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Theorem frgrawopreglem3 25716
Description: Lemma 3 for frgrawopreg 25719. The vertices in the sets A and B have different degrees. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem frgrawopreglem3
StepHypRef Expression
1 fveq2 5825 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 X ) )
21eqeq1d 2430 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  X
)  =  K ) )
3 frgrawopreg.a . . . 4  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
42, 3elrab2 3173 . . 3  |-  ( X  e.  A  <->  ( X  e.  V  /\  (
( V VDeg  E ) `  X )  =  K ) )
5 frgrawopreg.b . . . . . 6  |-  B  =  ( V  \  A
)
65eleq2i 2498 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  ( V  \  A ) )
7 eldif 3389 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  A )  <->  ( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  A ) )
86, 7bitri 252 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  A ) )
9 fveq2 5825 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 Y ) )
109eqeq1d 2430 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  Y
)  =  K ) )
1110, 3elrab2 3173 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  A  <->  ( Y  e.  V  /\  (
( V VDeg  E ) `  Y )  =  K ) )
12 ianor 490 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( Y  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K )  <->  ( -.  Y  e.  V  \/  -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K ) )
13 pm2.21 111 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  Y  e.  V  -> 
( Y  e.  V  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  X )  =  K )  ->  ( ( V VDeg  E ) `  X
)  =/=  ( ( V VDeg  E ) `  Y ) ) ) )
14 nesym 2657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  =/=  ( ( V VDeg 
E ) `  Y
)  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  Y
)  =  K )
1514biimpri 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K  ->  K  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
)
16 neeq1 2663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 X )  =  K  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y )  <->  K  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
) )
1715, 16syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 X )  =  K  ->  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K  ->  ( ( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) )
1817adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K  ->  ( ( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) )
1918com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) )
2019a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K  ->  ( Y  e.  V  ->  (
( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) ) )
2113, 20jaoi 380 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  Y  e.  V  \/  -.  ( ( V VDeg 
E ) `  Y
)  =  K )  ->  ( Y  e.  V  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) ) )
2212, 21sylbi 198 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( Y  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K )  ->  ( Y  e.  V  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) ) )
2311, 22sylnbi 307 . . . . . 6  |-  ( -.  Y  e.  A  -> 
( Y  e.  V  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  X )  =  K )  ->  ( ( V VDeg  E ) `  X
)  =/=  ( ( V VDeg  E ) `  Y ) ) ) )
2423impcom 431 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  A
)  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) )
2524com12 32 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  A
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  X
)  =/=  ( ( V VDeg  E ) `  Y ) ) )
268, 25syl5bi 220 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  ( Y  e.  B  ->  ( ( V VDeg  E ) `
 X )  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
) )
274, 26sylbi 198 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  ( Y  e.  B  ->  ( ( V VDeg  E ) `
 X )  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
) )
2827imp 430 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   {crab 2718    \ cdif 3376   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   VDeg cvdg 25563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-iota 5508  df-fv 5552
This theorem is referenced by:  frgrawopreglem4  25717
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