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Theorem friendshipgt3 30719
Description: The friendship theorem for big graphs: In every finite friendship graph with order greater than 3 there is a vertex which is adjacent to all other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
friendshipgt3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Distinct variable groups:    v, E, w    v, V, w

Proof of Theorem friendshipgt3
Dummy variables  m  n  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgraregorufrg 30670 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
213ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3 frgraogt3nreg 30718 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  A. n  e.  NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n )
4 frisusgra 30589 . . . . 5  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
543ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  V USGrph  E )
6 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  V  e.  Fin )
7 0red 9392 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  0  e.  RR )
8 3re 10400 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  3  e.  RR )
10 hashcl 12131 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
1110nn0red 10642 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
1211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
13 3pos 10420 . . . . . . . . 9  |-  0  <  3
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  0  <  3 )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  3  <  ( # `  V
) )
167, 9, 12, 14, 15lttrd 9537 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  0  <  ( # `  V
) )
1716gt0ne0d 9909 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  =/=  0 )
18 hasheq0 12136 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
1918adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
2019necon3bid 2648 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  V )  =/=  0  <->  V  =/=  (/) ) )
2117, 20mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  V  =/=  (/) )
22213adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  V  =/=  (/) )
23 usgn0fidegnn0 30627 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  E. t  e.  V  E. m  e.  NN0  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m )
245, 6, 22, 23syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  E. t  e.  V  E. m  e.  NN0  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m )
25 r19.26 2854 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  NN0  ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n
)  <->  ( A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  A. n  e. 
NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n ) )
26 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
27 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  t  ->  (
( V VDeg  E ) `  u )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 t ) )
2827eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  t  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m ) )
2928rspcev 3078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  t )  =  m )  ->  E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  m )
3029adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m )  ->  E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m )
32 ornld 30119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 u )  =  m  ->  ( (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  ( ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  /\  n  =  m )  ->  ( (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
35 eqeq2 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m ) )
3635rexbidv 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  <->  E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m ) )
37 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  <->  <. V ,  E >. RegUSGrph  m
) )
3837orbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/ 
E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3936, 38imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  <-> 
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
4037notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  ( -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n 
<->  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m ) )
4139, 40anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n )  <->  ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  m  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m
) ) )
4241imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/ 
E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  ( (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  /\  n  =  m )  ->  ( (
( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  ( (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  m  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  m  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  m )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
4434, 43mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  /\  n  =  m )  ->  ( (
( E. u  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4526, 44rspcimdv 3079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/ 
E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4645com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  NN0  ( ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n
)  ->  ( (
( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4725, 46sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  /\  A. n  e.  NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n )  ->  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) ) )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4847expcom 435 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n  -> 
( A. n  e. 
NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) ) )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
4948com13 80 . . . . 5  |-  ( ( ( ( t  e.  V  /\  m  e. 
NN0 )  /\  (
( V VDeg  E ) `  t )  =  m )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
5049exp31 604 . . . 4  |-  ( ( t  e.  V  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  m  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V
) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  -. 
<. V ,  E >. RegUSGrph  n  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) ) )
5150rexlimivv 2851 . . 3  |-  ( E. t  e.  V  E. m  e.  NN0  ( ( V VDeg  E ) `  t )  =  m  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  3  <  ( # `  V ) )  -> 
( A. n  e. 
NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  u
)  =  n  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  -.  <. V ,  E >. RegUSGrph  n  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
5224, 51mpcom 36 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  ( A. n  e.  NN0  ( E. u  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 u )  =  n  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  n  \/ 
E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  -. 
<. V ,  E >. RegUSGrph  n  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
532, 3, 52mp2d 45 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    \ cdif 3330   (/)c0 3642   {csn 3882   {cpr 3884   <.cop 3888   class class class wbr 4297   ran crn 4846   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   RRcr 9286   0cc0 9287    < clt 9423   3c3 10377   NN0cn0 10584   #chash 12108   USGrph cusg 23269   VDeg cvdg 23568   RegUSGrph crusgra 30545   FriendGrph cfrgra 30585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-ot 3891  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-xadd 11095  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-word 12234  df-lsw 12235  df-concat 12236  df-s1 12237  df-substr 12238  df-reps 12241  df-csh 12431  df-s2 12480  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769  df-phi 13846  df-usgra 23271  df-nbgra 23337  df-wlk 23420  df-trail 23421  df-pth 23422  df-spth 23423  df-wlkon 23426  df-spthon 23429  df-vdgr 23569  df-wwlk 30318  df-wwlkn 30319  df-2wlkonot 30382  df-2spthonot 30384  df-2spthsot 30385  df-clwwlk 30421  df-clwwlkn 30422  df-rgra 30546  df-rusgra 30547  df-frgra 30586
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