Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgrawopreglem2 Unicode version

Theorem frgrawopreglem2 28148
Description: Lemma 2 for frgrawopreg 28152. In a friendship graph with at least 2 vertices, the degree of a vertex must be at least 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  <  K )
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem frgrawopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 3597 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
2 frgrawopreg.a . . . . . . 7  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
32rabeq2i 2913 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  V  /\  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K ) )
43exbii 1589 . . . . 5  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. x ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  x )  =  K ) )
5 frisusgra 28096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
6 vdgrnn0pnf 21633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } ) )
75, 6sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } ) )
8 vdgfrgragt2 28132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  2  <_  ( ( V VDeg  E ) `
 x ) ) )
9 elun 3448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( NN0  u.  { 
+oo } )  <->  ( K  e.  NN0  \/  K  e. 
{  +oo } ) )
10 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ZZ
11 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
12 zlem1lt 10283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  K  <->  ( 2  -  1 )  <  K ) )
1310, 11, 12sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  <->  ( 2  -  1 )  < 
K ) )
14 2m1e1 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  -  1 )  =  1 )
1615breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( 2  -  1 )  <  K  <->  1  <  K ) )
1713, 16bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  <->  1  <  K ) )
1817biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
19 elsni 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  {  +oo }  ->  K  =  +oo )
20 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
21 ltpnf 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  <  +oo )
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <  +oo
23 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  =  +oo  ->  K  =  +oo )
2422, 23syl5breqr 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  =  +oo  ->  1  <  K )
2524a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  =  +oo  ->  (
2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2619, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  {  +oo }  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2718, 26jaoi 369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  NN0  \/  K  e.  {  +oo }
)  ->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K ) )
289, 27sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( NN0  u.  { 
+oo } )  ->  (
2  <_  K  ->  1  <  K ) )
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( K  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )  ->  (
2  <_  K  ->  1  <  K ) ) )
30 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )  <->  K  e.  ( NN0  u.  {  +oo }
) ) )
31 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  <->  2  <_  K
) )
3231imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
2  <_  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  ->  1  <  K )  <->  ( 2  <_  K  ->  1  <  K
) ) )
3329, 30, 323imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  =  K  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )  ->  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  ->  1  <  K ) ) )
3433com13 76 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <_  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) )
358, 34syl6com 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K  ->  1  < 
K ) ) ) )
3635com13 76 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 x )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) ) )
377, 36mpcom 34 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  x  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) )
3837expcom 425 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K  ->  1  <  K
) ) ) )
3938com24 83 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) ) )
4039imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
4140exlimiv 1641 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  x )  =  K )  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
424, 41sylbi 188 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( 1  <  ( # `
 V )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  1  <  K ) ) )
431, 42sylbi 188 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  1  <  K
) ) )
4443com13 76 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  1  <  K
) ) )
45443imp 1147 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  <  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {crab 2670    \ cdif 3277    u. cun 3278   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947    +oocpnf 9073    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   #chash 11573   USGrph cusg 21318   VDeg cvdg 21617   FriendGrph cfrgra 28092
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-xadd 10667  df-fz 11000  df-hash 11574  df-usgra 21320  df-vdgr 21618  df-frgra 28093
  Copyright terms: Public domain W3C validator