Theorem frinfm 32126

Description: A subset of a well-founded set has an infimum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
frinfm	|- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z   x, A, y, z   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   C( x, y, z)

Proof of Theorem frinfm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fri 4801	. . . . 5 |- ( ( ( B e. C /\ R Fr A ) /\ ( B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
2	1	ancom1s 822	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ B e. C ) /\ ( B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
3	2	exp43 623	. . 3 |- ( R Fr A -> ( B e. C -> ( B C_ A -> ( B =/= (/) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) ) )
4	3	3imp2 1248	. 2 |- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
5		ssel2 3413	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ A /\ x e. B ) -> x e. A )
6	5	adantrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> x e. A )
7		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
8		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 5022	. . . . . . . . . . 11 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( x `' R y -> y R x )
11	10	con3i 142	. . . . . . . . 9 |- ( -. y R x -> -. x `' R y )
12	11	ralimi 2796	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B -. y R x -> A. y e. B -. x `' R y )
13	12	ad2antll 743	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> A. y e. B -. x `' R y )
14		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( y `' R z <-> y `' R x ) )
15	14	rspcev 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ y `' R x ) -> E. z e. B y `' R z )
16	15	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) )
17	16	ralrimivw 2810	. . . . . . . 8 |- ( x e. B -> A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) )
18	17	ad2antrl 742	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) )
19	6, 13, 18	jca32 544	. . . . . 6 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
20	19	ex 441	. . . . 5 |- ( B C_ A -> ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) -> ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) ) )
21	20	reximdv2 2855	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( E. x e. B A. y e. B -. y R x -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
22	21	adantl 473	. . 3 |- ( ( R Fr A /\ B C_ A ) -> ( E. x e. B A. y e. B -. y R x -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
23	22	3ad2antr2 1196	. 2 |- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> ( E. x e. B A. y e. B -. y R x -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
24	4, 23	mpd 15	1 |- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   Fr wfr 4795   `'ccnv 4838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-opab 4455  df-fr 4798  df-cnv 4847

This theorem is referenced by:  welb  32127