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Theorem frgrawopreglem5 25776
 Description: Lemma 5 for frgrawopreg 25777. If A as well as B contain at least two vertices in a friendship graph, there is a 4-cycle in the graph. This corresponds to statement 6 in [Huneke] p. 2: "... otherwise, there are two different vertices in A, and they have two common neighbors in B, ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a VDeg
frgrawopreg.b
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem5 FriendGrph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,,   ,,,   ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem frgrawopreglem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrawopreg.a . . . 4 VDeg
2 frgrawopreg.b . . . 4
31, 2frgrawopreglem1 25772 . . 3 FriendGrph
4 hashgt12el 12595 . . . . . . . . 9
54ex 436 . . . . . . . 8
65ad2antrr 732 . . . . . . 7
76imp 431 . . . . . 6
8 hashgt12el 12595 . . . . . . . 8
98adantll 720 . . . . . . 7
109adantr 467 . . . . . 6
11 reeanv 2958 . . . . . . 7
12 reeanv 2958 . . . . . . . . 9
13122rexbii 2890 . . . . . . . 8
14 rexcom 2952 . . . . . . . . . . 11
15 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph
1615ancomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 FriendGrph
171, 2frgrawopreglem4 25775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 FriendGrph
18 rsp2 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 FriendGrph
2019expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 FriendGrph
2120adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 FriendGrph
2221imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph
2322adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
241, 2frgrawopreglem4 25775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 FriendGrph
25 preq1 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2625eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
27 preq2 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2827eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2926, 28cbvral2v 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
30 rsp2 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3129, 30sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 FriendGrph
3332expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 FriendGrph
3433adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 FriendGrph
3534imp31 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph
3635adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
3723, 36jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph
3837adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 FriendGrph
391, 2frgrawopreglem4 25775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 FriendGrph
40 rsp2 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 FriendGrph
4241expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 FriendGrph
4342ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph
4443imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
45 preq2 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4645eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4726, 46cbvral2v 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
48 rsp2 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4947, 48sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5024, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 FriendGrph
5150expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 FriendGrph
5251adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 FriendGrph
5352imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 FriendGrph
5453adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph
5554imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
5644, 55jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph
5756adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 FriendGrph
5816, 38, 573jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15 FriendGrph
5958ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14 FriendGrph
6059reximdva 2862 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph
6160reximdva 2862 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph
6261reximdva 2862 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph
6314, 62syl5bi 221 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
6463reximdva 2862 . . . . . . . . 9 FriendGrph
6564com12 32 . . . . . . . 8 FriendGrph
6613, 65sylbir 217 . . . . . . 7 FriendGrph
6711, 66sylbir 217 . . . . . 6 FriendGrph
687, 10, 67syl2anc 667 . . . . 5 FriendGrph
6968exp31 609 . . . 4 FriendGrph
7069com24 90 . . 3 FriendGrph
713, 70mpcom 37 . 2 FriendGrph
72713imp 1202 1 FriendGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  crab 2741  cvv 3045   cdif 3401  cpr 3970   class class class wbr 4402   crn 4835  cfv 5582  (class class class)co 6290  c1 9540   clt 9675  chash 12515   VDeg cvdg 25621   FriendGrph cfrgra 25716 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-xadd 11410  df-fz 11785  df-hash 12516  df-usgra 25060  df-nbgra 25148  df-vdgr 25622  df-frgra 25717 This theorem is referenced by:  frgrawopreg  25777
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