Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  friendship Structured version   Unicode version

Theorem friendship 25249
 Description: The friendship theorem: In every finite (nonempty) friendship graph there is a vertex which is adjacent to all other vertices. This is Metamath 100 proof #83. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
friendship FriendGrph
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem friendship
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1002 . . . 4 FriendGrph FriendGrph
2 simpr3 1004 . . . 4 FriendGrph
3 simpl 457 . . . 4 FriendGrph
4 friendshipgt3 25248 . . . 4 FriendGrph
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 . . 3 FriendGrph
65ex 434 . 2 FriendGrph
7 hashcl 12431 . . . . . . . . 9
8 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
9 hashge1 12460 . . . . . . . . . . . 12
109ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . 11
11 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12 3re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 lenlt 9680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1411, 12, 13sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
1716com12 31 . . . . . . . . . . . . 13
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
1918impcom 430 . . . . . . . . . . 11
208, 10, 193jca 1176 . . . . . . . . . 10
2120exp31 604 . . . . . . . . 9
227, 21mpcom 36 . . . . . . . 8
2322impcom 430 . . . . . . 7
24 hash1to3 12534 . . . . . . 7
25 vex 3112 . . . . . . . . . 10
26 1to3vfriendship 25135 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
2725, 26mpan 670 . . . . . . . . 9 FriendGrph
2827exlimiv 1723 . . . . . . . 8 FriendGrph
2928exlimivv 1724 . . . . . . 7 FriendGrph
3023, 24, 293syl 20 . . . . . 6 FriendGrph
3130exp31 604 . . . . 5 FriendGrph
3231com14 88 . . . 4 FriendGrph
33323imp 1190 . . 3 FriendGrph
3433com12 31 . 2 FriendGrph
356, 34pm2.61i 164 1 FriendGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3o 972   w3a 973   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  wrex 2808  cvv 3109   cdif 3468  c0 3793  csn 4032  cpr 4034  ctp 4036   class class class wbr 4456   crn 5009  cfv 5594  cfn 7535  cr 9508  c1 9510   clt 9645   cle 9646  c3 10607  cn0 10816  chash 12408   FriendGrph cfrgra 25115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-3o 7150  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-s1 12549  df-substr 12550  df-reps 12553  df-csh 12772  df-s2 12825  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-phi 14308  df-usgra 24460  df-nbgra 24547  df-wlk 24635  df-trail 24636  df-pth 24637  df-spth 24638  df-wlkon 24641  df-spthon 24644  df-wwlk 24806  df-wwlkn 24807  df-clwwlk 24878  df-clwwlkn 24879  df-2wlkonot 24985  df-2spthonot 24987  df-2spthsot 24988  df-vdgr 25021  df-rgra 25051  df-rusgra 25052  df-frgra 25116 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator