Theorem frinfm 30469

Description: A subset of a well-founded set has an infimum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
frinfm	|- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z   x, A, y, z   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   C( x, y, z)

Proof of Theorem frinfm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fri 4830	. . . . 5 |- ( ( ( B e. C /\ R Fr A ) /\ ( B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
2	1	ancom1s 803	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ B e. C ) /\ ( B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
3	2	exp43 610	. . 3 |- ( R Fr A -> ( B e. C -> ( B C_ A -> ( B =/= (/) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) ) )
4	3	3imp2 1209	. 2 |- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
5		ssel2 3484	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ A /\ x e. B ) -> x e. A )
6	5	adantrr 714	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> x e. A )
7		vex 3109	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
8		vex 3109	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 5174	. . . . . . . . . . 11 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( x `' R y -> y R x )
11	10	con3i 135	. . . . . . . . 9 |- ( -. y R x -> -. x `' R y )
12	11	ralimi 2847	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B -. y R x -> A. y e. B -. x `' R y )
13	12	ad2antll 726	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> A. y e. B -. x `' R y )
14		breq2 4443	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( y `' R z <-> y `' R x ) )
15	14	rspcev 3207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ y `' R x ) -> E. z e. B y `' R z )
16	15	ex 432	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) )
17	16	ralrimivw 2869	. . . . . . . 8 |- ( x e. B -> A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) )
18	17	ad2antrl 725	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) )
19	6, 13, 18	jca32 533	. . . . . 6 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
20	19	ex 432	. . . . 5 |- ( B C_ A -> ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) -> ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) ) )
21	20	reximdv2 2925	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( E. x e. B A. y e. B -. y R x -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
22	21	adantl 464	. . 3 |- ( ( R Fr A /\ B C_ A ) -> ( E. x e. B A. y e. B -. y R x -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
23	22	3ad2antr2 1160	. 2 |- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> ( E. x e. B A. y e. B -. y R x -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
24	4, 23	mpd 15	1 |- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   Fr wfr 4824   `'ccnv 4987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-fr 4827  df-cnv 4996

This theorem is referenced by:  welb  30470