MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphllem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frlmphllem 19331
Description: Lemma for frlmphl 19332. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmphl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
frlmphl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
frlmphl.v  |-  V  =  ( Base `  Y
)
frlmphl.j  |-  .,  =  ( .i `  Y )
frlmphl.o  |-  O  =  ( 0g `  Y
)
frlmphl.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmphl.s  |-  .*  =  ( *r `  R )
frlmphl.f  |-  ( ph  ->  R  e. Field )
frlmphl.m  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  ( g  .,  g )  =  .0.  )  ->  g  =  O )
frlmphl.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .*  `  x )  =  x )
frlmphl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
Assertion
Ref Expression
frlmphllem  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) finSupp  .0.  )
Distinct variable groups:    B, g, x    g, I, x    R, g, x    g, V, x   
g, W, x    .x. , g, x    B, h, g, x   
h, I    R, h    h, V    h, W    g, Y, h, x    .0. , g, h, x    ph, g, h, x    ., , g, h, x    .x. , h    g, O, h   
x,  .*
Allowed substitution hints:    .* ( g, h)    O( x)

Proof of Theorem frlmphllem
StepHypRef Expression
1 frlmphl.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
213ad2ant1 1028 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  I  e.  W )
3 simp2 1008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g  e.  V )
4 frlmphl.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
5 frlmphl.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 frlmphl.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  Y
)
74, 5, 6frlmbasmap 19315 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  W  /\  g  e.  V )  ->  g  e.  ( B  ^m  I ) )
82, 3, 7syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g  e.  ( B  ^m  I ) )
9 elmapi 7490 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( B  ^m  I )  ->  g : I --> B )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g :
I --> B )
11 ffn 5726 . . . . . 6  |-  ( g : I --> B  -> 
g  Fn  I )
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g  Fn  I )
13 simp3 1009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h  e.  V )
144, 5, 6frlmbasmap 19315 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  W  /\  h  e.  V )  ->  h  e.  ( B  ^m  I ) )
152, 13, 14syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h  e.  ( B  ^m  I ) )
16 elmapi 7490 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( B  ^m  I )  ->  h : I --> B )
1715, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h :
I --> B )
18 ffn 5726 . . . . . 6  |-  ( h : I --> B  ->  h  Fn  I )
1917, 18syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h  Fn  I )
20 inidm 3640 . . . . 5  |-  ( I  i^i  I )  =  I
21 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  =  ( g `  x ) )
22 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  (
h `  x )  =  ( h `  x ) )
2312, 19, 2, 2, 20, 21, 22offval 6535 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( g  oF  .x.  h )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) ) )
2423oveq1d 6303 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( (
g  oF  .x.  h ) supp  .0.  )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) supp 
.0.  ) )
25 ovex 6316 . . . . 5  |-  ( g  oF  .x.  h
)  e.  _V
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( g  oF  .x.  h )  e.  _V )
27 funmpt 5617 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) )
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( g  oF  .x.  h )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) )  ->  Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) )
29 funeq 5600 . . . . . 6  |-  ( ( g  oF  .x.  h )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) )  ->  ( Fun  (
g  oF  .x.  h )  <->  Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) ) )
3028, 29mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( g  oF  .x.  h )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) )  ->  Fun  ( g  oF  .x.  h ) )
3123, 30syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  Fun  ( g  oF  .x.  h
) )
32 frlmphl.0 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
334, 32, 6frlmbasfsupp 19314 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  W  /\  g  e.  V )  ->  g finSupp  .0.  )
342, 3, 33syl2anc 666 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g finSupp  .0.  )
35 frlmphl.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e. Field )
36 isfld 17977 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. Field 
<->  ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing ) )
3735, 36sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing ) )
3837simpld 461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  DivRing )
39 drngring 17975 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
4038, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
41403ad2ant1 1028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  R  e.  Ring )
425, 32ring0cl 17795 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
4341, 42syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  .0.  e.  B )
44 frlmphl.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
455, 44, 32ringlz 17810 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .x.  x )  =  .0.  )
4641, 45sylan 474 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .x.  x )  =  .0.  )
472, 43, 10, 17, 46suppofss1d 6949 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( (
g  oF  .x.  h ) supp  .0.  )  C_  ( g supp  .0.  )
)
48 fsuppsssupp 7896 . . . . 5  |-  ( ( ( ( g  oF  .x.  h )  e.  _V  /\  Fun  ( g  oF  .x.  h ) )  /\  ( g finSupp  .0.  /\  ( ( g  oF  .x.  h ) supp 
.0.  )  C_  (
g supp  .0.  ) )
)  ->  ( g  oF  .x.  h ) finSupp  .0.  )
4948fsuppimpd 7887 . . . 4  |-  ( ( ( ( g  oF  .x.  h )  e.  _V  /\  Fun  ( g  oF  .x.  h ) )  /\  ( g finSupp  .0.  /\  ( ( g  oF  .x.  h ) supp 
.0.  )  C_  (
g supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
g  oF  .x.  h ) supp  .0.  )  e.  Fin )
5026, 31, 34, 47, 49syl22anc 1268 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( (
g  oF  .x.  h ) supp  .0.  )  e.  Fin )
5124, 50eqeltrrd 2529 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin )
5227a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) )
53 mptexg 6133 . . . 4  |-  ( I  e.  W  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) )  e.  _V )
542, 53syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) )  e.  _V )
55 fvex 5873 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5632, 55eqeltri 2524 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
5756a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  .0.  e.  _V )
58 funisfsupp 7885 . . 3  |-  ( ( Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) )  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) ) finSupp  .0.  <->  (
( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) )
5952, 54, 57, 58syl3anc 1267 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) ) finSupp  .0. 
<->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
)
6051, 59mpbird 236 1  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    oFcof 6526   supp csupp 6911    ^m cmap 7469   Fincfn 7566   finSupp cfsupp 7880   Basecbs 15114   .rcmulr 15184   *rcstv 15185   .icip 15188   0gc0g 15331   Ringcrg 17773   CRingccrg 17774   DivRingcdr 17968  Fieldcfield 17969   freeLMod cfrlm 19302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-fz 11782  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-prds 15339  df-pws 15341  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mgp 17717  df-ring 17775  df-drng 17970  df-field 17971  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-dsmm 19288  df-frlm 19303
This theorem is referenced by:  frlmphl  19332
  Copyright terms: Public domain W3C validator