Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frinsg Structured version   Unicode version

Theorem frinsg 30270
Description: Founded Induction Schema. If a property passes from all elements less than  y of a founded class  A to  y itself (induction hypothesis), then the property holds for all elements of  A. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frinsg.1  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
frinsg  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, z    y, R, z
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem frinsg
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3552 . . 3  |-  { y  e.  A  |  ph }  C_  A
2 dfss3 3460 . . . . . . . 8  |-  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph } 
<-> 
A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) z  e. 
{ y  e.  A  |  ph } )
3 nfcv 2591 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y A
43elrabsf 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { y  e.  A  |  ph }  <->  ( z  e.  A  /\  [. z  /  y ]. ph ) )
54simprbi 465 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { y  e.  A  |  ph }  ->  [. z  /  y ]. ph )
65ralimi 2825 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w
) z  e.  {
y  e.  A  |  ph }  ->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph )
72, 6sylbi 198 . . . . . . 7  |-  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph )
8 nfv 1754 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  w  e.  A
9 nfcv 2591 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y Pred ( R ,  A ,  w )
10 nfsbc1v 3325 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y
[. z  /  y ]. ph
119, 10nfral 2818 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph
12 nfsbc1v 3325 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y
[. w  /  y ]. ph
1311, 12nfim 1978 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph )
148, 13nfim 1978 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( w  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) )
15 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  A  <->  w  e.  A ) )
16 predeq3 5403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A ,  w ) )
1716raleqdv 3038 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  <->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph ) )
18 sbceq1a 3316 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  y ]. ph ) )
1917, 18imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph )  <->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w
) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) ) )
2015, 19imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )  <-> 
( w  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) ) ) )
21 frinsg.1 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )
2214, 20, 21chvar 2069 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  /  y ]. ph ) )
237, 22syl5 33 . . . . . 6  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  [. w  /  y ]. ph ) )
2423anc2li 559 . . . . 5  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  ( w  e.  A  /\  [. w  /  y ]. ph )
) )
253elrabsf 3344 . . . . 5  |-  ( w  e.  { y  e.  A  |  ph }  <->  ( w  e.  A  /\  [. w  /  y ]. ph ) )
2624, 25syl6ibr 230 . . . 4  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } ) )
2726rgen 2792 . . 3  |-  A. w  e.  A  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } )
28 frind 30268 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( { y  e.  A  |  ph }  C_  A  /\  A. w  e.  A  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } ) ) )  ->  A  =  {
y  e.  A  |  ph } )
291, 27, 28mpanr12 689 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A  =  { y  e.  A  |  ph } )
30 rabid2 3013 . 2  |-  ( A  =  { y  e.  A  |  ph }  <->  A. y  e.  A  ph )
3129, 30sylib 199 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   [.wsbc 3305    C_ wss 3442    Fr wfr 4810   Se wse 4811   Predcpred 5398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-trpred 30246
This theorem is referenced by:  frins  30271  frins2fg  30272
  Copyright terms: Public domain W3C validator