Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmbasOLD Structured version   Unicode version

Theorem frlmbasOLD 19083
 Description: Base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) Obsolete version of frlmbas 19082 as of 23-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f freeLMod
frlmbasOLD.n
frlmbasOLD.z
frlmbasOLD.b
Assertion
Ref Expression
frlmbasOLD
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem frlmbasOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5858 . . . . 5 ringLMod
2 fnconstg 5755 . . . . 5 ringLMod ringLMod
31, 2ax-mp 5 . . . 4 ringLMod
4 eqid 2402 . . . . 5 s ringLMod s ringLMod
5 eqid 2402 . . . . 5 s ringLMod ringLMod s ringLMod ringLMod
64, 5dsmmbas2 19064 . . . 4 ringLMod s ringLMod ringLMod m ringLMod
73, 6mpan 668 . . 3 s ringLMod ringLMod m ringLMod
87adantl 464 . 2 s ringLMod ringLMod m ringLMod
9 frlmbasOLD.b . . 3
10 fvco2 5923 . . . . . . . . . . . 12 ringLMod ringLMod ringLMod
113, 10mpan 668 . . . . . . . . . . 11 ringLMod ringLMod
1211adantl 464 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLMod
131fvconst2 6106 . . . . . . . . . . . . 13 ringLMod ringLMod
1413adantl 464 . . . . . . . . . . . 12 ringLMod ringLMod
1514fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11 ringLMod ringLMod
16 frlmbasOLD.z . . . . . . . . . . . 12
17 rlm0 18161 . . . . . . . . . . . 12 ringLMod
1816, 17eqtri 2431 . . . . . . . . . . 11 ringLMod
1915, 18syl6eqr 2461 . . . . . . . . . 10 ringLMod
2012, 19eqtrd 2443 . . . . . . . . 9 ringLMod
2120neeq2d 2681 . . . . . . . 8 ringLMod
2221rabbidva 3049 . . . . . . 7 ringLMod
23 frlmbasOLD.n . . . . . . . . . . . . 13
24 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24eqeltri 2486 . . . . . . . . . . . 12
26 elmapg 7469 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26mpan 668 . . . . . . . . . . 11
2827adantl 464 . . . . . . . . . 10
2928biimpa 482 . . . . . . . . 9
30 ffn 5713 . . . . . . . . 9
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8
32 fn0g 16211 . . . . . . . . 9
33 ssv 3461 . . . . . . . . 9 ringLMod
34 fnco 5669 . . . . . . . . 9 ringLMod ringLMod ringLMod
3532, 3, 33, 34mp3an 1326 . . . . . . . 8 ringLMod
36 fndmdif 5968 . . . . . . . 8 ringLMod ringLMod ringLMod
3731, 35, 36sylancl 660 . . . . . . 7 ringLMod ringLMod
38 fnniniseg2OLD 5988 . . . . . . . 8
3931, 38syl 17 . . . . . . 7
4022, 37, 393eqtr4d 2453 . . . . . 6 ringLMod
4140eleq1d 2471 . . . . 5 ringLMod
4241rabbidva 3049 . . . 4 ringLMod
43 eqid 2402 . . . . . . . . 9 ringLMod s ringLMod s
44 rlmbas 18159 . . . . . . . . . 10 ringLMod
4523, 44eqtri 2431 . . . . . . . . 9 ringLMod
4643, 45pwsbas 15099 . . . . . . . 8 ringLMod ringLMod s
471, 46mpan 668 . . . . . . 7 ringLMod s
4847adantl 464 . . . . . 6 ringLMod s
49 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11 ScalarringLMod ScalarringLMod
5043, 49pwsval 15098 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
511, 50mpan 668 . . . . . . . . 9 ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
5251adantl 464 . . . . . . . 8 ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
53 rlmsca 18164 . . . . . . . . . 10 ScalarringLMod
5453adantr 463 . . . . . . . . 9 ScalarringLMod
5554oveq1d 6292 . . . . . . . 8 s ringLMod ScalarringLMods ringLMod
5652, 55eqtr4d 2446 . . . . . . 7 ringLMod s s ringLMod
5756fveq2d 5852 . . . . . 6 ringLMod s s ringLMod
5848, 57eqtrd 2443 . . . . 5 s ringLMod
59 rabeq 3052 . . . . 5 s ringLMod ringLMod s ringLMod ringLMod
6058, 59syl 17 . . . 4 ringLMod s ringLMod ringLMod
6142, 60eqtr3d 2445 . . 3 s ringLMod ringLMod
629, 61syl5eq 2455 . 2 s ringLMod ringLMod
63 frlmval.f . . . 4 freeLMod
6463frlmval 19075 . . 3 m ringLMod
6564fveq2d 5852 . 2 m ringLMod
668, 62, 653eqtr4d 2453 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  crab 2757  cvv 3058   cdif 3410   wss 3413  csn 3971   cxp 4820  ccnv 4821   cdm 4822   crn 4823  cima 4825   ccom 4826   wfn 5563  wf 5564  cfv 5568  (class class class)co 6277   cmap 7456  cfn 7553  cbs 14839  Scalarcsca 14910  c0g 15052  scprds 15058   s cpws 15059  ringLModcrglmod 18133   m cdsmm 19058   freeLMod cfrlm 19073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-prds 15060  df-pws 15062  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-dsmm 19059  df-frlm 19074 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator