Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmbas Structured version   Unicode version

Theorem frlmbas 19305
 Description: Base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f freeLMod
frlmbas.n
frlmbas.z
frlmbas.b finSupp
Assertion
Ref Expression
frlmbas
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem frlmbas
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5888 . . . . 5 ringLMod
2 fnconstg 5785 . . . . 5 ringLMod ringLMod
31, 2ax-mp 5 . . . 4 ringLMod
4 eqid 2422 . . . . 5 s ringLMod s ringLMod
5 eqid 2422 . . . . 5 s ringLMod ringLMod s ringLMod ringLMod
64, 5dsmmbas2 19287 . . . 4 ringLMod s ringLMod ringLMod m ringLMod
73, 6mpan 674 . . 3 s ringLMod ringLMod m ringLMod
87adantl 467 . 2 s ringLMod ringLMod m ringLMod
9 frlmbas.b . . 3 finSupp
10 fvco2 5953 . . . . . . . . . . . . 13 ringLMod ringLMod ringLMod
113, 10mpan 674 . . . . . . . . . . . 12 ringLMod ringLMod
1211adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ringLMod ringLMod
131fvconst2 6132 . . . . . . . . . . . . . 14 ringLMod ringLMod
1413adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ringLMod ringLMod
1514fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . 12 ringLMod ringLMod
16 frlmbas.z . . . . . . . . . . . . 13
17 rlm0 18408 . . . . . . . . . . . . 13 ringLMod
1816, 17eqtri 2451 . . . . . . . . . . . 12 ringLMod
1915, 18syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . 11 ringLMod
2012, 19eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10 ringLMod
2120neeq2d 2702 . . . . . . . . 9 ringLMod
2221rabbidva 3071 . . . . . . . 8 ringLMod
23 elmapfn 7499 . . . . . . . . . 10
2423adantl 467 . . . . . . . . 9
25 fn0g 16493 . . . . . . . . . 10
26 ssv 3484 . . . . . . . . . 10 ringLMod
27 fnco 5699 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLMod ringLMod
2825, 3, 26, 27mp3an 1360 . . . . . . . . 9 ringLMod
29 fndmdif 5998 . . . . . . . . 9 ringLMod ringLMod ringLMod
3024, 28, 29sylancl 666 . . . . . . . 8 ringLMod ringLMod
31 simplr 760 . . . . . . . . 9
32 fvex 5888 . . . . . . . . . . 11
3316, 32eqeltri 2506 . . . . . . . . . 10
3433a1i 11 . . . . . . . . 9
35 suppvalfn 6929 . . . . . . . . 9 supp
3624, 31, 34, 35syl3anc 1264 . . . . . . . 8 supp
3722, 30, 363eqtr4d 2473 . . . . . . 7 ringLMod supp
3837eleq1d 2491 . . . . . 6 ringLMod supp
39 elmapfun 7500 . . . . . . . . 9
40 id 23 . . . . . . . . 9
4133a1i 11 . . . . . . . . 9
4239, 40, 413jca 1185 . . . . . . . 8
4342adantl 467 . . . . . . 7
44 funisfsupp 7891 . . . . . . 7 finSupp supp
4543, 44syl 17 . . . . . 6 finSupp supp
4638, 45bitr4d 259 . . . . 5 ringLMod finSupp
4746rabbidva 3071 . . . 4 ringLMod finSupp
48 eqid 2422 . . . . . . . . 9 ringLMod s ringLMod s
49 frlmbas.n . . . . . . . . . 10
50 rlmbas 18406 . . . . . . . . . 10 ringLMod
5149, 50eqtri 2451 . . . . . . . . 9 ringLMod
5248, 51pwsbas 15373 . . . . . . . 8 ringLMod ringLMod s
531, 52mpan 674 . . . . . . 7 ringLMod s
5453adantl 467 . . . . . 6 ringLMod s
55 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11 ScalarringLMod ScalarringLMod
5648, 55pwsval 15372 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
571, 56mpan 674 . . . . . . . . 9 ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
5857adantl 467 . . . . . . . 8 ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
59 rlmsca 18411 . . . . . . . . . 10 ScalarringLMod
6059adantr 466 . . . . . . . . 9 ScalarringLMod
6160oveq1d 6317 . . . . . . . 8 s ringLMod ScalarringLMods ringLMod
6258, 61eqtr4d 2466 . . . . . . 7 ringLMod s s ringLMod
6362fveq2d 5882 . . . . . 6 ringLMod s s ringLMod
6454, 63eqtrd 2463 . . . . 5 s ringLMod
65 rabeq 3074 . . . . 5 s ringLMod ringLMod s ringLMod ringLMod
6664, 65syl 17 . . . 4 ringLMod s ringLMod ringLMod
6747, 66eqtr3d 2465 . . 3 finSupp s ringLMod ringLMod
689, 67syl5eq 2475 . 2 s ringLMod ringLMod
69 frlmval.f . . . 4 freeLMod
7069frlmval 19298 . . 3 m ringLMod
7170fveq2d 5882 . 2 m ringLMod
728, 68, 713eqtr4d 2473 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868   wne 2618  crab 2779  cvv 3081   cdif 3433   wss 3436  csn 3996   class class class wbr 4420   cxp 4848   cdm 4850   crn 4851   ccom 4854   wfun 5592   wfn 5593  cfv 5598  (class class class)co 6302   supp csupp 6922   cmap 7477  cfn 7574   finSupp cfsupp 7886  cbs 15109  Scalarcsca 15181  c0g 15326  scprds 15332   s cpws 15333  ringLModcrglmod 18380   m cdsmm 19281   freeLMod cfrlm 19296 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-sup 7959  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-fz 11786  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-hom 15202  df-cco 15203  df-0g 15328  df-prds 15334  df-pws 15336  df-sra 18383  df-rgmod 18384  df-dsmm 19282  df-frlm 19297 This theorem is referenced by:  frlmelbas  19306  frlmfibas  19311  ellspd  19347  islindf4  19383  rrxbase  22334  rrxds  22339  frlmpwfi  35876
 Copyright terms: Public domain W3C validator