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Theorem frlmipval 18202
Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmphl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
frlmphl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
frlmphl.v  |-  V  =  ( Base `  Y
)
frlmphl.j  |-  .,  =  ( .i `  Y )
Assertion
Ref Expression
frlmipval  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( F  .,  G
)  =  ( R 
gsumg  ( F  oF  .x.  G ) ) )

Proof of Theorem frlmipval
Dummy variables  f 
g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  I  e.  W )
2 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  F  e.  V )
3 frlmphl.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
4 frlmphl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 frlmphl.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  Y
)
63, 4, 5frlmbasmap 18185 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  ( B  ^m  I ) )
71, 2, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  F  e.  ( B  ^m  I ) )
8 elmapi 7232 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( B  ^m  I )  ->  F : I --> B )
9 ffn 5557 . . . . 5  |-  ( F : I --> B  ->  F  Fn  I )
107, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  F  Fn  I )
11 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  G  e.  V )
123, 4, 5frlmbasmap 18185 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  G  e.  V )  ->  G  e.  ( B  ^m  I ) )
131, 11, 12syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  G  e.  ( B  ^m  I ) )
14 elmapi 7232 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( B  ^m  I )  ->  G : I --> B )
15 ffn 5557 . . . . 5  |-  ( G : I --> B  ->  G  Fn  I )
1613, 14, 153syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  ->  G  Fn  I )
17 inidm 3557 . . . 4  |-  ( I  i^i  I )  =  I
18 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X )  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
19 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X )  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2010, 16, 1, 1, 17, 18, 19offval 6325 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( F  oF  .x.  G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) )
2120oveq2d 6105 . 2  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( R  gsumg  ( F  oF  .x.  G ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) 
.x.  ( G `  x ) ) ) ) )
22 ovex 6114 . . . 4  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) )  e. 
_V
2322a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) )  e. 
_V )
24 fveq1 5688 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
2524oveq1d 6104 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  .x.  ( g `  x ) )  =  ( ( F `  x )  .x.  (
g `  x )
) )
2625mpteq2dv 4377 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
)  .x.  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( g `  x
) ) ) )
2726oveq2d 6105 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )
28 fveq1 5688 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  x )  =  ( G `  x ) )
2928oveq2d 6105 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( F `  x
)  .x.  ( g `  x ) )  =  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) )
3029mpteq2dv 4377 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .x.  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  x ) ) ) )
3130oveq2d 6105 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) ) )
32 eqid 2441 . . . 4  |-  ( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )  =  ( f  e.  ( B  ^m  I
) ,  g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  x ) ) ) ) )
3327, 31, 32ovmpt2g 6223 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( B  ^m  I )  /\  G  e.  ( B  ^m  I )  /\  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) )  e. 
_V )  ->  ( F ( f  e.  ( B  ^m  I
) ,  g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  x ) ) ) ) ) G )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) 
.x.  ( G `  x ) ) ) ) )
347, 13, 23, 33syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( F ( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) ) G )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) ) )
35 frlmphl.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
363, 4, 35frlmip 18201 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )  =  ( .i `  Y ) )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )  =  ( .i `  Y ) )
38 frlmphl.j . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  Y )
3937, 38syl6eqr 2491 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) )  =  .,  )
4039oveqd 6106 . 2  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( F ( f  e.  ( B  ^m  I ) ,  g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  x )
) ) ) ) G )  =  ( F  .,  G ) )
4121, 34, 403eqtr2rd 2480 1  |-  ( ( ( I  e.  W  /\  R  e.  X
)  /\  ( F  e.  V  /\  G  e.  V ) )  -> 
( F  .,  G
)  =  ( R 
gsumg  ( F  oF  .x.  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2970    e. cmpt 4348    Fn wfn 5411   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091    oFcof 6316    ^m cmap 7212   Basecbs 14172   .rcmulr 14237   .icip 14241    gsumg cgsu 14377   freeLMod cfrlm 18169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-hom 14260  df-cco 14261  df-0g 14378  df-prds 14384  df-pws 14386  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-dsmm 18155  df-frlm 18170
This theorem is referenced by:  frlmphl  18204  rrxcph  20894
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