Theorem frinsg 28930

Description: Founded Induction Schema. If a property passes from all elements less than y of a founded class A to y itself (induction hypothesis), then the property holds for all elements of A. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
frinsg.1	|- ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
frinsg	|- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> A. y e. A ph )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, z   y, R, z

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem frinsg

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3585	. . 3 |- { y e. A | ph } C_ A
2		dfss3 3494	. . . . . . . 8 |- ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } <-> A. z e. Pred ( R , A , w ) z e. { y e. A | ph } )
3		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y A
4	3	elrabsf 3370	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { y e. A | ph } <-> ( z e. A /\ [. z / y ]. ph ) )
5	4	simprbi 464	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y e. A | ph } -> [. z / y ]. ph )
6	5	ralimi 2857	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. Pred ( R , A , w ) z e. { y e. A | ph } -> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph )
7	2, 6	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph )
8		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ y w e. A
9		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y Pred ( R , A , w )
10		nfsbc1v 3351	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y [. z / y ]. ph
11	9, 10	nfral 2850	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph
12		nfsbc1v 3351	. . . . . . . . . 10 |- F/ y [. w / y ]. ph
13	11, 12	nfim 1867	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph )
14	8, 13	nfim 1867	. . . . . . . 8 |- F/ y ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) )
15		eleq1 2539	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( y e. A <-> w e. A ) )
16		predeq3 28853	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , w ) )
17	16	raleqdv 3064	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph <-> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph ) )
18		sbceq1a 3342	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( ph <-> [. w / y ]. ph ) )
19	17, 18	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) <-> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) ) )
20	15, 19	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) ) <-> ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) ) ) )
21		frinsg.1	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) )
22	14, 20, 21	chvar 1982	. . . . . . 7 |- ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) )
23	7, 22	syl5 32	. . . . . 6 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> [. w / y ]. ph ) )
24	23	anc2li 557	. . . . 5 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> ( w e. A /\ [. w / y ]. ph ) ) )
25	3	elrabsf 3370	. . . . 5 |- ( w e. { y e. A | ph } <-> ( w e. A /\ [. w / y ]. ph ) )
26	24, 25	syl6ibr 227	. . . 4 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } ) )
27	26	rgen 2824	. . 3 |- A. w e. A ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } )
28		frind 28928	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ R Se A ) /\ ( { y e. A | ph } C_ A /\ A. w e. A ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } ) ) ) -> A = { y e. A | ph } )
29	1, 27, 28	mpanr12 685	. 2 |- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> A = { y e. A | ph } )
30		rabid2 3039	. 2 |- ( A = { y e. A | ph } <-> A. y e. A ph )
31	29, 30	sylib 196	1 |- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> A. y e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   [.wsbc 3331   C_ wss 3476   Fr wfr 4835   Se wse 4836   Predcpred 28848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-pred 28849  df-trpred 28906

This theorem is referenced by:  frins  28931  frins2fg  28932