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Theorem frinfm 32126
Description: A subset of a well-founded set has an infimum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
frinfm  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    x, A, y, z    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z)

Proof of Theorem frinfm
StepHypRef Expression
1 fri 4801 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  R  Fr  A
)  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
21ancom1s 822 . . . 4  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  C
)  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
32exp43 623 . . 3  |-  ( R  Fr  A  ->  ( B  e.  C  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) ) ) )
433imp2 1248 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
5 ssel2 3413 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  A )
65adantrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  x  e.  A )
7 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
8 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
97, 8brcnv 5022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
109biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `' R y  ->  y R x )
1110con3i 142 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y R x  ->  -.  x `' R y )
1211ralimi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  -.  y R x  ->  A. y  e.  B  -.  x `' R y )
1312ad2antll 743 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x `' R y )
14 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
y `' R z  <-> 
y `' R x ) )
1514rspcev 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  y `' R x )  ->  E. z  e.  B  y `' R z )
1615ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
1716ralrimivw 2810 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
1817ad2antrl 742 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
196, 13, 18jca32 544 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2019ex 441 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  ->  ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) ) )
2120reximdv2 2855 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2221adantl 473 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  C_  A )  -> 
( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
23223ad2antr2 1196 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
244, 23mpd 15 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    Fr wfr 4795   `'ccnv 4838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-opab 4455  df-fr 4798  df-cnv 4847
This theorem is referenced by:  welb  32127
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