Theorem frinsg 30554

Description: Founded Induction Schema. If a property passes from all elements less than y of a founded class A to y itself (induction hypothesis), then the property holds for all elements of A. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
frinsg.1	|- ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
frinsg	|- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> A. y e. A ph )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, z   y, R, z

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem frinsg

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3500	. . 3 |- { y e. A | ph } C_ A
2		dfss3 3408	. . . . . . . 8 |- ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } <-> A. z e. Pred ( R , A , w ) z e. { y e. A | ph } )
3		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y A
4	3	elrabsf 3294	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { y e. A | ph } <-> ( z e. A /\ [. z / y ]. ph ) )
5	4	simprbi 471	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y e. A | ph } -> [. z / y ]. ph )
6	5	ralimi 2796	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. Pred ( R , A , w ) z e. { y e. A | ph } -> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph )
7	2, 6	sylbi 200	. . . . . . 7 |- ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph )
8		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ y w e. A
9		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y Pred ( R , A , w )
10		nfsbc1v 3275	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y [. z / y ]. ph
11	9, 10	nfral 2789	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph
12		nfsbc1v 3275	. . . . . . . . . 10 |- F/ y [. w / y ]. ph
13	11, 12	nfim 2023	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph )
14	8, 13	nfim 2023	. . . . . . . 8 |- F/ y ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) )
15		eleq1 2537	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( y e. A <-> w e. A ) )
16		predeq3 5391	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , w ) )
17	16	raleqdv 2979	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph <-> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph ) )
18		sbceq1a 3266	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( ph <-> [. w / y ]. ph ) )
19	17, 18	imbi12d 327	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) <-> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) ) )
20	15, 19	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) ) <-> ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) ) ) )
21		frinsg.1	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) )
22	14, 20, 21	chvar 2119	. . . . . . 7 |- ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) )
23	7, 22	syl5 32	. . . . . 6 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> [. w / y ]. ph ) )
24	23	anc2li 566	. . . . 5 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> ( w e. A /\ [. w / y ]. ph ) ) )
25	3	elrabsf 3294	. . . . 5 |- ( w e. { y e. A | ph } <-> ( w e. A /\ [. w / y ]. ph ) )
26	24, 25	syl6ibr 235	. . . 4 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } ) )
27	26	rgen 2766	. . 3 |- A. w e. A ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } )
28		frind 30552	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ R Se A ) /\ ( { y e. A | ph } C_ A /\ A. w e. A ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } ) ) ) -> A = { y e. A | ph } )
29	1, 27, 28	mpanr12 699	. 2 |- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> A = { y e. A | ph } )
30		rabid2 2954	. 2 |- ( A = { y e. A | ph } <-> A. y e. A ph )
31	29, 30	sylib 201	1 |- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> A. y e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   [.wsbc 3255   C_ wss 3390   Fr wfr 4795   Se wse 4796   Predcpred 5386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-trpred 30530

This theorem is referenced by:  frins  30555  frins2fg  30556