MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  friendship Structured version   Unicode version

Theorem friendship 25249
Description: The friendship theorem: In every finite (nonempty) friendship graph there is a vertex which is adjacent to all other vertices. This is Metamath 100 proof #83. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
friendship  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/)  /\  V  e.  Fin )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Distinct variable groups:    v, E, w    v, V, w

Proof of Theorem friendship
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( ( 3  <  ( # `  V )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/)  /\  V  e.  Fin ) )  ->  V FriendGrph  E )
2 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( 3  <  ( # `  V )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/)  /\  V  e.  Fin ) )  ->  V  e.  Fin )
3 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( 3  <  ( # `  V )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/)  /\  V  e.  Fin ) )  ->  3  <  ( # `  V
) )
4 friendshipgt3 25248 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  3  <  (
# `  V )
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( 3  <  ( # `  V )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/)  /\  V  e.  Fin ) )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
65ex 434 . 2  |-  ( 3  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/)  /\  V  e.  Fin )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
7 hashcl 12431 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
8 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  V  e.  Fin )  /\  ( -.  3  < 
( # `  V )  /\  V  =/=  (/) ) )  ->  V  e.  Fin )
9 hashge1 12460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( # `  V
) )
109ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  V  e.  Fin )  /\  ( -.  3  < 
( # `  V )  /\  V  =/=  (/) ) )  ->  1  <_  ( # `
 V ) )
11 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
12 3re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  RR
13 lenlt 9680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( # `  V
)  <_  3  <->  -.  3  <  ( # `  V
) ) )
1411, 12, 13sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 V )  <_ 
3  <->  -.  3  <  (
# `  V )
) )
1514biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( -.  3  <  ( # `  V
)  ->  ( # `  V
)  <_  3 ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  V  e.  Fin )  ->  ( -.  3  < 
( # `  V )  ->  ( # `  V
)  <_  3 ) )
1716com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  3  <  ( # `  V )  ->  (
( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  V  e.  Fin )  ->  ( # `  V
)  <_  3 ) )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  3  <  ( # `
 V )  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  V  e.  Fin )  ->  ( # `  V
)  <_  3 ) )
1918impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  V  e.  Fin )  /\  ( -.  3  < 
( # `  V )  /\  V  =/=  (/) ) )  ->  ( # `  V
)  <_  3 )
208, 10, 193jca 1176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  V  e.  Fin )  /\  ( -.  3  < 
( # `  V )  /\  V  =/=  (/) ) )  ->  ( V  e. 
Fin  /\  1  <_  (
# `  V )  /\  ( # `  V
)  <_  3 ) )
2120exp31 604 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( ( -.  3  <  ( # `  V )  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V  e.  Fin  /\  1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  <_  3 ) ) ) )
227, 21mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( -.  3  < 
( # `  V )  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( V  e.  Fin  /\  1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  <_  3 ) ) )
2322impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  3  < 
( # `  V )  /\  V  =/=  (/) )  /\  V  e.  Fin )  ->  ( V  e.  Fin  /\  1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  <_  3 ) )
24 hash1to3 12534 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  <_  3 )  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
25 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
26 1to3vfriendship 25135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  _V  /\  ( V  =  {
a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
2725, 26mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
2827exlimiv 1723 . . . . . . . 8  |-  ( E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
2928exlimivv 1724 . . . . . . 7  |-  ( E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3023, 24, 293syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  3  < 
( # `  V )  /\  V  =/=  (/) )  /\  V  e.  Fin )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3130exp31 604 . . . . 5  |-  ( -.  3  <  ( # `  V )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
3231com14 88 . . . 4  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( -.  3  <  ( # `  V
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
33323imp 1190 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/)  /\  V  e.  Fin )  ->  ( -.  3  <  ( # `  V
)  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3433com12 31 . 2  |-  ( -.  3  <  ( # `  V )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/)  /\  V  e. 
Fin )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
356, 34pm2.61i 164 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/)  /\  V  e.  Fin )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468   (/)c0 3793   {csn 4032   {cpr 4034   {ctp 4036   class class class wbr 4456   ran crn 5009   ` cfv 5594   Fincfn 7535   RRcr 9508   1c1 9510    < clt 9645    <_ cle 9646   3c3 10607   NN0cn0 10816   #chash 12408   FriendGrph cfrgra 25115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-3o 7150  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-s1 12549  df-substr 12550  df-reps 12553  df-csh 12772  df-s2 12825  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-phi 14308  df-usgra 24460  df-nbgra 24547  df-wlk 24635  df-trail 24636  df-pth 24637  df-spth 24638  df-wlkon 24641  df-spthon 24644  df-wwlk 24806  df-wwlkn 24807  df-clwwlk 24878  df-clwwlkn 24879  df-2wlkonot 24985  df-2spthonot 24987  df-2spthsot 24988  df-vdgr 25021  df-rgra 25051  df-rusgra 25052  df-frgra 25116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator