Theorem frinsg 27705

Description: Founded Induction Schema. If a property passes from all elements less than y of a founded class A to y itself (induction hypothesis), then the property holds for all elements of A. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
frinsg.1	|- ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
frinsg	|- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> A. y e. A ph )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, z   y, R, z

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem frinsg

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3436	. . 3 |- { y e. A | ph } C_ A
2		dfss3 3345	. . . . . . . 8 |- ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } <-> A. z e. Pred ( R , A , w ) z e. { y e. A | ph } )
3		nfcv 2578	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y A
4	3	elrabsf 3224	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { y e. A | ph } <-> ( z e. A /\ [. z / y ]. ph ) )
5	4	simprbi 464	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y e. A | ph } -> [. z / y ]. ph )
6	5	ralimi 2790	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. Pred ( R , A , w ) z e. { y e. A | ph } -> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph )
7	2, 6	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph )
8		nfv 1673	. . . . . . . . 9 |- F/ y w e. A
9		nfcv 2578	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y Pred ( R , A , w )
10		nfsbc1v 3205	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y [. z / y ]. ph
11	9, 10	nfral 2768	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph
12		nfsbc1v 3205	. . . . . . . . . 10 |- F/ y [. w / y ]. ph
13	11, 12	nfim 1853	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph )
14	8, 13	nfim 1853	. . . . . . . 8 |- F/ y ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) )
15		eleq1 2502	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( y e. A <-> w e. A ) )
16		predeq3 27628	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , w ) )
17	16	raleqdv 2922	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph <-> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph ) )
18		sbceq1a 3196	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( ph <-> [. w / y ]. ph ) )
19	17, 18	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) <-> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) ) )
20	15, 19	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) ) <-> ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) ) ) )
21		frinsg.1	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) )
22	14, 20, 21	chvar 1957	. . . . . . 7 |- ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) )
23	7, 22	syl5 32	. . . . . 6 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> [. w / y ]. ph ) )
24	23	anc2li 557	. . . . 5 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> ( w e. A /\ [. w / y ]. ph ) ) )
25	3	elrabsf 3224	. . . . 5 |- ( w e. { y e. A | ph } <-> ( w e. A /\ [. w / y ]. ph ) )
26	24, 25	syl6ibr 227	. . . 4 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } ) )
27	26	rgen 2780	. . 3 |- A. w e. A ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } )
28		frind 27703	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ R Se A ) /\ ( { y e. A | ph } C_ A /\ A. w e. A ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } ) ) ) -> A = { y e. A | ph } )
29	1, 27, 28	mpanr12 685	. 2 |- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> A = { y e. A | ph } )
30		rabid2 2897	. 2 |- ( A = { y e. A | ph } <-> A. y e. A ph )
31	29, 30	sylib 196	1 |- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> A. y e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2714   {crab 2718   [.wsbc 3185   C_ wss 3327   Fr wfr 4675   Se wse 4676   Predcpred 27623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-pred 27624  df-trpred 27681

This theorem is referenced by:  frins  27706  frins2fg  27707