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Theorem frlmphl 19416
Description: Conditions for a free module to be a pre-Hilbert space. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmphl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
frlmphl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
frlmphl.v  |-  V  =  ( Base `  Y
)
frlmphl.j  |-  .,  =  ( .i `  Y )
frlmphl.o  |-  O  =  ( 0g `  Y
)
frlmphl.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmphl.s  |-  .*  =  ( *r `  R )
frlmphl.f  |-  ( ph  ->  R  e. Field )
frlmphl.m  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  ( g  .,  g )  =  .0.  )  ->  g  =  O )
frlmphl.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .*  `  x )  =  x )
frlmphl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
Assertion
Ref Expression
frlmphl  |-  ( ph  ->  Y  e.  PreHil )
Distinct variable groups:    B, g, x    g, I, x    R, g, x    g, V, x   
g, W, x    .x. , g, x    g, Y, x    .0. , g, x    ph, g, x    ., , g, x    g, O   
x,  .*
Allowed substitution hints:    .* ( g)    O( x)

Proof of Theorem frlmphl
Dummy variables  f 
e  h  i  y  z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmphl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  Y
)
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  Y ) )
3 eqidd 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
4 eqidd 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  Y
)  =  ( .s
`  Y ) )
5 frlmphl.j . . 3  |-  .,  =  ( .i `  Y )
65a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  .,  =  ( .i
`  Y ) )
7 frlmphl.o . . 3  |-  O  =  ( 0g `  Y
)
87a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  O  =  ( 0g
`  Y ) )
9 frlmphl.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e. Field )
10 isfld 18062 . . . . 5  |-  ( R  e. Field 
<->  ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing ) )
119, 10sylib 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing ) )
1211simpld 466 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  DivRing )
13 frlmphl.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
14 frlmphl.y . . . 4  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
1514frlmsca 19393 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  W )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
1612, 13, 15syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  Y ) )
17 frlmphl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
1817a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
19 eqidd 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  R ) )
20 frlmphl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2120a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
22 frlmphl.s . . 3  |-  .*  =  ( *r `  R )
2322a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  .*  =  ( *r `  R ) )
24 frlmphl.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2524a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  R ) )
26 drngring 18060 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2712, 26syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2814frlmlmod 19389 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  Y  e.  LMod )
2927, 13, 28syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
3016, 12eqeltrrd 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  (Scalar `  Y )  e.  DivRing )
31 eqid 2471 . . . 4  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
3231islvec 18405 . . 3  |-  ( Y  e.  LVec  <->  ( Y  e. 
LMod  /\  (Scalar `  Y
)  e.  DivRing ) )
3329, 30, 32sylanbrc 677 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  LVec )
3411simprd 470 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
35 frlmphl.u . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .*  `  x )  =  x )
3617, 22, 34, 35idsrngd 18168 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
37133ad2ant1 1051 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  I  e.  W )
38273ad2ant1 1051 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  R  e.  Ring )
39 simp2 1031 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g  e.  V )
40 simp3 1032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h  e.  V )
4114, 17, 20, 1, 5frlmipval 19414 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V ) )  -> 
( g  .,  h
)  =  ( R 
gsumg  ( g  oF  .x.  h ) ) )
4237, 38, 39, 40, 41syl22anc 1293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( g  .,  h )  =  ( R  gsumg  ( g  oF  .x.  h ) ) )
4314, 17, 1frlmbasmap 19399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  W  /\  g  e.  V )  ->  g  e.  ( B  ^m  I ) )
4437, 39, 43syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g  e.  ( B  ^m  I ) )
45 elmapi 7511 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( B  ^m  I )  ->  g : I --> B )
4644, 45syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g :
I --> B )
47 ffn 5739 . . . . . . 7  |-  ( g : I --> B  -> 
g  Fn  I )
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  g  Fn  I )
4914, 17, 1frlmbasmap 19399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  W  /\  h  e.  V )  ->  h  e.  ( B  ^m  I ) )
5037, 40, 49syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h  e.  ( B  ^m  I ) )
51 elmapi 7511 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( B  ^m  I )  ->  h : I --> B )
5250, 51syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h :
I --> B )
53 ffn 5739 . . . . . . 7  |-  ( h : I --> B  ->  h  Fn  I )
5452, 53syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  h  Fn  I )
55 inidm 3632 . . . . . 6  |-  ( I  i^i  I )  =  I
56 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  =  ( g `  x ) )
57 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  (
h `  x )  =  ( h `  x ) )
5848, 54, 37, 37, 55, 56, 57offval 6557 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( g  oF  .x.  h )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) ) )
5958oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( R  gsumg  ( g  oF  .x.  h ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) ) ) )
6042, 59eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( g  .,  h )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) ) ) )
61 ringcmn 17889 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6227, 61syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
63623ad2ant1 1051 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  R  e. CMnd )
6438adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
6546ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  B )
6652ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  (
h `  x )  e.  B )
6717, 20ringcl 17872 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
g `  x )  e.  B  /\  (
h `  x )  e.  B )  ->  (
( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) )  e.  B )
6864, 65, 66, 67syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  (
( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) )  e.  B )
69 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) )
7068, 69fmptd 6061 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) : I --> B )
71 frlmphl.m . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  ( g  .,  g )  =  .0.  )  ->  g  =  O )
7214, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 71, 35, 13frlmphllem 19415 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) finSupp  .0.  )
7317, 24, 63, 37, 70, 72gsumcl 17627 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( h `  x ) ) ) )  e.  B )
7460, 73eqeltrd 2549 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( g  .,  h )  e.  B
)
75 eqid 2471 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
76623ad2ant1 1051 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  R  e. CMnd )
77133ad2ant1 1051 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  I  e.  W )
78273ad2ant1 1051 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  R  e.  Ring )
7978adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
80 simp2 1031 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
k  e.  B )
8180adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  k  e.  B )
82 simp31 1066 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
g  e.  V )
8377, 82, 43syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
g  e.  ( B  ^m  I ) )
8483, 45syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
g : I --> B )
8584ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  B )
86 simp33 1068 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
i  e.  V )
8714, 17, 1frlmbasmap 19399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  W  /\  i  e.  V )  ->  i  e.  ( B  ^m  I ) )
8877, 86, 87syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
i  e.  ( B  ^m  I ) )
89 elmapi 7511 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( B  ^m  I )  ->  i : I --> B )
9088, 89syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
i : I --> B )
9190ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
i `  x )  e.  B )
9217, 20ringcl 17872 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
g `  x )  e.  B  /\  (
i `  x )  e.  B )  ->  (
( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) )  e.  B )
9379, 85, 91, 92syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) )  e.  B )
9417, 20ringcl 17872 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  k  e.  B  /\  (
( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) )  e.  B )  ->  (
k  .x.  ( (
g `  x )  .x.  ( i `  x
) ) )  e.  B )
9579, 81, 93, 94syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
k  .x.  ( (
g `  x )  .x.  ( i `  x
) ) )  e.  B )
96 simp32 1067 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  h  e.  V )
9777, 96, 49syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  h  e.  ( B  ^m  I ) )
9897, 51syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  h : I --> B )
9998ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
h `  x )  e.  B )
10017, 20ringcl 17872 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
h `  x )  e.  B  /\  (
i `  x )  e.  B )  ->  (
( h `  x
)  .x.  ( i `  x ) )  e.  B )
10179, 99, 91, 100syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
)  .x.  ( i `  x ) )  e.  B )
102 eqidd 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( k 
.x.  ( ( g `
 x )  .x.  ( i `  x
) ) ) ) )
103 eqidd 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
i `  x )
) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) ) )
104 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
105104oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
k  .x.  ( g `  x ) )  =  ( k  .x.  (
g `  y )
) )
106105cbvmptv 4488 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( k 
.x.  ( g `  x ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `  y
) ) )
107106oveq1i 6318 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `
 x ) ) )  oF  .x.  i )  =  ( ( y  e.  I  |->  ( k  .x.  (
g `  y )
) )  oF  .x.  i )
10817, 20ringcl 17872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  k  e.  B  /\  (
g `  x )  e.  B )  ->  (
k  .x.  ( g `  x ) )  e.  B )
10979, 81, 85, 108syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
k  .x.  ( g `  x ) )  e.  B )
110 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  I  |->  ( k 
.x.  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `  x
) ) )
111109, 110fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
g `  x )
) ) : I --> B )
112 ffn 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `
 x ) ) ) : I --> B  -> 
( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
g `  x )
) )  Fn  I
)
113111, 112syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
g `  x )
) )  Fn  I
)
114106fneq1i 5680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `
 x ) ) )  Fn  I  <->  ( y  e.  I  |->  ( k 
.x.  ( g `  y ) ) )  Fn  I )
115113, 114sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( k  .x.  (
g `  y )
) )  Fn  I
)
116 ffn 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( i : I --> B  -> 
i  Fn  I )
11790, 116syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
i  Fn  I )
118 eqidd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `
 y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( k 
.x.  ( g `  y ) ) ) )
119 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V
) )  /\  x  e.  I )  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
120119fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V
) )  /\  x  e.  I )  /\  y  =  x )  ->  (
g `  y )  =  ( g `  x ) )
121120oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V
) )  /\  x  e.  I )  /\  y  =  x )  ->  (
k  .x.  ( g `  y ) )  =  ( k  .x.  (
g `  x )
) )
122 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
123 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( k 
.x.  ( g `  x ) )  e. 
_V
124123a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
k  .x.  ( g `  x ) )  e. 
_V )
125118, 121, 122, 124fvmptd 5969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y  e.  I  |->  ( k  .x.  (
g `  y )
) ) `  x
)  =  ( k 
.x.  ( g `  x ) ) )
126 eqidd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
i `  x )  =  ( i `  x ) )
127115, 117, 77, 77, 55, 125, 126offval 6557 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( y  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `  y
) ) )  oF  .x.  i )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( k 
.x.  ( g `  x ) )  .x.  ( i `  x
) ) ) )
12817, 20ringass 17875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
k  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B  /\  ( i `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
k  .x.  ( g `  x ) )  .x.  ( i `  x
) )  =  ( k  .x.  ( ( g `  x ) 
.x.  ( i `  x ) ) ) )
12979, 81, 85, 91, 128syl13anc 1294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( k  .x.  (
g `  x )
)  .x.  ( i `  x ) )  =  ( k  .x.  (
( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) ) )
130129mpteq2dva 4482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( k  .x.  ( g `  x
) )  .x.  (
i `  x )
) )  =  ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( ( g `  x ) 
.x.  ( i `  x ) ) ) ) )
131127, 130eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( y  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `  y
) ) )  oF  .x.  i )  =  ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ) )
132107, 131syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `  x
) ) )  oF  .x.  i )  =  ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ) )
133 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `
 x ) ) )  oF  .x.  i )  e.  _V
134133a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `  x
) ) )  oF  .x.  i )  e.  _V )
135 funmpt 5625 . . . . . . 7  |-  Fun  (
z  e.  I  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `  x
) ) ) `  z )  .x.  (
i `  z )
) )
136 eqidd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  z  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
g `  x )
) ) `  z
)  =  ( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `
 x ) ) ) `  z ) )
137 eqidd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  z  e.  I )  ->  (
i `  z )  =  ( i `  z ) )
138113, 117, 77, 77, 55, 136, 137offval 6557 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `  x
) ) )  oF  .x.  i )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `
 x ) ) ) `  z ) 
.x.  ( i `  z ) ) ) )
139138funeqd 5610 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( Fun  ( (
x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `
 x ) ) )  oF  .x.  i )  <->  Fun  ( z  e.  I  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
g `  x )
) ) `  z
)  .x.  ( i `  z ) ) ) ) )
140135, 139mpbiri 241 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  Fun  ( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `  x
) ) )  oF  .x.  i ) )
141 simp3 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )  ->  i  e.  V )
14213, 141anim12i 576 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( I  e.  W  /\  i  e.  V
) )
1431423adant2 1049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( I  e.  W  /\  i  e.  V
) )
14414, 24, 1frlmbasfsupp 19398 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  i  e.  V )  ->  i finSupp  .0.  )
145143, 144syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
i finSupp  .0.  )
14617, 24ring0cl 17880 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
14778, 146syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  .0.  e.  B )
14817, 20, 24ringrz 17896 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  B )  ->  (
y  .x.  .0.  )  =  .0.  )
14978, 148sylan 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  y  e.  B )  ->  (
y  .x.  .0.  )  =  .0.  )
15077, 147, 111, 90, 149suppofss2d 6972 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  ( k 
.x.  ( g `  x ) ) )  oF  .x.  i
) supp  .0.  )  C_  ( i supp  .0.  )
)
151 fsuppsssupp 7917 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( x  e.  I  |->  ( k 
.x.  ( g `  x ) ) )  oF  .x.  i
)  e.  _V  /\  Fun  ( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `  x
) ) )  oF  .x.  i ) )  /\  ( i finSupp  .0.  /\  ( ( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `
 x ) ) )  oF  .x.  i ) supp  .0.  )  C_  ( i supp  .0.  )
) )  ->  (
( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
g `  x )
) )  oF  .x.  i ) finSupp  .0.  )
152134, 140, 145, 150, 151syl22anc 1293 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  ( g `  x
) ) )  oF  .x.  i ) finSupp  .0.  )
153132, 152eqbrtrrd 4418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) ) ) finSupp  .0.  )
154 simp1 1030 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  ph )
155 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  h  ->  (
g  e.  V  <->  h  e.  V ) )
156 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  h  ->  g  =  h )
157156, 156oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  h  ->  (
g  .,  g )  =  ( h  .,  h ) )
158157eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  h  ->  (
( g  .,  g
)  =  .0.  <->  ( h  .,  h )  =  .0.  ) )
159155, 1583anbi23d 1368 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
( ph  /\  g  e.  V  /\  (
g  .,  g )  =  .0.  )  <->  ( ph  /\  h  e.  V  /\  ( h  .,  h )  =  .0.  ) ) )
160 eqeq1 2475 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
g  =  O  <->  h  =  O ) )
161159, 160imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
( ( ph  /\  g  e.  V  /\  ( g  .,  g
)  =  .0.  )  ->  g  =  O )  <-> 
( ( ph  /\  h  e.  V  /\  ( h  .,  h )  =  .0.  )  ->  h  =  O )
) )
162161, 71chvarv 2120 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  h  e.  V  /\  ( h  .,  h )  =  .0.  )  ->  h  =  O )
16314, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 162, 35, 13frlmphllem 19415 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) 
.x.  ( i `  x ) ) ) finSupp  .0.  )
164154, 96, 86, 163syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) finSupp  .0.  )
16517, 24, 75, 76, 77, 95, 101, 102, 103, 153, 164gsummptfsadd 17635 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( k  .x.  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ( +g  `  R ) ( ( h `  x ) 
.x.  ( i `  x ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ) ) )
16614, 17, 20frlmip 19413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  DivRing )  -> 
( g  e.  ( B  ^m  I ) ,  h  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) ) ) )  =  ( .i `  Y ) )
16713, 12, 166syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( B  ^m  I ) ,  h  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) ) ) )  =  ( .i `  Y ) )
168167, 5syl6reqr 2524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .,  =  ( g  e.  ( B  ^m  I ) ,  h  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) ) ) )
169 fveq1 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  g  ->  (
e `  x )  =  ( g `  x ) )
170169oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  g  ->  (
( e `  x
)  .x.  ( f `  x ) )  =  ( ( g `  x )  .x.  (
f `  x )
) )
171170mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  g  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( e `  x
)  .x.  ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( f `  x
) ) ) )
172171oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  g  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( e `  x )  .x.  (
f `  x )
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
f `  x )
) ) ) )
173 fveq1 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  x )  =  ( h `  x ) )
174173oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( g `  x
)  .x.  ( f `  x ) )  =  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) )
175174mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( g `  x
)  .x.  ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) ) )
176175oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
f `  x )
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) ) ) )
177172, 176cbvmpt2v 6390 . . . . . . 7  |-  ( e  e.  ( B  ^m  I ) ,  f  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( e `  x )  .x.  (
f `  x )
) ) ) )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I
) ,  h  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( h `  x ) ) ) ) )
178168, 177syl6eqr 2523 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .,  =  ( e  e.  ( B  ^m  I ) ,  f  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( e `  x )  .x.  (
f `  x )
) ) ) ) )
1791783ad2ant1 1051 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  .,  =  ( e  e.  ( B  ^m  I
) ,  f  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( e `  x ) 
.x.  ( f `  x ) ) ) ) ) )
180 simprl 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h )  /\  f  =  i ) )  ->  e  =  ( ( k ( .s
`  Y ) g ) ( +g  `  Y
) h ) )
181180fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h )  /\  f  =  i ) )  ->  ( e `  x )  =  ( ( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y ) h ) `
 x ) )
182 simprr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h )  /\  f  =  i ) )  ->  f  =  i )
183182fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h )  /\  f  =  i ) )  ->  ( f `  x )  =  ( i `  x ) )
184181, 183oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h )  /\  f  =  i ) )  ->  ( ( e `
 x )  .x.  ( f `  x
) )  =  ( ( ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h ) `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) )
185184mpteq2dv 4483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h )  /\  f  =  i ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( e `
 x )  .x.  ( f `  x
) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y
) h ) `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) )
186185oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h )  /\  f  =  i ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( e `  x ) 
.x.  ( f `  x ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y
) h ) `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ) )
187293ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  Y  e.  LMod )
188163ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  R  =  (Scalar `  Y
) )
189188fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
19017, 189syl5eq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  B  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
19180, 190eleqtrd 2551 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
k  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
192 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
193 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
1941, 31, 192, 193lmodvscl 18186 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  g  e.  V )  ->  ( k ( .s
`  Y ) g )  e.  V )
195187, 191, 82, 194syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( k ( .s
`  Y ) g )  e.  V )
196 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
1971, 196lmodvacl 18183 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  (
k ( .s `  Y ) g )  e.  V  /\  h  e.  V )  ->  (
( k ( .s
`  Y ) g ) ( +g  `  Y
) h )  e.  V )
198187, 195, 96, 197syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y ) h )  e.  V )
19914, 17, 1frlmbasmap 19399 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y ) h )  e.  V )  -> 
( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y ) h )  e.  ( B  ^m  I ) )
20077, 198, 199syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y ) h )  e.  ( B  ^m  I ) )
201 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y
) h ) `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) )  e. 
_V
202201a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y
) h ) `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) )  e. 
_V )
203179, 186, 200, 88, 202ovmpt2d 6443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h )  .,  i
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y
) h ) `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ) )
20414, 1, 78, 77, 195, 96, 75, 196frlmplusgval 19403 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y ) h )  =  ( ( k ( .s `  Y
) g )  oF ( +g  `  R
) h ) )
20514, 17, 1frlmbasmap 19399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( k ( .s
`  Y ) g )  e.  V )  ->  ( k ( .s `  Y ) g )  e.  ( B  ^m  I ) )
20677, 195, 205syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( k ( .s
`  Y ) g )  e.  ( B  ^m  I ) )
207 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k ( .s `  Y ) g )  e.  ( B  ^m  I )  ->  (
k ( .s `  Y ) g ) : I --> B )
208 ffn 5739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k ( .s `  Y ) g ) : I --> B  -> 
( k ( .s
`  Y ) g )  Fn  I )
209206, 207, 2083syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( k ( .s
`  Y ) g )  Fn  I )
21098, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  ->  h  Fn  I )
21177adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
21282adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  g  e.  V )
21314, 1, 17, 211, 81, 212, 122, 192, 20frlmvscaval 19406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( k ( .s
`  Y ) g ) `  x )  =  ( k  .x.  ( g `  x
) ) )
214 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
h `  x )  =  ( h `  x ) )
215209, 210, 77, 77, 55, 213, 214offval 6557 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( k ( .s `  Y ) g )  oF ( +g  `  R
) h )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( k  .x.  ( g `  x
) ) ( +g  `  R ) ( h `
 x ) ) ) )
216204, 215eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y ) h )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( k 
.x.  ( g `  x ) ) ( +g  `  R ) ( h `  x
) ) ) )
217 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  .x.  ( g `
 x ) ) ( +g  `  R
) ( h `  x ) )  e. 
_V
218217a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( k  .x.  (
g `  x )
) ( +g  `  R
) ( h `  x ) )  e. 
_V )
219216, 218fvmpt2d 5974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y ) h ) `
 x )  =  ( ( k  .x.  ( g `  x
) ) ( +g  `  R ) ( h `
 x ) ) )
220219oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h ) `  x
)  .x.  ( i `  x ) )  =  ( ( ( k 
.x.  ( g `  x ) ) ( +g  `  R ) ( h `  x
) )  .x.  (
i `  x )
) )
22117, 75, 20ringdir 17878 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( k  .x.  (
g `  x )
)  e.  B  /\  ( h `  x
)  e.  B  /\  ( i `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
( k  .x.  (
g `  x )
) ( +g  `  R
) ( h `  x ) )  .x.  ( i `  x
) )  =  ( ( ( k  .x.  ( g `  x
) )  .x.  (
i `  x )
) ( +g  `  R
) ( ( h `
 x )  .x.  ( i `  x
) ) ) )
22279, 109, 99, 91, 221syl13anc 1294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( k  .x.  ( g `  x
) ) ( +g  `  R ) ( h `
 x ) ) 
.x.  ( i `  x ) )  =  ( ( ( k 
.x.  ( g `  x ) )  .x.  ( i `  x
) ) ( +g  `  R ) ( ( h `  x ) 
.x.  ( i `  x ) ) ) )
223129oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( k  .x.  ( g `  x
) )  .x.  (
i `  x )
) ( +g  `  R
) ( ( h `
 x )  .x.  ( i `  x
) ) )  =  ( ( k  .x.  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ( +g  `  R ) ( ( h `  x ) 
.x.  ( i `  x ) ) ) )
224220, 222, 2233eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h ) `  x
)  .x.  ( i `  x ) )  =  ( ( k  .x.  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ( +g  `  R ) ( ( h `  x ) 
.x.  ( i `  x ) ) ) )
225224mpteq2dva 4482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( ( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y
) h ) `  x )  .x.  (
i `  x )
) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( k  .x.  (
( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( h `
 x )  .x.  ( i `  x
) ) ) ) )
226225oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( ( k ( .s `  Y ) g ) ( +g  `  Y
) h ) `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( k  .x.  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ( +g  `  R ) ( ( h `  x ) 
.x.  ( i `  x ) ) ) ) ) )
227203, 226eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h )  .,  i
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( k  .x.  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ( +g  `  R ) ( ( h `  x ) 
.x.  ( i `  x ) ) ) ) ) )
228 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  g  /\  f  =  i ) )  ->  e  =  g )
229228fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  g  /\  f  =  i ) )  ->  ( e `  x )  =  ( g `  x ) )
230 simprr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  g  /\  f  =  i ) )  ->  f  =  i )
231230fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  g  /\  f  =  i ) )  ->  ( f `  x )  =  ( i `  x ) )
232229, 231oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  g  /\  f  =  i ) )  ->  ( ( e `
 x )  .x.  ( f `  x
) )  =  ( ( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) )
233232mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  g  /\  f  =  i ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( e `
 x )  .x.  ( f `  x
) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) )
234233oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  g  /\  f  =  i ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( e `  x ) 
.x.  ( f `  x ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ) )
235 ovex 6336 . . . . . . . 8  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) )  e. 
_V
236235a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) )  e. 
_V )
237179, 234, 83, 88, 236ovmpt2d 6443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( g  .,  i
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ) )
238237oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( k  .x.  (
g  .,  i )
)  =  ( k 
.x.  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( i `  x ) ) ) ) ) )
23914, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 71, 35, 13frlmphllem 19415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  i  e.  V
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x ) 
.x.  ( i `  x ) ) ) finSupp  .0.  )
240154, 82, 86, 239syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) finSupp  .0.  )
24117, 24, 75, 20, 78, 77, 80, 93, 240gsummulc2 17913 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) ) ) )  =  ( k  .x.  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ) ) )
242238, 241eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( k  .x.  (
g  .,  i )
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) ) ) ) )
243 simprl 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  h  /\  f  =  i ) )  ->  e  =  h )
244243fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  h  /\  f  =  i ) )  ->  ( e `  x )  =  ( h `  x ) )
245 simprr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  h  /\  f  =  i ) )  ->  f  =  i )
246245fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  h  /\  f  =  i ) )  ->  ( f `  x )  =  ( i `  x ) )
247244, 246oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  h  /\  f  =  i ) )  ->  ( ( e `
 x )  .x.  ( f `  x
) )  =  ( ( h `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) )
248247mpteq2dv 4483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  h  /\  f  =  i ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( e `
 x )  .x.  ( f `  x
) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) )
249248oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B  /\  (
g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V )
)  /\  ( e  =  h  /\  f  =  i ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( e `  x ) 
.x.  ( f `  x ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ) )
250 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) )  e. 
_V
251250a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) )  e. 
_V )
252179, 249, 97, 88, 251ovmpt2d 6443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( h  .,  i
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ) )
253242, 252oveq12d 6326 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( k  .x.  ( g  .,  i
) ) ( +g  `  R ) ( h 
.,  i ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( k  .x.  (
( g `  x
)  .x.  ( i `  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
i `  x )
) ) ) ) )
254165, 227, 2533eqtr4d 2515 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B  /\  ( g  e.  V  /\  h  e.  V  /\  i  e.  V ) )  -> 
( ( ( k ( .s `  Y
) g ) ( +g  `  Y ) h )  .,  i
)  =  ( ( k  .x.  ( g 
.,  i ) ) ( +g  `  R
) ( h  .,  i ) ) )
255343ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  R  e.  CRing
)
256255adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  CRing )
25717, 20crngcom 17873 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
h `  x )  e.  B  /\  (
g `  x )  e.  B )  ->  (
( h `  x
)  .x.  ( g `  x ) )  =  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) )
258256, 66, 65, 257syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
)  .x.  ( g `  x ) )  =  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) )
259258mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) 
.x.  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( g `
 x )  .x.  ( h `  x
) ) ) )
260259oveq2d 6324 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x
)  .x.  ( g `  x ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) ) ) )
2611783ad2ant1 1051 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  .,  =  ( e  e.  ( B  ^m  I ) ,  f  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( e `  x )  .x.  (
f `  x )
) ) ) ) )
262 simprl 772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  (
e  =  h  /\  f  =  g )
)  ->  e  =  h )
263262fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  (
e  =  h  /\  f  =  g )
)  ->  ( e `  x )  =  ( h `  x ) )
264 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  (
e  =  h  /\  f  =  g )
)  ->  f  =  g )
265264fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  (
e  =  h  /\  f  =  g )
)  ->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) )
266263, 265oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  (
e  =  h  /\  f  =  g )
)  ->  ( (
e `  x )  .x.  ( f `  x
) )  =  ( ( h `  x
)  .x.  ( g `  x ) ) )
267266mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  (
e  =  h  /\  f  =  g )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( e `  x ) 
.x.  ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x )  .x.  ( g `  x
) ) ) )
268267oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V )  /\  (
e  =  h  /\  f  =  g )
)  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( e `  x
)  .x.  ( f `  x ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )
269 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) )  e. 
_V
270269a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x
)  .x.  ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
271261, 268, 50, 44, 270ovmpt2d 6443 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  ( h  .,  g )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )
27235ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  (  .*  `  x )  =  x )
2732723ad2ant1 1051 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  A. x  e.  B  (  .*  `  x )  =  x )
274 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( g  .,  h )  ->  (  .*  `  x )  =  (  .*  `  (
g  .,  h )
) )
275 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( g  .,  h )  ->  x  =  ( g  .,  h ) )
276274, 275eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( g  .,  h )  ->  (
(  .*  `  x
)  =  x  <->  (  .*  `  ( g  .,  h
) )  =  ( g  .,  h ) ) )
277276rspcv 3132 . . . . 5  |-  ( ( g  .,  h )  e.  B  ->  ( A. x  e.  B  (  .*  `  x )  =  x  ->  (  .*  `  ( g  .,  h ) )  =  ( g  .,  h
) ) )
27874, 273, 277sylc 61 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  (  .*  `  ( g  .,  h
) )  =  ( g  .,  h ) )
279278, 60eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  (  .*  `  ( g  .,  h
) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( g `  x )  .x.  (
h `  x )
) ) ) )
280260, 271, 2793eqtr4rd 2516 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  V  /\  h  e.  V
)  ->  (  .*  `  ( g  .,  h
) )  =  ( h  .,  g ) )
2812, 3, 4, 6, 8, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 33, 36, 74, 254, 71, 280isphld 19298 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  PreHil )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310    oFcof 6548   supp csupp 6933    ^m cmap 7490   finSupp cfsupp 7901   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269   *rcstv 15270  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   .icip 15273   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417  CMndccmn 17508   Ringcrg 17858   CRingccrg 17859   DivRingcdr 18053  Fieldcfield 18054   LModclmod 18169   LVecclvec 18403   PreHilcphl 19268   freeLMod cfrlm 19386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-field 18056  df-subrg 18084  df-staf 18151  df-srng 18152  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lmhm 18323  df-lvec 18404  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-phl 19270  df-dsmm 19372  df-frlm 19387
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