MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmelbasOLD Structured version   Unicode version

Theorem frlmelbasOLD 18311
Description: Membership in the base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) Obsolete version of frlmelbas 18310 as of 23-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmelbasOLD.n  |-  N  =  ( Base `  R
)
frlmelbasOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmelbasOLD.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
frlmelbasOLD  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( X  e.  B  <->  ( X  e.  ( N  ^m  I )  /\  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin ) ) )

Proof of Theorem frlmelbasOLD
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmval.f . . . . 5  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
2 frlmelbasOLD.n . . . . 5  |-  N  =  ( Base `  R
)
3 frlmelbasOLD.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  { k  e.  ( N  ^m  I )  |  ( `' k " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { k  e.  ( N  ^m  I
)  |  ( `' k " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
51, 2, 3, 4frlmbasOLD 18309 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  { k  e.  ( N  ^m  I )  |  ( `' k
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  F )
)
6 frlmelbasOLD.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  F
)
75, 6syl6reqr 2514 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  B  =  { k  e.  ( N  ^m  I )  |  ( `' k " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )
87eleq2d 2524 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  { k  e.  ( N  ^m  I
)  |  ( `' k " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } ) )
9 cnveq 5124 . . . . 5  |-  ( k  =  X  ->  `' k  =  `' X
)
109imaeq1d 5279 . . . 4  |-  ( k  =  X  ->  ( `' k " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
1110eleq1d 2523 . . 3  |-  ( k  =  X  ->  (
( `' k "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
1211elrab 3224 . 2  |-  ( X  e.  { k  e.  ( N  ^m  I
)  |  ( `' k " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  <-> 
( X  e.  ( N  ^m  I )  /\  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
138, 12syl6bb 261 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( X  e.  B  <->  ( X  e.  ( N  ^m  I )  /\  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436   {csn 3988   `'ccnv 4950   "cima 4954   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   Basecbs 14295   0gc0g 14500   freeLMod cfrlm 18299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-prds 14508  df-pws 14510  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-dsmm 18285  df-frlm 18300
This theorem is referenced by:  frlmbassup  18314
  Copyright terms: Public domain W3C validator