MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmplusgval Structured version   Unicode version

Theorem frlmplusgval 18670
Description: Addition in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgval.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmplusgval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmplusgval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
frlmplusgval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
frlmplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
frlmplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
frlmplusgval.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
frlmplusgval.p  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
frlmplusgval  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  oF  .+  G
) )

Proof of Theorem frlmplusgval
StepHypRef Expression
1 frlmplusgval.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
2 frlmplusgval.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 frlmplusgval.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
4 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
53, 4frlmpws 18654 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
61, 2, 5syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
76fveq2d 5860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) ) )
8 frlmplusgval.p . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
9 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
10 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) )  =  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  ( Base `  Y
) )
11 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
1210, 11ressplusg 14616 . . . . 5  |-  ( (
Base `  Y )  e.  _V  ->  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) ) )
139, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( +g  `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  ( Base `  Y
) ) )
147, 8, 133eqtr4g 2509 . . 3  |-  ( ph  -> 
.+b  =  ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
1514oveqd 6298 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F ( +g  `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) ) G ) )
16 eqid 2443 . . 3  |-  ( (ringLMod `  R )  ^s  I )  =  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )
17 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( Base `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
18 fvex 5866 . . . 4  |-  (ringLMod `  R
)  e.  _V
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  R )  e.  _V )
20 frlmplusgval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
213, 20frlmpws 18654 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
221, 2, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
2322fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
2420, 23syl5eq 2496 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
25 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B )  =  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B )
2625, 17ressbasss 14566 . . . . 5  |-  ( Base `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) )  C_  ( Base `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
2724, 26syl6eqss 3539 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
28 frlmplusgval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2927, 28sseldd 3490 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
30 frlmplusgval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
3127, 30sseldd 3490 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
32 frlmplusgval.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
33 rlmplusg 17716 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
3432, 33eqtri 2472 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
3516, 17, 19, 2, 29, 31, 34, 11pwsplusgval 14764 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) G )  =  ( F  oF  .+  G
) )
3615, 35eqtrd 2484 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  oF  .+  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523   Basecbs 14509   ↾s cress 14510   +g cplusg 14574    ^s cpws 14721  ringLModcrglmod 17689   freeLMod cfrlm 18650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-prds 14722  df-pws 14724  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-dsmm 18636  df-frlm 18651
This theorem is referenced by:  frlmphl  18685  frlmup1  18705  matplusg2  18802  zlmodzxzadd  32675
  Copyright terms: Public domain W3C validator