MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrawopreglem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frgrawopreglem5 25776
Description: Lemma 5 for frgrawopreg 25777. If A as well as B contain at least two vertices in a friendship graph, there is a 4-cycle in the graph. This corresponds to statement 6 in [Huneke] p. 2: "... otherwise, there are two different vertices in A, and they have two common neighbors in B, ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  A
)  /\  1  <  (
# `  B )
)  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V    A, b    x, y, a, b, E    V, a, b, y    A, a, y    B, a, b, x, y
Allowed substitution hints:    K( y, a, b)

Proof of Theorem frgrawopreglem5
Dummy variables  z 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrawopreg.a . . . 4  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
2 frgrawopreg.b . . . 4  |-  B  =  ( V  \  A
)
31, 2frgrawopreglem1 25772 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
4 hashgt12el 12595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  1  <  ( # `  A
) )  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x )
54ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
1  <  ( # `  A
)  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x ) )
65ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  1  <  ( # `  B ) )  -> 
( 1  <  ( # `
 A )  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x ) )
76imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  1  <  ( # `  B
) )  /\  1  <  ( # `  A
) )  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x )
8 hashgt12el 12595 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  _V  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  E. b  e.  B  E. y  e.  B  b  =/=  y )
98adantll 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  1  <  ( # `  B ) )  ->  E. b  e.  B  E. y  e.  B  b  =/=  y )
109adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  1  <  ( # `  B
) )  /\  1  <  ( # `  A
) )  ->  E. b  e.  B  E. y  e.  B  b  =/=  y )
11 reeanv 2958 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  ( E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. y  e.  B  b  =/=  y )  <->  ( E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. b  e.  B  E. y  e.  B  b  =/=  y ) )
12 reeanv 2958 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  <->  ( E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. y  e.  B  b  =/=  y ) )
13122rexbii 2890 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  E. x  e.  A  E. y  e.  B  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  ( E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. y  e.  B  b  =/=  y ) )
14 rexcom 2952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. b  e.  B  E. x  e.  A  E. y  e.  B  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  <->  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )
15 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )  ->  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )
1615ancomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )  ->  ( b  =/=  y  /\  a  =/=  x ) )
171, 2frgrawopreglem4 25775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  B  { a ,  b }  e.  ran  E
)
18 rsp2 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. a  e.  A  A. b  e.  B  {
a ,  b }  e.  ran  E  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
2019expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  (
b  e.  B  ->  { a ,  b }  e.  ran  E
) )
2120adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( b  e.  B  ->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
2221imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ran  E )
2322adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ran  E )
241, 2frgrawopreglem4 25775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. z  e.  A  A. c  e.  B  { z ,  c }  e.  ran  E
)
25 preq1 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  x  ->  { z ,  c }  =  { x ,  c } )
2625eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  x  ->  ( { z ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  c }  e.  ran  E ) )
27 preq2 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( c  =  b  ->  { x ,  c }  =  { x ,  b } )
2827eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  =  b  ->  ( { x ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  b }  e.  ran  E ) )
2926, 28cbvral2v 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  A  A. c  e.  B  {
z ,  c }  e.  ran  E  <->  A. x  e.  A  A. b  e.  B  { x ,  b }  e.  ran  E )
30 rsp2 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. x  e.  A  A. b  e.  B  {
x ,  b }  e.  ran  E  -> 
( ( x  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  { x ,  b }  e.  ran  E ) )
3129, 30sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  A  A. c  e.  B  {
z ,  c }  e.  ran  E  -> 
( ( x  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  { x ,  b }  e.  ran  E ) )
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( x  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  { x ,  b }  e.  ran  E ) )
3332expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( x  e.  A  ->  ( b  e.  B  ->  { x ,  b }  e.  ran  E ) ) )
3433adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  (
x  e.  A  -> 
( b  e.  B  ->  { x ,  b }  e.  ran  E
) ) )
3534imp31 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  B )  ->  { x ,  b }  e.  ran  E )
3635adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  b }  e.  ran  E )
3723, 36jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
) )
3837adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E ) )
391, 2frgrawopreglem4 25775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. a  e.  A  A. y  e.  B  { a ,  y }  e.  ran  E
)
40 rsp2 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. a  e.  A  A. y  e.  B  {
a ,  y }  e.  ran  E  -> 
( ( a  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { a ,  y }  e.  ran  E ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( a  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { a ,  y }  e.  ran  E ) )
4241expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  (
y  e.  B  ->  { a ,  y }  e.  ran  E
) )
4342ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  B )  ->  (
y  e.  B  ->  { a ,  y }  e.  ran  E
) )
4443imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  { a ,  y }  e.  ran  E )
45 preq2 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( c  =  y  ->  { x ,  c }  =  { x ,  y } )
4645eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( c  =  y  ->  ( { x ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
4726, 46cbvral2v 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. z  e.  A  A. c  e.  B  {
z ,  c }  e.  ran  E  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  { x ,  y }  e.  ran  E )
48 rsp2 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  {
x ,  y }  e.  ran  E  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
4947, 48sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  A  A. c  e.  B  {
z ,  c }  e.  ran  E  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
5024, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
5150expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
5251adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  B  ->  { x ,  y }  e.  ran  E
) ) )
5352imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  B  ->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
5453adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  B )  ->  (
y  e.  B  ->  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
5554imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E )
5644, 55jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  ( { a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
5756adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )  ->  ( { a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
5816, 38, 573jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )  ->  ( ( b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
5958ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
( a  =/=  x  /\  b  =/=  y
)  ->  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6059reximdva 2862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  B )  ->  ( E. y  e.  B  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y
)  ->  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6160reximdva 2862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( E. b  e.  B  E. y  e.  B  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  ->  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( ( b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6261reximdva 2862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  ( E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y
)  ->  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6314, 62syl5bi 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  ( E. b  e.  B  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y
)  ->  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6463reximdva 2862 . . . . . . . . 9  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6564com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  E. x  e.  A  E. y  e.  B  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6613, 65sylbir 217 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  ( E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. y  e.  B  b  =/=  y )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6711, 66sylbir 217 . . . . . 6  |-  ( ( E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. b  e.  B  E. y  e.  B  b  =/=  y )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
687, 10, 67syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  1  <  ( # `  B
) )  /\  1  <  ( # `  A
) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6968exp31 609 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( 1  <  ( # `
 B )  -> 
( 1  <  ( # `
 A )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
7069com24 90 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  A )  ->  (
1  <  ( # `  B
)  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
713, 70mpcom 37 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  A )  ->  ( 1  < 
( # `  B )  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( ( b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
72713imp 1202 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  A
)  /\  1  <  (
# `  B )
)  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401   {cpr 3970   class class class wbr 4402   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540    < clt 9675   #chash 12515   VDeg cvdg 25621   FriendGrph cfrgra 25716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-xadd 11410  df-fz 11785  df-hash 12516  df-usgra 25060  df-nbgra 25148  df-vdgr 25622  df-frgra 25717
This theorem is referenced by:  frgrawopreg  25777
  Copyright terms: Public domain W3C validator