MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphllem Structured version   Unicode version

Theorem frlmphllem 19269
Description: Lemma for frlmphl 19270. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmphl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
frlmphl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
frlmphl.v  |-  V  =  ( Base `  Y
)
frlmphl.j  |-  .,  =  ( .i `  Y )
frlmphl.o  |-  O  =  ( 0g `  Y
)
frlmphl.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmphl.s  |-  .*  =  ( *r `  R )
frlmphl.f  |-  ( ph  ->  R  e. Field )
frlmphl.m  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  ( g  .,  g )  =  .0.  )  ->  g  =  O )
frlmphl.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .*  `  x )  =  x )
frlmphl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
Assertion
Ref Expression
frlmphllem  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) finSupp  .0.  )
Distinct variable groups:    B, g, x    g, I, x    R, g, x    g, V, x   
g, W, x    .x. , g, x    B, h, g, x   
h, I    R, h    h, V    h, W    g, Y, h, x    .0. , g, h, x    ph, g, h, x    ., , g, h, x    .x. , h    g, O, h   
x,  .*
Allowed substitution hints:    .* ( g, h)    O( x)

Proof of Theorem frlmphllem
StepHypRef Expression
1 frlmphl.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
213ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  I  e.  W )
3 simp2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g  e.  V )
4 frlmphl.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
5 frlmphl.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 frlmphl.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  Y
)
74, 5, 6frlmbasmap 19253 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  W  /\  g  e.  V )  ->  g  e.  ( B  ^m  I ) )
82, 3, 7syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g  e.  ( B  ^m  I ) )
9 elmapi 7501 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( B  ^m  I )  ->  g : I --> B )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g :
I --> B )
11 ffn 5746 . . . . . 6  |-  ( g : I --> B  -> 
g  Fn  I )
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g  Fn  I )
13 simp3 1007 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h  e.  V )
144, 5, 6frlmbasmap 19253 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  W  /\  h  e.  V )  ->  h  e.  ( B  ^m  I ) )
152, 13, 14syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h  e.  ( B  ^m  I ) )
16 elmapi 7501 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( B  ^m  I )  ->  h : I --> B )
1715, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h :
I --> B )
18 ffn 5746 . . . . . 6  |-  ( h : I --> B  ->  h  Fn  I )
1917, 18syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h  Fn  I )
20 inidm 3677 . . . . 5  |-  ( I  i^i  I )  =  I
21 eqidd 2430 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  =  ( g `  x ) )
22 eqidd 2430 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  (
h `  x )  =  ( h `  x ) )
2312, 19, 2, 2, 20, 21, 22offval 6552 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( g  oF  .x.  h )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) ) )
2423oveq1d 6320 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( (
g  oF  .x.  h ) supp  .0.  )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) supp 
.0.  ) )
25 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( g  oF  .x.  h
)  e.  _V
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( g  oF  .x.  h )  e.  _V )
27 funmpt 5637 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) )
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( g  oF  .x.  h )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) )  ->  Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) )
29 funeq 5620 . . . . . 6  |-  ( ( g  oF  .x.  h )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) )  ->  ( Fun  (
g  oF  .x.  h )  <->  Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) ) )
3028, 29mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( g  oF  .x.  h )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) )  ->  Fun  ( g  oF  .x.  h ) )
3123, 30syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  Fun  ( g  oF  .x.  h
) )
32 frlmphl.0 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
334, 32, 6frlmbasfsupp 19252 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  W  /\  g  e.  V )  ->  g finSupp  .0.  )
342, 3, 33syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g finSupp  .0.  )
35 frlmphl.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e. Field )
36 isfld 17919 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. Field 
<->  ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing ) )
3735, 36sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing ) )
3837simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  DivRing )
39 drngring 17917 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
4038, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
41403ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  R  e.  Ring )
425, 32ring0cl 17737 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
4341, 42syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  .0.  e.  B )
44 frlmphl.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
455, 44, 32ringlz 17752 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .x.  x )  =  .0.  )
4641, 45sylan 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .x.  x )  =  .0.  )
472, 43, 10, 17, 46suppofss1d 6963 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( (
g  oF  .x.  h ) supp  .0.  )  C_  ( g supp  .0.  )
)
48 fsuppsssupp 7905 . . . . 5  |-  ( ( ( ( g  oF  .x.  h )  e.  _V  /\  Fun  ( g  oF  .x.  h ) )  /\  ( g finSupp  .0.  /\  ( ( g  oF  .x.  h ) supp 
.0.  )  C_  (
g supp  .0.  ) )
)  ->  ( g  oF  .x.  h ) finSupp  .0.  )
4948fsuppimpd 7896 . . . 4  |-  ( ( ( ( g  oF  .x.  h )  e.  _V  /\  Fun  ( g  oF  .x.  h ) )  /\  ( g finSupp  .0.  /\  ( ( g  oF  .x.  h ) supp 
.0.  )  C_  (
g supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
g  oF  .x.  h ) supp  .0.  )  e.  Fin )
5026, 31, 34, 47, 49syl22anc 1265 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( (
g  oF  .x.  h ) supp  .0.  )  e.  Fin )
5124, 50eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin )
5227a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) )
53 mptexg 6150 . . . 4  |-  ( I  e.  W  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) )  e.  _V )
542, 53syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) )  e.  _V )
55 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5632, 55eqeltri 2513 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
5756a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  .0.  e.  _V )
58 funisfsupp 7894 . . 3  |-  ( ( Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) )  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) ) finSupp  .0.  <->  (
( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) )
5952, 54, 57, 58syl3anc 1264 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) ) finSupp  .0. 
<->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
)
6051, 59mpbird 235 1  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543   supp csupp 6925    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   finSupp cfsupp 7889   Basecbs 15084   .rcmulr 15153   *rcstv 15154   .icip 15157   0gc0g 15297   Ringcrg 17715   CRingccrg 17716   DivRingcdr 17910  Fieldcfield 17911   freeLMod cfrlm 19240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mgp 17659  df-ring 17717  df-drng 17912  df-field 17913  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-dsmm 19226  df-frlm 19241
This theorem is referenced by:  frlmphl  19270
  Copyright terms: Public domain W3C validator