MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrawopreglem2 Structured version   Unicode version

Theorem frgrawopreglem2 24877
Description: Lemma 2 for frgrawopreg 24881. In a friendship graph with at least 2 vertices, the degree of a vertex must be at least 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  <  K )
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem frgrawopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 3799 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
2 frgrawopreg.a . . . . . . 7  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
32rabeq2i 3115 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  V  /\  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K ) )
43exbii 1644 . . . . 5  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. x ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  x )  =  K ) )
5 vdgfrgragt2 24859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  2  <_  ( ( V VDeg  E ) `
 x ) ) )
6 frisusgra 24824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
7 vdgrnn0pnf 24741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
86, 7sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
9 elun 3650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( K  e.  NN0  \/  K  e. 
{ +oo } ) )
10 2z 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
11 nn0z 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
12 zlem1lt 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  K  <->  ( 2  -  1 )  <  K ) )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  <->  ( 2  -  1 )  < 
K ) )
14 2m1e1 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  -  1 )  =  1 )
1615breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( 2  -  1 )  <  K  <->  1  <  K ) )
1713, 16bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  <->  1  <  K ) )
1817biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
19 elsni 4058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  { +oo }  ->  K  = +oo )
20 1re 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
21 ltpnf 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  < +oo
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  = +oo  ->  K  = +oo )
2422, 23syl5breqr 4489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  = +oo  ->  1  <  K )
2524a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  = +oo  ->  (
2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2619, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  { +oo }  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2718, 26jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  \/  K  e.  { +oo }
)  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
289, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  -> 
( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( K  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  (
2  <_  K  ->  1  <  K ) ) )
30 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  K  e.  ( NN0  u.  { +oo }
) ) )
31 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  <->  2  <_  K
) )
3231imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
2  <_  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  ->  1  <  K )  <->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K
) ) )
3329, 30, 323imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  ->  1  <  K ) ) )
3433com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) )
355, 8, 34syl6ci 65 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) )
3635expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) ) )
3736com24 87 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) ) )
3837imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
3938exlimiv 1698 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  x )  =  K )  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
404, 39sylbi 195 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( 1  <  ( # `
 V )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  1  <  K ) ) )
411, 40sylbi 195 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
4241com13 80 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  1  <  K
) ) )
43423imp 1190 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  <  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2821    \ cdif 3478    u. cun 3479   (/)c0 3790   {csn 4033   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   1c1 9505   +oocpnf 9637    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   #chash 12385   USGrph cusg 24162   VDeg cvdg 24725   FriendGrph cfrgra 24820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-xadd 11331  df-fz 11685  df-hash 12386  df-usgra 24165  df-vdgr 24726  df-frgra 24821
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator