Theorem frgrawopreg2 25256

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrawopreg.a	|- A = { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K }
frgrawopreg.b	|- B = ( V \ A )

Assertion

Ref	Expression
frgrawopreg2	|- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` B ) = 1 ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E )

Distinct variable groups:   x, A   x, E   x, K   x, V   x, B   w, v, x, A   v, B, w   v, V, w   v, E, w

Allowed substitution hints:   K( w, v)

Proof of Theorem frgrawopreg2

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrawopreg.a	. . . . . 6 |- A = { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K }
2		frgrawopreg.b	. . . . . 6 |- B = ( V \ A )
3	1, 2	frgrawopreglem1 25249	. . . . 5 |- ( V FriendGrph E -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
4	3	simprd 461	. . . 4 |- ( V FriendGrph E -> B e. _V )
5		hash1snb 12466	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( ( # ` B ) = 1 <-> E. v B = { v } ) )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( ( # ` B ) = 1 <-> E. v B = { v } ) )
7		exsnrex 4054	. . . . 5 |- ( E. v B = { v } <-> E. v e. B B = { v } )
8		difss 3617	. . . . . . . 8 |- ( V \ A ) C_ V
9	2, 8	eqsstri 3519	. . . . . . 7 |- B C_ V
10		ssrexv 3551	. . . . . . 7 |- ( B C_ V -> ( E. v e. B B = { v } -> E. v e. V B = { v } ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( E. v e. B B = { v } -> E. v e. V B = { v } )
12	1, 2	frgrawopreglem4 25252	. . . . . . . 8 |- ( V FriendGrph E -> A. w e. A A. u e. B { w , u } e. ran E )
13		ralcom 3015	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. A A. u e. B { w , u } e. ran E <-> A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E )
14		ssnid 4045	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. { v }
15		eleq2 2527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = { v } -> ( v e. B <-> v e. { v } ) )
16	14, 15	mpbiri 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = { v } -> v e. B )
17		preq2 4096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = v -> { w , u } = { w , v } )
18	17	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = v -> ( { w , u } e. ran E <-> { w , v } e. ran E ) )
19	18	ralbidv 2893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = v -> ( A. w e. A { w , u } e. ran E <-> A. w e. A { w , v } e. ran E ) )
20	19	rspcv 3203	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. B -> ( A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E -> A. w e. A { w , v } e. ran E ) )
21	16, 20	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B = { v } -> ( A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E -> A. w e. A { w , v } e. ran E ) )
22	2	eqeq1i 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = { v } <-> ( V \ A ) = { v } )
23		ssrab2 3571	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K } C_ V
24	1, 23	eqsstri 3519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A C_ V
25		dfss4 3729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ V <-> ( V \ ( V \ A ) ) = A )
26		eqcom 2463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V \ ( V \ A ) ) = A <-> A = ( V \ ( V \ A ) ) )
27	25, 26	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ V <-> A = ( V \ ( V \ A ) ) )
28	24, 27	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- A = ( V \ ( V \ A ) )
29		difeq2 3602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V \ A ) = { v } -> ( V \ ( V \ A ) ) = ( V \ { v } ) )
30	28, 29	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V \ A ) = { v } -> A = ( V \ { v } ) )
31	22, 30	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = { v } -> A = ( V \ { v } ) )
32		prcom 4094	. . . . . . . . . . . . 13 |- { w , v } = { v , w }
33	32	eleq1i 2531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { w , v } e. ran E <-> { v , w } e. ran E )
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = { v } -> ( { w , v } e. ran E <-> { v , w } e. ran E ) )
35	31, 34	raleqbidv 3065	. . . . . . . . . 10 |- ( B = { v } -> ( A. w e. A { w , v } e. ran E <-> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
36	21, 35	sylibd 214	. . . . . . . . 9 |- ( B = { v } -> ( A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E -> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
37	13, 36	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( B = { v } -> ( A. w e. A A. u e. B { w , u } e. ran E -> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
38	12, 37	syl5com 30	. . . . . . 7 |- ( V FriendGrph E -> ( B = { v } -> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
39	38	reximdv 2928	. . . . . 6 |- ( V FriendGrph E -> ( E. v e. V B = { v } -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
40	11, 39	syl5com 30	. . . . 5 |- ( E. v e. B B = { v } -> ( V FriendGrph E -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
41	7, 40	sylbi 195	. . . 4 |- ( E. v B = { v } -> ( V FriendGrph E -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
42	41	com12 31	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( E. v B = { v } -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
43	6, 42	sylbid 215	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( ( # ` B ) = 1 -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
44	43	imp 427	1 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` B ) = 1 ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   class class class wbr 4439   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482   #chash 12390   VDeg cvdg 25098   FriendGrph cfrgra 25193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-xadd 11322  df-fz 11676  df-hash 12391  df-usgra 24538  df-nbgra 24625  df-vdgr 25099  df-frgra 25194

This theorem is referenced by:  frgraregorufr0  25257