Theorem frgrawopreglem5 25266

Description: Lemma 5 for frgrawopreg 25267. If A as well as B contain at least two vertices in a friendship graph, there is a 4-cycle in the graph. This corresponds to statement 6 in [Huneke] p. 2: "... otherwise, there are two different vertices in A, and they have two common neighbors in B, ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrawopreg.a	|- A = { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K }
frgrawopreg.b	|- B = ( V \ A )

Assertion

Ref	Expression
frgrawopreglem5	|- ( ( V FriendGrph E /\ 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, E   x, K   x, V   A, b   x, y, a, b, E   V, a, b, y   A, a, y   B, a, b, x, y

Allowed substitution hints:   K( y, a, b)

Proof of Theorem frgrawopreglem5

Dummy variables z c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrawopreg.a	. . . 4 |- A = { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K }
2		frgrawopreg.b	. . . 4 |- B = ( V \ A )
3	1, 2	frgrawopreglem1 25262	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
4		hashgt12el 12485	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ 1 < ( # ` A ) ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x )
5	4	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( 1 < ( # ` A ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x ) )
6	5	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> ( 1 < ( # ` A ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x ) )
7	6	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ 1 < ( # ` B ) ) /\ 1 < ( # ` A ) ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x )
8		hashgt12el 12485	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. _V /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. b e. B E. y e. B b =/= y )
9	8	adantll 713	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. b e. B E. y e. B b =/= y )
10	9	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ 1 < ( # ` B ) ) /\ 1 < ( # ` A ) ) -> E. b e. B E. y e. B b =/= y )
11		reeanv 3025	. . . . . . 7 |- ( E. a e. A E. b e. B ( E. x e. A a =/= x /\ E. y e. B b =/= y ) <-> ( E. a e. A E. x e. A a =/= x /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) )
12		reeanv 3025	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) <-> ( E. x e. A a =/= x /\ E. y e. B b =/= y ) )
13	12	2rexbii 2960	. . . . . . . 8 |- ( E. a e. A E. b e. B E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) <-> E. a e. A E. b e. B ( E. x e. A a =/= x /\ E. y e. B b =/= y ) )
14		rexcom 3019	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. b e. B E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) <-> E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) )
15		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) /\ ( a =/= x /\ b =/= y ) ) -> ( a =/= x /\ b =/= y ) )
16	15	ancomd 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) /\ ( a =/= x /\ b =/= y ) ) -> ( b =/= y /\ a =/= x ) )
17	1, 2	frgrawopreglem4 25265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( V FriendGrph E -> A. a e. A A. b e. B { a , b } e. ran E )
18		rsp2 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. a e. A A. b e. B { a , b } e. ran E -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> { a , b } e. ran E ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V FriendGrph E -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> { a , b } e. ran E ) )
20	19	expdimp 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( b e. B -> { a , b } e. ran E ) )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) -> ( b e. B -> { a , b } e. ran E ) )
22	21	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) -> { a , b } e. ran E )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> { a , b } e. ran E )
24	1, 2	frgrawopreglem4 25265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( V FriendGrph E -> A. z e. A A. c e. B { z , c } e. ran E )
25		preq1 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = x -> { z , c } = { x , c } )
26	25	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = x -> ( { z , c } e. ran E <-> { x , c } e. ran E ) )
27		preq2 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( c = b -> { x , c } = { x , b } )
28	27	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c = b -> ( { x , c } e. ran E <-> { x , b } e. ran E ) )
29	26, 28	cbvral2v 3092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. z e. A A. c e. B { z , c } e. ran E <-> A. x e. A A. b e. B { x , b } e. ran E )
30		rsp2 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. x e. A A. b e. B { x , b } e. ran E -> ( ( x e. A /\ b e. B ) -> { x , b } e. ran E ) )
31	29, 30	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. z e. A A. c e. B { z , c } e. ran E -> ( ( x e. A /\ b e. B ) -> { x , b } e. ran E ) )
32	24, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V FriendGrph E -> ( ( x e. A /\ b e. B ) -> { x , b } e. ran E ) )
33	32	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( V FriendGrph E -> ( x e. A -> ( b e. B -> { x , b } e. ran E ) ) )
34	33	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( x e. A -> ( b e. B -> { x , b } e. ran E ) ) )
35	34	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) -> { x , b } e. ran E )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> { x , b } e. ran E )
37	23, 36	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) /\ ( a =/= x /\ b =/= y ) ) -> ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) )
39	1, 2	frgrawopreglem4 25265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V FriendGrph E -> A. a e. A A. y e. B { a , y } e. ran E )
40		rsp2 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. a e. A A. y e. B { a , y } e. ran E -> ( ( a e. A /\ y e. B ) -> { a , y } e. ran E ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( V FriendGrph E -> ( ( a e. A /\ y e. B ) -> { a , y } e. ran E ) )
42	41	expdimp 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( y e. B -> { a , y } e. ran E ) )
43	42	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) -> ( y e. B -> { a , y } e. ran E ) )
44	43	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> { a , y } e. ran E )
45		preq2 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( c = y -> { x , c } = { x , y } )
46	45	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( c = y -> ( { x , c } e. ran E <-> { x , y } e. ran E ) )
47	26, 46	cbvral2v 3092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. z e. A A. c e. B { z , c } e. ran E <-> A. x e. A A. y e. B { x , y } e. ran E )
48		rsp2 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. x e. A A. y e. B { x , y } e. ran E -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } e. ran E ) )
49	47, 48	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. z e. A A. c e. B { z , c } e. ran E -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } e. ran E ) )
50	24, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( V FriendGrph E -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } e. ran E ) )
51	50	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V FriendGrph E -> ( x e. A -> ( y e. B -> { x , y } e. ran E ) ) )
52	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( x e. A -> ( y e. B -> { x , y } e. ran E ) ) )
53	52	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) -> ( y e. B -> { x , y } e. ran E ) )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) -> ( y e. B -> { x , y } e. ran E ) )
55	54	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> { x , y } e. ran E )
56	44, 55	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) /\ ( a =/= x /\ b =/= y ) ) -> ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) )
58	16, 38, 57	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) /\ ( a =/= x /\ b =/= y ) ) -> ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) )
59	58	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( a =/= x /\ b =/= y ) -> ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
60	59	reximdva 2932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) /\ b e. B ) -> ( E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
61	60	reximdva 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) /\ x e. A ) -> ( E. b e. B E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
62	61	reximdva 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
63	14, 62	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V FriendGrph E /\ a e. A ) -> ( E. b e. B E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
64	63	reximdva 2932	. . . . . . . . 9 |- ( V FriendGrph E -> ( E. a e. A E. b e. B E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
65	64	com12 31	. . . . . . . 8 |- ( E. a e. A E. b e. B E. x e. A E. y e. B ( a =/= x /\ b =/= y ) -> ( V FriendGrph E -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
66	13, 65	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( E. a e. A E. b e. B ( E. x e. A a =/= x /\ E. y e. B b =/= y ) -> ( V FriendGrph E -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
67	11, 66	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( ( E. a e. A E. x e. A a =/= x /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) -> ( V FriendGrph E -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
68	7, 10, 67	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ 1 < ( # ` B ) ) /\ 1 < ( # ` A ) ) -> ( V FriendGrph E -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) )
69	68	exp31 604	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( 1 < ( # ` B ) -> ( 1 < ( # ` A ) -> ( V FriendGrph E -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) ) ) )
70	69	com24 87	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( V FriendGrph E -> ( 1 < ( # ` A ) -> ( 1 < ( # ` B ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) ) ) )
71	3, 70	mpcom 36	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( 1 < ( # ` A ) -> ( 1 < ( # ` B ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) ) ) )
72	71	3imp 1190	1 |- ( ( V FriendGrph E /\ 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( b =/= y /\ a =/= x ) /\ ( { a , b } e. ran E /\ { x , b } e. ran E ) /\ ( { a , y } e. ran E /\ { x , y } e. ran E ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   {cpr 4034   class class class wbr 4456   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510   < clt 9645   #chash 12408   VDeg cvdg 25111   FriendGrph cfrgra 25206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-xadd 11344  df-fz 11698  df-hash 12409  df-usgra 24551  df-nbgra 24638  df-vdgr 25112  df-frgra 25207

This theorem is referenced by:  frgrawopreg  25267