MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmisfrlm Structured version   Unicode version

Theorem frlmisfrlm 18690
Description: A free module is isomorphic to a free module over the same (nonzero) ring, with the same cardinality. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
frlmisfrlm  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ( R freeLMod  I )  ~=ph𝑚  ( R freeLMod  J )
)

Proof of Theorem frlmisfrlm
StepHypRef Expression
1 nzrrng 17720 . . . . 5  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( R freeLMod  I )  =  ( R freeLMod  I )
32frlmlmod 18587 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  Y )  ->  ( R freeLMod  I )  e.  LMod )
41, 3sylan 471 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y )  ->  ( R freeLMod  I )  e.  LMod )
543adant3 1016 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ( R freeLMod  I )  e.  LMod )
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( R unitVec  I )  =  ( R unitVec  I )
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (LBasis `  ( R freeLMod  I ) )  =  (LBasis `  ( R freeLMod  I ) )
82, 6, 7frlmlbs 18638 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  Y )  ->  ran  ( R unitVec  I )  e.  (LBasis `  ( R freeLMod  I ) ) )
91, 8sylan 471 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y )  ->  ran  ( R unitVec  I )  e.  (LBasis `  ( R freeLMod  I ) ) )
1093adant3 1016 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ran  ( R unitVec  I )  e.  (LBasis `  ( R freeLMod  I ) ) )
11 simp3 998 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  I  ~~  J )
1211ensymd 7567 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  J  ~~  I )
136uvcendim 18689 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y )  ->  I  ~~  ran  ( R unitVec  I
) )
14133adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  I  ~~  ran  ( R unitVec  I
) )
15 entr 7568 . . . 4  |-  ( ( J  ~~  I  /\  I  ~~  ran  ( R unitVec  I ) )  ->  J  ~~  ran  ( R unitVec  I ) )
1612, 14, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  J  ~~  ran  ( R unitVec  I
) )
17 eqid 2467 . . . 4  |-  (Scalar `  ( R freeLMod  I ) )  =  (Scalar `  ( R freeLMod  I ) )
1817, 7lbslcic 18683 . . 3  |-  ( ( ( R freeLMod  I )  e.  LMod  /\  ran  ( R unitVec  I )  e.  (LBasis `  ( R freeLMod  I )
)  /\  J  ~~  ran  ( R unitVec  I )
)  ->  ( R freeLMod  I )  ~=ph𝑚  ( (Scalar `  ( R freeLMod  I ) ) freeLMod  J
) )
195, 10, 16, 18syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ( R freeLMod  I )  ~=ph𝑚  ( (Scalar `  ( R freeLMod  I ) ) freeLMod  J
) )
202frlmsca 18591 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y )  ->  R  =  (Scalar `  ( R freeLMod  I ) ) )
21203adant3 1016 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  R  =  (Scalar `  ( R freeLMod  I ) ) )
2221oveq1d 6300 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ( R freeLMod  J )  =  ( (Scalar `  ( R freeLMod  I ) ) freeLMod  J ) )
2319, 22breqtrrd 4473 1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  Y  /\  I  ~~  J )  ->  ( R freeLMod  I )  ~=ph𝑚  ( R freeLMod  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    ~~ cen 7514  Scalarcsca 14561   Ringcrg 17012   LModclmod 17324    ~=ph𝑚 clmic 17479  LBasisclbs 17532  NzRingcnzr 17716   freeLMod cfrlm 18584   unitVec cuvc 18620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430  df-lmhm 17480  df-lmim 17481  df-lmic 17482  df-lbs 17533  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-nzr 17717  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-uvc 18621  df-lindf 18648  df-linds 18649
This theorem is referenced by:  frlmiscvec  18691
  Copyright terms: Public domain W3C validator