fvex 5875 . . . 4  |-  (ringLMod `  R
)  e.  _V
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  R )  e.  _V )
20 frlmplusgval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
213, 20frlmpws 18564 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
221, 2, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
2322fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
2420, 23syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
25 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B )  =  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B )
2625, 17ressbasss 14546 . . . . 5  |-  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) )  C_  ( Base `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
2724, 26syl6eqss 3554 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
28 frlmplusgval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2927, 28sseldd 3505 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
30 frlmplusgval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
3127, 30sseldd 3505 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
32 frlmplusgval.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
33 rlmplusg 17637 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
3432, 33eqtri 2496 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
3516, 17, 19, 2, 29, 31, 34, 11pwsplusgval 14744 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) G )  =  ( F  oF  .+  G
) )
3615, 35eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  oF  .+  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    oFcof 6521   Basecbs 14489   ↾s cress 14490   +g cplusg 14554    ^s cpws 14701  ringLModcrglmod 17610   freeLMod cfrlm 18560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-hom 14578  df-cco 14579  df-prds 14702  df-pws 14704  df-sra 17613  df-rgmod 17614  df-dsmm 18546  df-frlm 18561
This theorem is referenced by:  frlmphl  18595  frlmup1  18615  matplusg2  18712  zlmodzxzadd  32031
  Copyright terms: Public domain W3C validator