Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmip Structured version   Unicode version

Theorem frlmip 18787
 Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y freeLMod
frlmphl.b
frlmphl.t
Assertion
Ref Expression
frlmip g
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem frlmip
StepHypRef Expression
1 frlmphl.y . . . 4 freeLMod
2 eqid 2443 . . . . . . 7 freeLMod freeLMod
3 eqid 2443 . . . . . . 7 freeLMod freeLMod
42, 3frlmpws 18759 . . . . . 6 freeLMod ringLMod s s freeLMod
54ancoms 453 . . . . 5 freeLMod ringLMod s s freeLMod
6 frlmphl.b . . . . . . . . . . 11
76ressid 14674 . . . . . . . . . 10 s
8 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11 subringAlg subringAlg
96eqimssi 3543 . . . . . . . . . . . 12
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11
118, 10srasca 17806 . . . . . . . . . 10 s ScalarsubringAlg
127, 11eqtr3d 2486 . . . . . . . . 9 ScalarsubringAlg
1312oveq1d 6296 . . . . . . . 8 s subringAlg ScalarsubringAlg s subringAlg
1413adantl 466 . . . . . . 7 s subringAlg ScalarsubringAlg s subringAlg
15 fvex 5866 . . . . . . . . 9 subringAlg
16 rlmval 17816 . . . . . . . . . . . 12 ringLMod subringAlg
176fveq2i 5859 . . . . . . . . . . . 12 subringAlg subringAlg
1816, 17eqtr4i 2475 . . . . . . . . . . 11 ringLMod subringAlg
1918oveq1i 6291 . . . . . . . . . 10 ringLMod s subringAlg s
20 eqid 2443 . . . . . . . . . 10 ScalarsubringAlg ScalarsubringAlg
2119, 20pwsval 14865 . . . . . . . . 9 subringAlg ringLMod s ScalarsubringAlg s subringAlg
2215, 21mpan 670 . . . . . . . 8 ringLMod s ScalarsubringAlg s subringAlg
2322adantr 465 . . . . . . 7 ringLMod s ScalarsubringAlg s subringAlg
2414, 23eqtr4d 2487 . . . . . 6 s subringAlg ringLMod s
251fveq2i 5859 . . . . . . 7 freeLMod
2625a1i 11 . . . . . 6 freeLMod
2724, 26oveq12d 6299 . . . . 5 s subringAlg s ringLMod s s freeLMod
285, 27eqtr4d 2487 . . . 4 freeLMod s subringAlg s
291, 28syl5eq 2496 . . 3 s subringAlg s
3029fveq2d 5860 . 2 s subringAlg s
31 fvex 5866 . . . 4
32 eqid 2443 . . . . 5 s subringAlg s s subringAlg s
33 eqid 2443 . . . . 5 s subringAlg s subringAlg
3432, 33ressip 14759 . . . 4 s subringAlg s subringAlg s
3531, 34ax-mp 5 . . 3 s subringAlg s subringAlg s
36 eqid 2443 . . . . 5 s subringAlg s subringAlg
37 simpr 461 . . . . 5
38 snex 4678 . . . . . . 7 subringAlg
39 xpexg 6587 . . . . . . 7 subringAlg subringAlg
4038, 39mpan2 671 . . . . . 6 subringAlg
4140adantr 465 . . . . 5 subringAlg
42 eqid 2443 . . . . 5 s subringAlg s subringAlg
4315snnz 4133 . . . . . . 7 subringAlg
44 dmxp 5211 . . . . . . 7 subringAlg subringAlg
4543, 44ax-mp 5 . . . . . 6 subringAlg
4645a1i 11 . . . . 5 subringAlg
4736, 37, 41, 42, 46, 33prdsip 14840 . . . 4 s subringAlg s subringAlg s subringAlg g subringAlg
4836, 37, 41, 42, 46prdsbas 14836 . . . . . 6 s subringAlg subringAlg
49 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10 subringAlg subringAlg
509a1i 11 . . . . . . . . . 10
5149, 50srabase 17803 . . . . . . . . 9 subringAlg
526a1i 11 . . . . . . . . 9
5315fvconst2 6111 . . . . . . . . . 10 subringAlg subringAlg
5453fveq2d 5860 . . . . . . . . 9 subringAlg subringAlg
5551, 52, 543eqtr4rd 2495 . . . . . . . 8 subringAlg
5655adantl 466 . . . . . . 7 subringAlg
5756ixpeq2dva 7486 . . . . . 6 subringAlg
58 fvex 5866 . . . . . . . . 9
596, 58eqeltri 2527 . . . . . . . 8
60 ixpconstg 7480 . . . . . . . 8
6159, 60mpan2 671 . . . . . . 7
6261adantr 465 . . . . . 6
6348, 57, 623eqtrd 2488 . . . . 5 s subringAlg
64 frlmphl.t . . . . . . . . . 10
6553, 50sraip 17808 . . . . . . . . . 10 subringAlg
6664, 65syl5req 2497 . . . . . . . . 9 subringAlg
6766oveqd 6298 . . . . . . . 8 subringAlg
6867mpteq2ia 4519 . . . . . . 7 subringAlg
6968oveq2i 6292 . . . . . 6 g subringAlg g
7069a1i 11 . . . . 5 g subringAlg g
7163, 63, 70mpt2eq123dv 6344 . . . 4 s subringAlg s subringAlg g subringAlg g
7247, 71eqtrd 2484 . . 3 s subringAlg g
7335, 72syl5eqr 2498 . 2 s subringAlg s g
7430, 73eqtr2d 2485 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  cvv 3095   wss 3461  c0 3770  csn 4014   cmpt 4495   cxp 4987   cdm 4989  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283   cmap 7422  cixp 7471  cbs 14614   ↾s cress 14615  cmulr 14680  Scalarcsca 14682  cip 14684   g cgsu 14820  scprds 14825   s cpws 14826  subringAlg csra 17793  ringLModcrglmod 17794   freeLMod cfrlm 18755 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-hom 14703  df-cco 14704  df-prds 14827  df-pws 14829  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-dsmm 18741  df-frlm 18756 This theorem is referenced by:  frlmipval  18788  frlmphl  18790
 Copyright terms: Public domain W3C validator