Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgrawopreglem2 Structured version   Unicode version

Theorem frgrawopreglem2 30657
Description: Lemma 2 for frgrawopreg 30661. In a friendship graph with at least 2 vertices, the degree of a vertex must be at least 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  <  K )
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem frgrawopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 3661 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
2 frgrawopreg.a . . . . . . 7  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
32rabeq2i 2984 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  V  /\  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K ) )
43exbii 1634 . . . . 5  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. x ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  x )  =  K ) )
5 frisusgra 30603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
6 vdgrnn0pnf 23594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
75, 6sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
8 vdgfrgragt2 30639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  2  <_  ( ( V VDeg  E ) `
 x ) ) )
9 elun 3512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( K  e.  NN0  \/  K  e. 
{ +oo } ) )
10 2z 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ZZ
11 nn0z 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
12 zlem1lt 10711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  K  <->  ( 2  -  1 )  <  K ) )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  <->  ( 2  -  1 )  < 
K ) )
14 2m1e1 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  -  1 )  =  1 )
1615breq1d 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( 2  -  1 )  <  K  <->  1  <  K ) )
1713, 16bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  <->  1  <  K ) )
1817biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
19 elsni 3917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  { +oo }  ->  K  = +oo )
20 1re 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
21 ltpnf 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  < +oo
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  = +oo  ->  K  = +oo )
2422, 23syl5breqr 4343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  = +oo  ->  1  <  K )
2524a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  = +oo  ->  (
2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2619, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  { +oo }  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2718, 26jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  NN0  \/  K  e.  { +oo }
)  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
289, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  -> 
( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( K  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  (
2  <_  K  ->  1  <  K ) ) )
30 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  K  e.  ( NN0  u.  { +oo }
) ) )
31 breq2 4311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  <->  2  <_  K
) )
3231imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
2  <_  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  ->  1  <  K )  <->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K
) ) )
3329, 30, 323imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  ->  1  <  K ) ) )
3433com13 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) )
358, 34syl6com 35 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K  ->  1  < 
K ) ) ) )
3635com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) ) )
377, 36mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) )
3837expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) ) )
3938com24 87 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) ) )
4039imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
4140exlimiv 1688 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  x )  =  K )  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
424, 41sylbi 195 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( 1  <  ( # `
 V )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  1  <  K ) ) )
431, 42sylbi 195 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
4443com13 80 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  1  <  K
) ) )
45443imp 1181 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  <  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {crab 2734    \ cdif 3340    u. cun 3341   (/)c0 3652   {csn 3892   class class class wbr 4307   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   RRcr 9296   1c1 9298   +oocpnf 9430    < clt 9433    <_ cle 9434    - cmin 9610   2c2 10386   NN0cn0 10594   ZZcz 10661   #chash 12118   USGrph cusg 23279   VDeg cvdg 23578   FriendGrph cfrgra 30599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-xadd 11105  df-fz 11453  df-hash 12119  df-usgra 23281  df-vdgr 23579  df-frgra 30600
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator