Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrawopreglem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frgrawopreglem4 25854
 Description: Lemma 4 for frgrawopreg 25856. In a friendship graph each vertex with degree K is connected with a vertex with degree other than K. This corresponds to statement 4 in [Huneke] p. 2: "By the first claim, every vertex in A is adjacent to every vertex in B.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a VDeg
frgrawopreg.b
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem4 FriendGrph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,)

Proof of Theorem frgrawopreglem4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrawopreg.a . . . 4 VDeg
2 frgrawopreg.b . . . 4
31, 2frgrawopreglem3 25853 . . 3 VDeg VDeg
4 frgrancvvdgeq 25850 . . . 4 FriendGrph Neighbors VDeg VDeg
5 elrabi 3181 . . . . . . . . 9 VDeg
65, 1eleq2s 2567 . . . . . . . 8
7 sneq 3969 . . . . . . . . . . 11
87difeq2d 3540 . . . . . . . . . 10
9 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12 Neighbors Neighbors
10 neleq2 2749 . . . . . . . . . . . 12 Neighbors Neighbors Neighbors Neighbors
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 Neighbors Neighbors
12 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
1312eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg VDeg VDeg
1411, 13imbi12d 327 . . . . . . . . . 10 Neighbors VDeg VDeg Neighbors VDeg VDeg
158, 14raleqbidv 2987 . . . . . . . . 9 Neighbors VDeg VDeg Neighbors VDeg VDeg
1615rspcv 3132 . . . . . . . 8 Neighbors VDeg VDeg Neighbors VDeg VDeg
176, 16syl 17 . . . . . . 7 Neighbors VDeg VDeg Neighbors VDeg VDeg
1817adantr 472 . . . . . 6 Neighbors VDeg VDeg Neighbors VDeg VDeg
192eleq2i 2541 . . . . . . . . . 10
20 eldif 3400 . . . . . . . . . 10
2119, 20bitri 257 . . . . . . . . 9
22 simpll 768 . . . . . . . . . . 11
23 eleq1a 2544 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423con3rr3 143 . . . . . . . . . . . . . 14
2524adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
2625imp 436 . . . . . . . . . . . 12
27 elsn 3973 . . . . . . . . . . . 12
2826, 27sylnibr 312 . . . . . . . . . . 11
2922, 28eldifd 3401 . . . . . . . . . 10
3029ex 441 . . . . . . . . 9
3121, 30sylbi 200 . . . . . . . 8
3231impcom 437 . . . . . . 7
33 neleq1 2748 . . . . . . . . 9 Neighbors Neighbors
34 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
3534eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg VDeg VDeg
3633, 35imbi12d 327 . . . . . . . 8 Neighbors VDeg VDeg Neighbors VDeg VDeg
3736rspcv 3132 . . . . . . 7 Neighbors VDeg VDeg Neighbors VDeg VDeg
3832, 37syl 17 . . . . . 6 Neighbors VDeg VDeg Neighbors VDeg VDeg
39 nnel 2752 . . . . . . . . 9 Neighbors Neighbors
40 frisusgra 25799 . . . . . . . . . . . . . . 15 FriendGrph USGrph
41 nbgraeledg 25237 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph Neighbors
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 FriendGrph Neighbors
43 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443eleq1i 2540 . . . . . . . . . . . . . 14
4542, 44syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph Neighbors
4645biimpa 492 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph Neighbors
4746a1d 25 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph Neighbors VDeg VDeg
4847expcom 442 . . . . . . . . . 10 Neighbors FriendGrph VDeg VDeg
4948a1d 25 . . . . . . . . 9 Neighbors FriendGrph VDeg VDeg
5039, 49sylbi 200 . . . . . . . 8 Neighbors FriendGrph VDeg VDeg
51 eqneqall 2654 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg VDeg VDeg
5251a1d 25 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
5352a1d 25 . . . . . . . 8 VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
5450, 53ja 166 . . . . . . 7 Neighbors VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
5554com12 31 . . . . . 6 Neighbors VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
5618, 38, 553syld 56 . . . . 5 Neighbors VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
5756com3l 83 . . . 4 Neighbors VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
584, 57mpcom 36 . . 3 FriendGrph VDeg VDeg
593, 58mpdi 42 . 2 FriendGrph
6059ralrimivv 2813 1 FriendGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   wnel 2642  wral 2756  crab 2760   cdif 3387  csn 3959  cpr 3961  cop 3965   class class class wbr 4395   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308   USGrph cusg 25136   Neighbors cnbgra 25224   VDeg cvdg 25700   FriendGrph cfrgra 25795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-nbgra 25227  df-vdgr 25701  df-frgra 25796 This theorem is referenced by:  frgrawopreglem5  25855  frgrawopreg1  25857  frgrawopreg2  25858
 Copyright terms: Public domain W3C validator