Theorem frgrawopreglem5 25776

Description: Lemma 5 for frgrawopreg 25777. If A as well as B contain at least two vertices in a friendship graph, there is a 4-cycle in the graph. This corresponds to statement 6 in [Huneke] p. 2: "... otherwise, there are two different vertices in A, and they have two common neighbors in B, ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrawopreg.a	|- A = { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K }
frgrawopreg.b	|- B = ( V \ A )

Assertion

Ref	Expression
frgrawopreglem5	|- ( ( V FriendGrph E /\ 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, E   x, K   x, V   A, b   x, y, a, b, E   V, a, b, y   A, a, y   B, a, b, x, y

Allowed substitution hints:   K( y, a, b)

Proof of Theorem frgrawopreglem5

Dummy variables z c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrawopreg.a	. . . 4 |- A = { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K }
2		frgrawopreg.b	. . . 4 |- B = ( V \ A )
3	1, 2	frgrawopreglem1 25772	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
4		hashgt12el 12595	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ 1 < ( # ` A ) ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x )
5	4	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( 1 < ( # ` A ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x ) )
6	5	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> ( 1 < ( # ` A ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x ) )
7	6	imp 431	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ 1 < ( # ` B ) ) /\ 1 < ( # ` A ) ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x )
8		hashgt12el 12595	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. _V /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. b e. B E. y e. B b =/= y )
9	8	adantll 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. b e. B E. y e. B b =/= y )
10	9	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ 1 < ( # ` B ) ) /\ 1 < ( # ` A ) ) -> E. b e. B E. y e. B b =/= y )
11		reeanv 2958	. . . . . . 7 |- ( E. a e. A E. b e. B ( E. x e. A a =/= x /\ E. y e. B b =/= y ) <-> ( E. a e. A E. x e. A a =/= x /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) )
12		reeanv 2958	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) <-> ( E. x e. A a =/= x /\ E. y e. B b =/= y ) )
13	12	2rexbii 2890	. . . . . . . 8 |- ( E. a e. A E. b e. B E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) <-> E. a e. A E. b e. B ( E. x e. A a =/= x /\ E. y e. B b =/= y ) )
14		rexcom 2952	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. b e. B E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) <-> E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) )
15		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) /\ ( a =/= x /\ b =/= y ) ) -> ( a =/= x /\ b =/= y ) )
16	15	ancomd 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) /\ ( a =/= x /\ b =/= y ) ) -> ( b =/= y /\ a =/= x ) )
17	1, 2	frgrawopreglem4 25775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( V FriendGrph E -> A. a e. A A. b e. B { a , b } e. ran E )
18		rsp2 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. a e. A A. b e. B { a , b } e. ran E -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> { a , b } e. ran E ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V FriendGrph E -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> { a , b } e. ran E ) )
20	19	expdimp 439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( b e. B -> { a , b } e. ran E ) )
21	20	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) -> ( b e. B -> { a , b } e. ran E ) )
22	21	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) -> { a , b } e. ran E )
23	22	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> { a , b } e. ran E )
24	1, 2	frgrawopreglem4 25775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( V FriendGrph E -> A. z e. A A. c e. B { z , c } e. ran E )
25		preq1 4051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = x -> { z , c } = { x , c } )
26	25	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = x -> ( { z , c } e. ran E <-> { x , c } e. ran E ) )
27		preq2 4052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( c = b -> { x , c } = { x , b } )
28	27	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c = b -> ( { x , c } e. ran E <-> { x , b } e. ran E ) )
29	26, 28	cbvral2v 3027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. z e. A A. c e. B { z , c } e. ran E <-> A. x e. A A. b e. B { x , b } e. ran E )
30		rsp2 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. x e. A A. b e. B { x , b } e. ran E -> ( ( x e. A /\ b e. B ) -> { x , b } e. ran E ) )
31	29, 30	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. z e. A A. c e. B { z , c } e. ran E -> ( ( x e. A /\ b e. B ) -> { x , b } e. ran E ) )
32	24, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V FriendGrph E -> ( ( x e. A /\ b e. B ) -> { x , b } e. ran E ) )
33	32	expd 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( V FriendGrph E -> ( x e. A -> ( b e. B -> { x , b } e. ran E ) ) )
34	33	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( x e. A -> ( b e. B -> { x , b } e. ran E ) ) )
35	34	imp31 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) -> { x , b } e. ran E )
36	35	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> { x , b } e. ran E )
37	23, 36	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) )
38	37	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) /\ ( a =/= x /\ b =/= y ) ) -> ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) )
39	1, 2	frgrawopreglem4 25775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V FriendGrph E -> A. a e. A A. y e. B { a , y } e. ran E )
40		rsp2 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. a e. A A. y e. B { a , y } e. ran E -> ( ( a e. A /\ y e. B ) -> { a , y } e. ran E ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( V FriendGrph E -> ( ( a e. A /\ y e. B ) -> { a , y } e. ran E ) )
42	41	expdimp 439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( y e. B -> { a , y } e. ran E ) )
43	42	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) -> ( y e. B -> { a , y } e. ran E ) )
44	43	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> { a , y } e. ran E )
45		preq2 4052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( c = y -> { x , c } = { x , y } )
46	45	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( c = y -> ( { x , c } e. ran E <-> { x , y } e. ran E ) )
47	26, 46	cbvral2v 3027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. z e. A A. c e. B { z , c } e. ran E <-> A. x e. A A. y e. B { x , y } e. ran E )
48		rsp2 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. x e. A A. y e. B { x , y } e. ran E -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } e. ran E ) )
49	47, 48	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. z e. A A. c e. B { z , c } e. ran E -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } e. ran E ) )
50	24, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( V FriendGrph E -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } e. ran E ) )
51	50	expd 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V FriendGrph E -> ( x e. A -> ( y e. B -> { x , y } e. ran E ) ) )
52	51	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( x e. A -> ( y e. B -> { x , y } e. ran E ) ) )
53	52	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) -> ( y e. B -> { x , y } e. ran E ) )
54	53	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) -> ( y e. B -> { x , y } e. ran E ) )
55	54	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> { x , y } e. ran E )
56	44, 55	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) )
57	56	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) /\ ( a =/= x /\ b =/= y ) ) -> ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) )
58	16, 38, 57	3jca 1188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) /\ ( a =/= x /\ b =/= y ) ) -> ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) )
59	58	ex 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( a =/= x /\ b =/= y ) -> ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
60	59	reximdva 2862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) -> ( E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
61	60	reximdva 2862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) -> ( E. b e. B E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
62	61	reximdva 2862	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
63	14, 62	syl5bi 221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( E. b e. B E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
64	63	reximdva 2862	. . . . . . . . 9 |- ( V FriendGrph E -> ( E. a e. A E. b e. B E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
65	64	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( E. a e. A E. b e. B E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> ( V FriendGrph E -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
66	13, 65	sylbir 217	. . . . . . 7 |- ( E. a e. A E. b e. B ( E. x e. A a =/= x /\ E. y e. B b =/= y ) -> ( V FriendGrph E -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
67	11, 66	sylbir 217	. . . . . 6 |- ( ( E. a e. A E. x e. A a =/= x /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) -> ( V FriendGrph E -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
68	7, 10, 67	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ 1 < ( # ` B ) ) /\ 1 < ( # ` A ) ) -> ( V FriendGrph E -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
69	68	exp31 609	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( 1 < ( # ` B ) -> ( 1 < ( # ` A ) -> ( V FriendGrph E -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) ) ) )
70	69	com24 90	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( V FriendGrph E -> ( 1 < ( # ` A ) -> ( 1 < ( # ` B ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) ) ) )
71	3, 70	mpcom 37	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( 1 < ( # ` A ) -> ( 1 < ( # ` B ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) ) )
72	71	3imp 1202	1 |- ( ( V FriendGrph E /\ 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   {cpr 3970   class class class wbr 4402   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540   < clt 9675   #chash 12515   VDeg cvdg 25621   FriendGrph cfrgra 25716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-xadd 11410  df-fz 11785  df-hash 12516  df-usgra 25060  df-nbgra 25148  df-vdgr 25622  df-frgra 25717

This theorem is referenced by:  frgrawopreg  25777