Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgregordn0 Structured version   Unicode version

Theorem frgregordn0 25196
 Description: If a nonempty friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgregordn0 FriendGrph VDeg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem frgregordn0
StepHypRef Expression
1 frisusgra 25118 . . . . 5 FriendGrph USGrph
2 usgreghash2spot 25195 . . . . 5 USGrph VDeg 2SPathOnOt
31, 2syl3an1 1261 . . . 4 FriendGrph VDeg 2SPathOnOt
43imp 429 . . 3 FriendGrph VDeg 2SPathOnOt
5 frghash2spot 25189 . . . . . 6 FriendGrph 2SPathOnOt
653impb 1192 . . . . 5 FriendGrph 2SPathOnOt
76adantr 465 . . . 4 FriendGrph VDeg 2SPathOnOt
8 eqeq1 2461 . . . . . 6 2SPathOnOt 2SPathOnOt
9 hashcl 12430 . . . . . . . . . . . . 13
109nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . 12
11 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11subcld 9950 . . . . . . . . . . 11
13123ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
1413adantr 465 . . . . . . . . 9 FriendGrph VDeg
15 usgfiregdegfi 25037 . . . . . . . . . . . 12 USGrph VDeg
161, 15syl3an1 1261 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph VDeg
1716imp 429 . . . . . . . . . 10 FriendGrph VDeg
18 nn0cn 10826 . . . . . . . . . 10
19 kcnktkm1cn 10009 . . . . . . . . . 10
2017, 18, 193syl 20 . . . . . . . . 9 FriendGrph VDeg
21103ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
2221adantr 465 . . . . . . . . 9 FriendGrph VDeg
23 hasheq0 12435 . . . . . . . . . . . . . 14
2423biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13
2524necon3d 2681 . . . . . . . . . . . 12
2625imp 429 . . . . . . . . . . 11
27263adant1 1014 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
2827adantr 465 . . . . . . . . 9 FriendGrph VDeg
2914, 20, 22, 28mulcand 10203 . . . . . . . 8 FriendGrph VDeg
30 1cnd 9629 . . . . . . . . 9 FriendGrph VDeg
31 subadd2 9843 . . . . . . . . . . 11
32 eqcom 2466 . . . . . . . . . . 11
3331, 32syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
3433biimpd 207 . . . . . . . . 9
3522, 30, 20, 34syl3anc 1228 . . . . . . . 8 FriendGrph VDeg
3629, 35sylbid 215 . . . . . . 7 FriendGrph VDeg
3736com12 31 . . . . . 6 FriendGrph VDeg
388, 37syl6bi 228 . . . . 5 2SPathOnOt 2SPathOnOt FriendGrph VDeg
3938com23 78 . . . 4 2SPathOnOt FriendGrph VDeg 2SPathOnOt
407, 39mpcom 36 . . 3 FriendGrph VDeg 2SPathOnOt
414, 40mpd 15 . 2 FriendGrph VDeg
4241ex 434 1 FriendGrph VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  c0 3793   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296  cfn 7535  cc 9507  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmul 9514   cmin 9824  cn0 10816  chash 12407   USGrph cusg 24456   2SPathOnOt c2spthot 24982   VDeg cvdg 25019   FriendGrph cfrgra 25114 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-word 12545  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-usgra 24459  df-nbgra 24546  df-wlk 24634  df-trail 24635  df-pth 24636  df-spth 24637  df-wlkon 24640  df-spthon 24643  df-2wlkonot 24984  df-2spthonot 24986  df-2spthsot 24987  df-vdgr 25020  df-frgra 25115 This theorem is referenced by:  frrusgraord  25197
 Copyright terms: Public domain W3C validator