MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmlss Structured version   Unicode version

Theorem frlmlss 18151
Description: The base set of the free module is a subspace of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmpws.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
frlmlss.u  |-  U  =  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
Assertion
Ref Expression
frlmlss  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  B  e.  U )

Proof of Theorem frlmlss
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpws.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  F
)
2 frlmval.f . . . . 5  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
32frlmval 18148 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  F  =  ( R  (+)m  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )
43fveq2d 5690 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  F )  =  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) ) )
51, 4syl5eq 2482 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  B  =  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) ) )
6 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  I  e.  W )
7 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  Ring )
8 rlmlmod 17263 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (ringLMod `  R )  e.  LMod )
10 fconst6g 5594 . . . . 5  |-  ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  -> 
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) : I --> LMod )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) : I --> LMod )
12 fvex 5696 . . . . . . . 8  |-  (ringLMod `  R
)  e.  _V
1312fvconst2 5928 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  I  ->  (
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) `  i )  =  (ringLMod `  R
) )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) `
 i )  =  (ringLMod `  R )
)
1514fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  (Scalar `  (
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) `  i ) )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R ) ) )
16 rlmsca 17258 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) )
1716ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  R  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) )
1815, 17eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  (Scalar `  (
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) `  i ) )  =  R )
19 eqid 2438 . . . 4  |-  ( R
X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )
20 eqid 2438 . . . 4  |-  ( LSubSp `  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )  =  ( LSubSp `  ( R X_s ( I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )
21 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) ) )  =  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) ) )
226, 7, 11, 18, 19, 20, 21dsmmlss 18144 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  ( R  (+)m  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  e.  (
LSubSp `  ( R X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) ) )
23 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( (ringLMod `  R )  ^s  I )  =  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )
24 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )
2523, 24pwsval 14416 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  _V  /\  I  e.  W )  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
2612, 25mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  W  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
2726adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
2816eqcomd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )  =  R )
2928adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (Scalar `  (ringLMod `  R )
)  =  R )
3029oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
(Scalar `  (ringLMod `  R
) ) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
3127, 30eqtr2d 2471 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
3231fveq2d 5690 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( LSubSp `
 ( R X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  =  (
LSubSp `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
33 frlmlss.u . . . 4  |-  U  =  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
3432, 33syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( LSubSp `
 ( R X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  =  U )
3522, 34eleqtrd 2514 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  ( R  (+)m  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  e.  U
)
365, 35eqeltrd 2512 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  B  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   {csn 3872    X. cxp 4833   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166  Scalarcsca 14233   X_scprds 14376    ^s cpws 14377   Ringcrg 16633   LModclmod 16926   LSubSpclss 16990  ringLModcrglmod 17227    (+)m cdsmm 18131   freeLMod cfrlm 18146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255  df-0g 14372  df-prds 14378  df-pws 14380  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-subg 15669  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-subrg 16841  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-dsmm 18132  df-frlm 18147
This theorem is referenced by:  frlm0  18154  frlmsubgval  18167  frlmgsumOLD  18170  frlmgsum  18171  frlmsplit2  18172
  Copyright terms: Public domain W3C validator