Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmgsum Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frlmgsum 19323
 Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmgsum.y freeLMod
frlmgsum.b
frlmgsum.z
frlmgsum.i
frlmgsum.j
frlmgsum.r
frlmgsum.f
frlmgsum.w finSupp
Assertion
Ref Expression
frlmgsum g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   , ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem frlmgsum
StepHypRef Expression
1 frlmgsum.r . . . 4
2 frlmgsum.i . . . 4
3 frlmgsum.y . . . . 5 freeLMod
4 frlmgsum.b . . . . 5
53, 4frlmpws 19306 . . . 4 ringLMod s s
61, 2, 5syl2anc 666 . . 3 ringLMod s s
76oveq1d 6303 . 2 g ringLMod s s g
8 eqid 2450 . . 3 ringLMod s ringLMod s
9 eqid 2450 . . 3 ringLMod s ringLMod s
10 eqid 2450 . . 3 ringLMod s s ringLMod s s
11 ovex 6316 . . . 4 ringLMod s
1211a1i 11 . . 3 ringLMod s
13 frlmgsum.j . . 3
14 eqid 2450 . . . . . 6 ringLMod s ringLMod s
153, 4, 14frlmlss 19307 . . . . 5 ringLMod s
161, 2, 15syl2anc 666 . . . 4 ringLMod s
178, 14lssss 18153 . . . 4 ringLMod s ringLMod s
1816, 17syl 17 . . 3 ringLMod s
19 frlmgsum.f . . . 4
20 eqid 2450 . . . 4
2119, 20fmptd 6044 . . 3
22 rlmlmod 18421 . . . . . 6 ringLMod
231, 22syl 17 . . . . 5 ringLMod
24 eqid 2450 . . . . . 6 ringLMod s ringLMod s
2524pwslmod 18186 . . . . 5 ringLMod ringLMod s
2623, 2, 25syl2anc 666 . . . 4 ringLMod s
27 eqid 2450 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s
2827, 14lss0cl 18163 . . . 4 ringLMod s ringLMod s ringLMod s
2926, 16, 28syl2anc 666 . . 3 ringLMod s
30 lmodcmn 18129 . . . . . . 7 ringLMod ringLMod CMnd
3123, 30syl 17 . . . . . 6 ringLMod CMnd
32 cmnmnd 17438 . . . . . 6 ringLMod CMnd ringLMod
3331, 32syl 17 . . . . 5 ringLMod
3424pwsmnd 16564 . . . . 5 ringLMod ringLMod s
3533, 2, 34syl2anc 666 . . . 4 ringLMod s
368, 9, 27mndlrid 16549 . . . 4 ringLMod s ringLMod s ringLMod s ringLMod s ringLMod s ringLMod s
3735, 36sylan 474 . . 3 ringLMod s ringLMod s ringLMod s ringLMod s ringLMod s
388, 9, 10, 12, 13, 18, 21, 29, 37gsumress 16512 . 2 ringLMod s g ringLMod s s g
39 rlmbas 18411 . . . 4 ringLMod
402adantr 467 . . . . . . . . 9
41 eqid 2450 . . . . . . . . . 10
423, 41, 4frlmbasf 19316 . . . . . . . . 9
4340, 19, 42syl2anc 666 . . . . . . . 8
44 eqid 2450 . . . . . . . . 9
4544fmpt 6041 . . . . . . . 8
4643, 45sylibr 216 . . . . . . 7
4746r19.21bi 2756 . . . . . 6
4847an32s 812 . . . . 5
4948anasss 652 . . . 4
50 frlmgsum.w . . . . 5 finSupp
51 frlmgsum.z . . . . . 6
526fveq2d 5867 . . . . . . 7 ringLMod s s
5314lsssubg 18173 . . . . . . . . 9 ringLMod s ringLMod s SubGrpringLMod s
5426, 16, 53syl2anc 666 . . . . . . . 8 SubGrpringLMod s
5510, 27subg0 16816 . . . . . . . 8 SubGrpringLMod s ringLMod s ringLMod s s
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s s
5752, 56eqtr4d 2487 . . . . . 6 ringLMod s
5851, 57syl5eq 2496 . . . . 5 ringLMod s
5950, 58breqtrd 4426 . . . 4 finSupp ringLMod s
6024, 39, 27, 2, 13, 31, 49, 59pwsgsum 17604 . . 3 ringLMod s g ringLMod g
61 mptexg 6133 . . . . . 6
6213, 61syl 17 . . . . 5
63 fvex 5873 . . . . . 6 ringLMod
6463a1i 11 . . . . 5 ringLMod
6539a1i 11 . . . . 5 ringLMod
66 rlmplusg 18412 . . . . . 6 ringLMod
6766a1i 11 . . . . 5 ringLMod
6862, 1, 64, 65, 67gsumpropd 16508 . . . 4 g ringLMod g
6968mpteq2dv 4489 . . 3 g ringLMod g
7060, 69eqtr4d 2487 . 2 ringLMod s g g
717, 38, 703eqtr2d 2490 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736  cvv 3044   wss 3403   class class class wbr 4401   cmpt 4460  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288   finSupp cfsupp 7880  cbs 15114   ↾s cress 15115   cplusg 15183  c0g 15331   g cgsu 15332   s cpws 15338  cmnd 16528  SubGrpcsubg 16804  CMndccmn 17423  crg 17773  clmod 18084  clss 18148  ringLModcrglmod 18385   freeLMod cfrlm 19302 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-prds 15339  df-pws 15341  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-dsmm 19288  df-frlm 19303 This theorem is referenced by:  uvcresum  19344  matgsum  19455  aacllem  40527
 Copyright terms: Public domain W3C validator