Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgrawopreglem2 Structured version   Unicode version

Theorem frgrawopreglem2 30563
Description: Lemma 2 for frgrawopreg 30567. In a friendship graph with at least 2 vertices, the degree of a vertex must be at least 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  <  K )
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem frgrawopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 3643 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
2 frgrawopreg.a . . . . . . 7  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
32rabeq2i 2967 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  V  /\  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K ) )
43exbii 1639 . . . . 5  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. x ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  x )  =  K ) )
5 frisusgra 30509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
6 vdgrnn0pnf 23514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
75, 6sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
8 vdgfrgragt2 30545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  2  <_  ( ( V VDeg  E ) `
 x ) ) )
9 elun 3494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( K  e.  NN0  \/  K  e. 
{ +oo } ) )
10 2z 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ZZ
11 nn0z 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
12 zlem1lt 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  K  <->  ( 2  -  1 )  <  K ) )
1310, 11, 12sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  <->  ( 2  -  1 )  < 
K ) )
14 2m1e1 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  -  1 )  =  1 )
1615breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( 2  -  1 )  <  K  <->  1  <  K ) )
1713, 16bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  <->  1  <  K ) )
1817biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
19 elsni 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  { +oo }  ->  K  = +oo )
20 1re 9381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
21 ltpnf 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  < +oo
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  = +oo  ->  K  = +oo )
2422, 23syl5breqr 4325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  = +oo  ->  1  <  K )
2524a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  = +oo  ->  (
2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2619, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  { +oo }  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2718, 26jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  NN0  \/  K  e.  { +oo }
)  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
289, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  -> 
( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( K  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  (
2  <_  K  ->  1  <  K ) ) )
30 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  K  e.  ( NN0  u.  { +oo }
) ) )
31 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  <->  2  <_  K
) )
3231imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
2  <_  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  ->  1  <  K )  <->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K
) ) )
3329, 30, 323imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  ->  1  <  K ) ) )
3433com13 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) )
358, 34syl6com 35 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K  ->  1  < 
K ) ) ) )
3635com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) ) )
377, 36mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) )
3837expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) ) )
3938com24 87 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) ) )
4039imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
4140exlimiv 1693 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  x )  =  K )  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
424, 41sylbi 195 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( 1  <  ( # `
 V )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  1  <  K ) ) )
431, 42sylbi 195 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
4443com13 80 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  1  <  K
) ) )
45443imp 1176 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  <  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   {crab 2717    \ cdif 3322    u. cun 3323   (/)c0 3634   {csn 3874   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   1c1 9279   +oocpnf 9411    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   #chash 12099   USGrph cusg 23199   VDeg cvdg 23498   FriendGrph cfrgra 30505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-xadd 11086  df-fz 11434  df-hash 12100  df-usgra 23201  df-vdgr 23499  df-frgra 30506
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator