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Theorem frgrawopreglem5 25266
Description: Lemma 5 for frgrawopreg 25267. If A as well as B contain at least two vertices in a friendship graph, there is a 4-cycle in the graph. This corresponds to statement 6 in [Huneke] p. 2: "... otherwise, there are two different vertices in A, and they have two common neighbors in B, ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  A
)  /\  1  <  (
# `  B )
)  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V    A, b    x, y, a, b, E    V, a, b, y    A, a, y    B, a, b, x, y
Allowed substitution hints:    K( y, a, b)

Proof of Theorem frgrawopreglem5
Dummy variables  z 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrawopreg.a . . . 4  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
2 frgrawopreg.b . . . 4  |-  B  =  ( V  \  A
)
31, 2frgrawopreglem1 25262 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
4 hashgt12el 12485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  1  <  ( # `  A
) )  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x )
54ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
1  <  ( # `  A
)  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x ) )
65ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  1  <  ( # `  B ) )  -> 
( 1  <  ( # `
 A )  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x ) )
76imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  1  <  ( # `  B
) )  /\  1  <  ( # `  A
) )  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x )
8 hashgt12el 12485 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  _V  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  E. b  e.  B  E. y  e.  B  b  =/=  y )
98adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  1  <  ( # `  B ) )  ->  E. b  e.  B  E. y  e.  B  b  =/=  y )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  1  <  ( # `  B
) )  /\  1  <  ( # `  A
) )  ->  E. b  e.  B  E. y  e.  B  b  =/=  y )
11 reeanv 3025 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  ( E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. y  e.  B  b  =/=  y )  <->  ( E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. b  e.  B  E. y  e.  B  b  =/=  y ) )
12 reeanv 3025 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  <->  ( E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. y  e.  B  b  =/=  y ) )
13122rexbii 2960 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  E. x  e.  A  E. y  e.  B  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  ( E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. y  e.  B  b  =/=  y ) )
14 rexcom 3019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. b  e.  B  E. x  e.  A  E. y  e.  B  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  <->  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )
15 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )  ->  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )
1615ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )  ->  ( b  =/=  y  /\  a  =/=  x ) )
171, 2frgrawopreglem4 25265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  B  { a ,  b }  e.  ran  E
)
18 rsp2 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. a  e.  A  A. b  e.  B  {
a ,  b }  e.  ran  E  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
2019expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  (
b  e.  B  ->  { a ,  b }  e.  ran  E
) )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( b  e.  B  ->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ran  E )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ran  E )
241, 2frgrawopreglem4 25265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. z  e.  A  A. c  e.  B  { z ,  c }  e.  ran  E
)
25 preq1 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  x  ->  { z ,  c }  =  { x ,  c } )
2625eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  x  ->  ( { z ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  c }  e.  ran  E ) )
27 preq2 4112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( c  =  b  ->  { x ,  c }  =  { x ,  b } )
2827eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  =  b  ->  ( { x ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  b }  e.  ran  E ) )
2926, 28cbvral2v 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  A  A. c  e.  B  {
z ,  c }  e.  ran  E  <->  A. x  e.  A  A. b  e.  B  { x ,  b }  e.  ran  E )
30 rsp2 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. x  e.  A  A. b  e.  B  {
x ,  b }  e.  ran  E  -> 
( ( x  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  { x ,  b }  e.  ran  E ) )
3129, 30sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  A  A. c  e.  B  {
z ,  c }  e.  ran  E  -> 
( ( x  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  { x ,  b }  e.  ran  E ) )
3224, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( x  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  { x ,  b }  e.  ran  E ) )
3332expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( x  e.  A  ->  ( b  e.  B  ->  { x ,  b }  e.  ran  E ) ) )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  (
x  e.  A  -> 
( b  e.  B  ->  { x ,  b }  e.  ran  E
) ) )
3534imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  B )  ->  { x ,  b }  e.  ran  E )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  b }  e.  ran  E )
3723, 36jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E ) )
391, 2frgrawopreglem4 25265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. a  e.  A  A. y  e.  B  { a ,  y }  e.  ran  E
)
40 rsp2 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. a  e.  A  A. y  e.  B  {
a ,  y }  e.  ran  E  -> 
( ( a  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { a ,  y }  e.  ran  E ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( a  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { a ,  y }  e.  ran  E ) )
4241expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  (
y  e.  B  ->  { a ,  y }  e.  ran  E
) )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  B )  ->  (
y  e.  B  ->  { a ,  y }  e.  ran  E
) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  { a ,  y }  e.  ran  E )
45 preq2 4112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( c  =  y  ->  { x ,  c }  =  { x ,  y } )
4645eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( c  =  y  ->  ( { x ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
4726, 46cbvral2v 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. z  e.  A  A. c  e.  B  {
z ,  c }  e.  ran  E  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  { x ,  y }  e.  ran  E )
48 rsp2 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  {
x ,  y }  e.  ran  E  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
4947, 48sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  A  A. c  e.  B  {
z ,  c }  e.  ran  E  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
5024, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
5150expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  B  ->  { x ,  y }  e.  ran  E
) ) )
5352imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  B  ->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  B )  ->  (
y  e.  B  ->  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
5554imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E )
5644, 55jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  ( { a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )  ->  ( { a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
5816, 38, 573jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y ) )  ->  ( ( b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
5958ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A
)  /\  x  e.  A )  /\  b  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
( a  =/=  x  /\  b  =/=  y
)  ->  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6059reximdva 2932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  B )  ->  ( E. y  e.  B  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y
)  ->  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6160reximdva 2932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( E. b  e.  B  E. y  e.  B  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  ->  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( ( b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6261reximdva 2932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  ( E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y
)  ->  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6314, 62syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  a  e.  A )  ->  ( E. b  e.  B  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y
)  ->  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6463reximdva 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6564com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  E. x  e.  A  E. y  e.  B  (
a  =/=  x  /\  b  =/=  y )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6613, 65sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  ( E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. y  e.  B  b  =/=  y )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6711, 66sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( ( E. a  e.  A  E. x  e.  A  a  =/=  x  /\  E. b  e.  B  E. y  e.  B  b  =/=  y )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
687, 10, 67syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  1  <  ( # `  B
) )  /\  1  <  ( # `  A
) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
6968exp31 604 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( 1  <  ( # `
 B )  -> 
( 1  <  ( # `
 A )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
7069com24 87 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  A )  ->  (
1  <  ( # `  B
)  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
713, 70mpcom 36 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  A )  ->  ( 1  < 
( # `  B )  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( ( b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
72713imp 1190 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  A
)  /\  1  <  (
# `  B )
)  ->  E. a  e.  A  E. x  e.  A  E. b  e.  B  E. y  e.  B  ( (
b  =/=  y  /\  a  =/=  x )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { x ,  b }  e.  ran  E
)  /\  ( {
a ,  y }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468   {cpr 4034   class class class wbr 4456   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510    < clt 9645   #chash 12408   VDeg cvdg 25111   FriendGrph cfrgra 25206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-xadd 11344  df-fz 11698  df-hash 12409  df-usgra 24551  df-nbgra 24638  df-vdgr 25112  df-frgra 25207
This theorem is referenced by:  frgrawopreg  25267
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