MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmipval Structured version   Unicode version

Theorem frlmipval 18574
Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmphl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
frlmphl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
frlmphl.v  |-  V  =  ( Base `  Y
)
frlmphl.j  |-  .,  =  ( .i `  Y )
Assertion
Ref Expression
frlmipval  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( F  .,  G
)  =  ( R 
gsumg  ( F  oF  .x.  G ) ) )

Proof of Theorem frlmipval
Dummy variables  f 
g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  I  e.  W )
2 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  F  e.  V )
3 frlmphl.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
4 frlmphl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 frlmphl.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  Y
)
63, 4, 5frlmbasmap 18557 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  ( B  ^m  I ) )
71, 2, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  F  e.  ( B  ^m  I ) )
8 elmapi 7437 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( B  ^m  I )  ->  F : I --> B )
9 ffn 5729 . . . . 5  |-  ( F : I --> B  ->  F  Fn  I )
107, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  F  Fn  I )
11 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  G  e.  V )
123, 4, 5frlmbasmap 18557 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  G  e.  V )  ->  G  e.  ( B  ^m  I ) )
131, 11, 12syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  G  e.  ( B  ^m  I ) )
14 elmapi 7437 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( B  ^m  I )  ->  G : I --> B )
15 ffn 5729 . . . . 5  |-  ( G : I --> B  ->  G  Fn  I )
1613, 14, 153syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  G  Fn  I )
17 inidm 3707 . . . 4  |-  ( I  i^i  I )  =  I
18 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X )  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
19 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X )  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2010, 16, 1, 1, 17, 18, 19offval 6529 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( F  oF  .x.  G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) )
2120oveq2d 6298 . 2  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( R  gsumg  ( F  oF  .x.  G ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) 
.x.  ( G `  x ) ) ) ) )
22 ovex 6307 . . . 4  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) )  e. 
_V
2322a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) )  e. 
_V )
24 fveq1 5863 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
2524oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  .x.  ( g `  x ) )  =  ( ( F `  x )  .x.  (
g `  x )
) )
2625mpteq2dv 4534 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
)  .x.  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( g `  x
) ) ) )
2726oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )
28 fveq1 5863 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  x )  =  ( G `  x ) )
2928oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( F `  x
)  .x.  ( g `  x ) )  =  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) )
3029mpteq2dv 4534 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .x.  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  x ) ) ) )
3130oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) ) )
32 eqid 2467 . . . 4  |-  ( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )  =  ( f  e.  ( B  ^m  I
) ,  g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  x ) ) ) ) )
3327, 31, 32ovmpt2g 6419 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( B  ^m  I )  /\  G  e.  ( B  ^m  I )  /\  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) )  e. 
_V )  ->  ( F ( f  e.  ( B  ^m  I
) ,  g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  x ) ) ) ) ) G )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) 
.x.  ( G `  x ) ) ) ) )
347, 13, 23, 33syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( F ( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) ) G )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) ) )
35 frlmphl.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
363, 4, 35frlmip 18573 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )  =  ( .i `  Y ) )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )  =  ( .i `  Y ) )
38 frlmphl.j . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  Y )
3937, 38syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )  =  .,  )
4039oveqd 6299 . 2  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( F ( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) ) G )  =  ( F  .,  G ) )
4121, 34, 403eqtr2rd 2515 1  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( F  .,  G
)  =  ( R 
gsumg  ( F  oF  .x.  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    |-> cmpt 4505    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284    oFcof 6520    ^m cmap 7417   Basecbs 14483   .rcmulr 14549   .icip 14553    gsumg cgsu 14689   freeLMod cfrlm 18541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-hom 14572  df-cco 14573  df-0g 14690  df-prds 14696  df-pws 14698  df-sra 17598  df-rgmod 17599  df-dsmm 18527  df-frlm 18542
This theorem is referenced by:  frlmphl  18576  rrxcph  21556
  Copyright terms: Public domain W3C validator