MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmisfrlm Structured version   Unicode version

Theorem frlmisfrlm 19343
Description: A free module is isomorphic to a free module over the same (nonzero) ring, with the same cardinality. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
frlmisfrlm  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ( R freeLMod  I )  ~=ph𝑚  ( R freeLMod  J )
)

Proof of Theorem frlmisfrlm
StepHypRef Expression
1 nzrring 18426 . . . . 5  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( R freeLMod  I )  =  ( R freeLMod  I )
32frlmlmod 19249 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  Y )  ->  ( R freeLMod  I )  e.  LMod )
41, 3sylan 473 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y )  ->  ( R freeLMod  I )  e.  LMod )
543adant3 1025 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ( R freeLMod  I )  e.  LMod )
6 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( R unitVec  I )  =  ( R unitVec  I )
7 eqid 2420 . . . . . 6  |-  (LBasis `  ( R freeLMod  I ) )  =  (LBasis `  ( R freeLMod  I ) )
82, 6, 7frlmlbs 19292 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  Y )  ->  ran  ( R unitVec  I )  e.  (LBasis `  ( R freeLMod  I ) ) )
91, 8sylan 473 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y )  ->  ran  ( R unitVec  I )  e.  (LBasis `  ( R freeLMod  I ) ) )
1093adant3 1025 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ran  ( R unitVec  I )  e.  (LBasis `  ( R freeLMod  I ) ) )
11 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  I  ~~  J )
1211ensymd 7618 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  J  ~~  I )
136uvcendim 19342 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y )  ->  I  ~~  ran  ( R unitVec  I
) )
14133adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  I  ~~  ran  ( R unitVec  I
) )
15 entr 7619 . . . 4  |-  ( ( J  ~~  I  /\  I  ~~  ran  ( R unitVec  I ) )  ->  J  ~~  ran  ( R unitVec  I ) )
1612, 14, 15syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  J  ~~  ran  ( R unitVec  I
) )
17 eqid 2420 . . . 4  |-  (Scalar `  ( R freeLMod  I ) )  =  (Scalar `  ( R freeLMod  I ) )
1817, 7lbslcic 19336 . . 3  |-  ( ( ( R freeLMod  I )  e.  LMod  /\  ran  ( R unitVec  I )  e.  (LBasis `  ( R freeLMod  I )
)  /\  J  ~~  ran  ( R unitVec  I )
)  ->  ( R freeLMod  I )  ~=ph𝑚  ( (Scalar `  ( R freeLMod  I ) ) freeLMod  J
) )
195, 10, 16, 18syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ( R freeLMod  I )  ~=ph𝑚  ( (Scalar `  ( R freeLMod  I ) ) freeLMod  J
) )
202frlmsca 19253 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y )  ->  R  =  (Scalar `  ( R freeLMod  I ) ) )
21203adant3 1025 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  R  =  (Scalar `  ( R freeLMod  I ) ) )
2221oveq1d 6311 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ( R freeLMod  J )  =  ( (Scalar `  ( R freeLMod  I ) ) freeLMod  J ) )
2319, 22breqtrrd 4443 1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ( R freeLMod  I )  ~=ph𝑚  ( R freeLMod  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   class class class wbr 4417   ran crn 4846   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    ~~ cen 7565  Scalarcsca 15153   Ringcrg 17721   LModclmod 18032    ~=ph𝑚 clmic 18185  LBasisclbs 18238  NzRingcnzr 18422   freeLMod cfrlm 19246   unitVec cuvc 19277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-hom 15174  df-cco 15175  df-0g 15300  df-gsum 15301  df-prds 15306  df-pws 15308  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-mhm 16534  df-submnd 16535  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-mulg 16628  df-subg 16766  df-ghm 16833  df-cntz 16923  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-subrg 17947  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136  df-lmhm 18186  df-lmim 18187  df-lmic 18188  df-lbs 18239  df-sra 18336  df-rgmod 18337  df-nzr 18423  df-dsmm 19232  df-frlm 19247  df-uvc 19278  df-lindf 19301  df-linds 19302
This theorem is referenced by:  frlmiscvec  19344
  Copyright terms: Public domain W3C validator