MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmbas3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frlmbas3 19334
Description: An element of the base set of a finite free module with a Cartesian product as index set as operation value. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmbas3.f  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  M ) )
frlmbas3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
frlmbas3.v  |-  V  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
frlmbas3  |-  ( ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  M  e. 
Fin )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  M )
)  ->  ( I X J )  e.  B
)

Proof of Theorem frlmbas3
StepHypRef Expression
1 frlmbas3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  F
)
21eleq2i 2521 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  <->  X  e.  ( Base `  F )
)
32biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( Base `  F
) )
43adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( Base `  F ) )
543ad2ant1 1029 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  M  e. 
Fin )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  M )
)  ->  X  e.  ( Base `  F )
)
6 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V )  ->  R  e.  W )
7 xpfi 7842 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( N  X.  M
)  e.  Fin )
86, 7anim12i 570 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  M  e. 
Fin ) )  -> 
( R  e.  W  /\  ( N  X.  M
)  e.  Fin )
)
983adant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  M  e. 
Fin )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  M )
)  ->  ( R  e.  W  /\  ( N  X.  M )  e. 
Fin ) )
10 frlmbas3.f . . . . . 6  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  M ) )
11 frlmbas3.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
1210, 11frlmfibas 19324 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  W  /\  ( N  X.  M
)  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  ( N  X.  M ) )  =  ( Base `  F
) )
139, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  M  e. 
Fin )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  M )
)  ->  ( B  ^m  ( N  X.  M
) )  =  (
Base `  F )
)
145, 13eleqtrrd 2532 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  M  e. 
Fin )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  M )
)  ->  X  e.  ( B  ^m  ( N  X.  M ) ) )
15 elmapi 7493 . . 3  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( N  X.  M
) )  ->  X : ( N  X.  M ) --> B )
1614, 15syl 17 . 2  |-  ( ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  M  e. 
Fin )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  M )
)  ->  X :
( N  X.  M
) --> B )
17 simp3l 1036 . 2  |-  ( ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  M  e. 
Fin )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  M )
)  ->  I  e.  N )
18 simp3r 1037 . 2  |-  ( ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  M  e. 
Fin )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  M )
)  ->  J  e.  M )
1916, 17, 18fovrnd 6441 1  |-  ( ( ( R  e.  W  /\  X  e.  V
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  M  e. 
Fin )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  M )
)  ->  ( I X J )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    X. cxp 4832   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   Basecbs 15121   freeLMod cfrlm 19309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-prds 15346  df-pws 15348  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-dsmm 19295  df-frlm 19310
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator