MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmlss Structured version   Unicode version

Theorem frlmlss 18908
Description: The base set of the free module is a subspace of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmpws.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
frlmlss.u  |-  U  =  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
Assertion
Ref Expression
frlmlss  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  B  e.  U )

Proof of Theorem frlmlss
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpws.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  F
)
2 frlmval.f . . . . 5  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
32frlmval 18905 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  F  =  ( R  (+)m  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )
43fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  F )  =  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) ) )
51, 4syl5eq 2510 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  B  =  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) ) )
6 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  I  e.  W )
7 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  Ring )
8 rlmlmod 17977 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (ringLMod `  R )  e.  LMod )
10 fconst6g 5780 . . . . 5  |-  ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  -> 
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) : I --> LMod )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) : I --> LMod )
12 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  (ringLMod `  R
)  e.  _V
1312fvconst2 6128 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  I  ->  (
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) `  i )  =  (ringLMod `  R
) )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) `
 i )  =  (ringLMod `  R )
)
1514fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  (Scalar `  (
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) `  i ) )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R ) ) )
16 rlmsca 17972 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) )
1716ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  R  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) )
1815, 17eqtr4d 2501 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  (Scalar `  (
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) `  i ) )  =  R )
19 eqid 2457 . . . 4  |-  ( R
X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )
20 eqid 2457 . . . 4  |-  ( LSubSp `  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )  =  ( LSubSp `  ( R X_s ( I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )
21 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) ) )  =  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) ) )
226, 7, 11, 18, 19, 20, 21dsmmlss 18901 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  ( R  (+)m  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  e.  (
LSubSp `  ( R X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) ) )
23 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( (ringLMod `  R )  ^s  I )  =  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )
24 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )
2523, 24pwsval 14902 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  _V  /\  I  e.  W )  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
2612, 25mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  W  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
2726adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
2816eqcomd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )  =  R )
2928adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (Scalar `  (ringLMod `  R )
)  =  R )
3029oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
(Scalar `  (ringLMod `  R
) ) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
3127, 30eqtr2d 2499 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
3231fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( LSubSp `
 ( R X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  =  (
LSubSp `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
33 frlmlss.u . . . 4  |-  U  =  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
3432, 33syl6eqr 2516 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( LSubSp `
 ( R X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  =  U )
3522, 34eleqtrd 2547 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  ( R  (+)m  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  e.  U
)
365, 35eqeltrd 2545 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  B  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   {csn 4032    X. cxp 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643  Scalarcsca 14714   X_scprds 14862    ^s cpws 14863   Ringcrg 17324   LModclmod 17638   LSubSpclss 17704  ringLModcrglmod 17941    (+)m cdsmm 18888   freeLMod cfrlm 18903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-hom 14735  df-cco 14736  df-0g 14858  df-prds 14864  df-pws 14866  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-subrg 17553  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-dsmm 18889  df-frlm 18904
This theorem is referenced by:  frlm0  18911  frlmsubgval  18924  frlmgsumOLD  18927  frlmgsum  18928  frlmsplit2  18929
  Copyright terms: Public domain W3C validator