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Theorem frinfm 28767
Description: A subset of a well-founded set has an infimum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
frinfm  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    x, A, y, z    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z)

Proof of Theorem frinfm
StepHypRef Expression
1 fri 4780 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  R  Fr  A
)  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
21ancom1s 803 . . . 4  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  C
)  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
32exp43 612 . . 3  |-  ( R  Fr  A  ->  ( B  e.  C  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) ) ) )
433imp2 1203 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
5 ssel2 3449 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  A )
65adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  x  e.  A )
7 vex 3071 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
8 vex 3071 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
97, 8brcnv 5120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
109biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `' R y  ->  y R x )
1110con3i 135 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y R x  ->  -.  x `' R y )
1211ralimi 2811 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  -.  y R x  ->  A. y  e.  B  -.  x `' R y )
1312ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x `' R y )
14 breq2 4394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
y `' R z  <-> 
y `' R x ) )
1514rspcev 3169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  y `' R x )  ->  E. z  e.  B  y `' R z )
1615ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
1716ralrimivw 2823 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
1817ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
196, 13, 18jca32 535 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2019ex 434 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  ->  ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) ) )
2120reximdv2 2921 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2221adantl 466 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  C_  A )  -> 
( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
23223ad2antr2 1154 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
244, 23mpd 15 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3426   (/)c0 3735   class class class wbr 4390    Fr wfr 4774   `'ccnv 4937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-br 4391  df-opab 4449  df-fr 4777  df-cnv 4946
This theorem is referenced by:  welb  28768
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