Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frinsg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frinsg 30554
Description: Founded Induction Schema. If a property passes from all elements less than  y of a founded class  A to  y itself (induction hypothesis), then the property holds for all elements of  A. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frinsg.1  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
frinsg  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, z    y, R, z
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem frinsg
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3500 . . 3  |-  { y  e.  A  |  ph }  C_  A
2 dfss3 3408 . . . . . . . 8  |-  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph } 
<-> 
A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) z  e. 
{ y  e.  A  |  ph } )
3 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y A
43elrabsf 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { y  e.  A  |  ph }  <->  ( z  e.  A  /\  [. z  /  y ]. ph ) )
54simprbi 471 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { y  e.  A  |  ph }  ->  [. z  /  y ]. ph )
65ralimi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w
) z  e.  {
y  e.  A  |  ph }  ->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph )
72, 6sylbi 200 . . . . . . 7  |-  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph )
8 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  w  e.  A
9 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y Pred ( R ,  A ,  w )
10 nfsbc1v 3275 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y
[. z  /  y ]. ph
119, 10nfral 2789 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph
12 nfsbc1v 3275 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y
[. w  /  y ]. ph
1311, 12nfim 2023 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph )
148, 13nfim 2023 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( w  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) )
15 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  A  <->  w  e.  A ) )
16 predeq3 5391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A ,  w ) )
1716raleqdv 2979 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  <->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph ) )
18 sbceq1a 3266 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  y ]. ph ) )
1917, 18imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph )  <->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w
) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) ) )
2015, 19imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )  <-> 
( w  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) ) ) )
21 frinsg.1 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )
2214, 20, 21chvar 2119 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  /  y ]. ph ) )
237, 22syl5 32 . . . . . 6  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  [. w  /  y ]. ph ) )
2423anc2li 566 . . . . 5  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  ( w  e.  A  /\  [. w  /  y ]. ph )
) )
253elrabsf 3294 . . . . 5  |-  ( w  e.  { y  e.  A  |  ph }  <->  ( w  e.  A  /\  [. w  /  y ]. ph ) )
2624, 25syl6ibr 235 . . . 4  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } ) )
2726rgen 2766 . . 3  |-  A. w  e.  A  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } )
28 frind 30552 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( { y  e.  A  |  ph }  C_  A  /\  A. w  e.  A  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } ) ) )  ->  A  =  {
y  e.  A  |  ph } )
291, 27, 28mpanr12 699 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A  =  { y  e.  A  |  ph } )
30 rabid2 2954 . 2  |-  ( A  =  { y  e.  A  |  ph }  <->  A. y  e.  A  ph )
3129, 30sylib 201 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   [.wsbc 3255    C_ wss 3390    Fr wfr 4795   Se wse 4796   Predcpred 5386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-trpred 30530
This theorem is referenced by:  frins  30555  frins2fg  30556
  Copyright terms: Public domain W3C validator