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Theorem friendshipgt3 25720
Description: The friendship theorem for big graphs: In every finite friendship graph with order greater than 3 there is a vertex which is adjacent to all other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
friendshipgt3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Distinct variable groups:    v, E, w    v, V, w

Proof of Theorem friendshipgt3
Dummy variables  m  n  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgraregorufrg 25671 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
213ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3 frgraogt3nreg 25719 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  A. n  e.  NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n )
4 frisusgra 25591 . . . . 5  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
543ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  V USGrph  E )
6 simp2 1006 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  V  e.  Fin )
7 0red 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  0  e.  RR )
8 3re 10672 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  3  e.  RR )
10 hashcl 12524 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
1110nn0red 10915 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
1211adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
13 3pos 10692 . . . . . . . . 9  |-  0  <  3
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  0  <  3 )
15 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  3  <  ( # `  V
) )
167, 9, 12, 14, 15lttrd 9785 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  0  <  ( # `  V
) )
1716gt0ne0d 10167 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  =/=  0 )
18 hasheq0 12530 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
1918adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
2019necon3bid 2680 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  V )  =/=  0  <->  V  =/=  (/) ) )
2117, 20mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  V  =/=  (/) )
22213adant1 1023 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  V  =/=  (/) )
23 usgn0fidegnn0 25628 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  E. t  e.  V  E. m  e.  NN0  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m )
245, 6, 22, 23syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  E. t  e.  V  E. m  e.  NN0  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m )
25 r19.26 2953 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  NN0  ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n
)  <->  ( A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  A. n  e. 
NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n ) )
26 simpllr 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
27 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  t  ->  (
( V VDeg  E ) `  u )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 t ) )
2827eqeq1d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  t  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m ) )
2928rspcev 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  t )  =  m )  ->  E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  m )
3029adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m )  ->  E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m )
3130adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m )
32 ornld 906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 u )  =  m  ->  ( (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  ( ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3433adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  /\  n  =  m )  ->  ( (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
35 eqeq2 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m ) )
3635rexbidv 2937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  <->  E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m ) )
37 breq2 4421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  <->  <. V ,  E >. RegUSGrph  m
) )
3837orbi1d 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/ 
E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3936, 38imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  <-> 
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
4037notbid 295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  ( -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n 
<->  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m ) )
4139, 40anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n )  <->  ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m
) ) )
4241imbi1d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/ 
E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  ( (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
4342adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  /\  n  =  m )  ->  ( (
( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  ( (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
4434, 43mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  /\  n  =  m )  ->  ( (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4526, 44rspcimdv 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/ 
E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4645com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  NN0  ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n
)  ->  ( (
( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4725, 46sylbir 216 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  A. n  e.  NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n )  ->  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) ) )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4847expcom 436 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n  -> 
( A. n  e. 
NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) ) )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
4948com13 83 . . . . 5  |-  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
5049exp31 607 . . . 4  |-  ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  -. 
<. V ,  E >. RegUSGrph  n  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) ) )
5150rexlimivv 2920 . . 3  |-  ( E. t  e.  V  E. m  e.  NN0  ( ( V VDeg  E ) `  t )  =  m  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) )  -> 
( A. n  e. 
NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
5224, 51mpcom 37 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  ( A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/ 
E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  -. 
<. V ,  E >. RegUSGrph  n  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
532, 3, 52mp2d 46 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774    \ cdif 3430   (/)c0 3758   {csn 3993   {cpr 3995   <.cop 3999   class class class wbr 4417   ran crn 4846   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Fincfn 7568   RRcr 9527   0cc0 9528    < clt 9664   3c3 10649   NN0cn0 10858   #chash 12501   USGrph cusg 24929   VDeg cvdg 25492   RegUSGrph crusgra 25522   FriendGrph cfrgra 25587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-ot 4002  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-disj 4389  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-ec 7364  df-qs 7368  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-xadd 11399  df-ico 11630  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-word 12640  df-lsw 12641  df-concat 12642  df-s1 12643  df-substr 12644  df-reps 12647  df-csh 12865  df-s2 12918  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-sum 13720  df-dvds 14273  df-gcd 14432  df-prm 14583  df-phi 14672  df-usgra 24932  df-nbgra 25019  df-wlk 25107  df-trail 25108  df-pth 25109  df-spth 25110  df-wlkon 25113  df-spthon 25116  df-wwlk 25278  df-wwlkn 25279  df-clwwlk 25350  df-clwwlkn 25351  df-2wlkonot 25457  df-2spthonot 25459  df-2spthsot 25460  df-vdgr 25493  df-rgra 25523  df-rusgra 25524  df-frgra 25588
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