Theorem frgrawopreg2 25772

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrawopreg.a	|- A = { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K }
frgrawopreg.b	|- B = ( V \ A )

Assertion

Ref	Expression
frgrawopreg2	|- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` B ) = 1 ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E )

Distinct variable groups:   x, A   x, E   x, K   x, V   x, B   w, v, x, A   v, B, w   v, V, w   v, E, w

Allowed substitution hints:   K( w, v)

Proof of Theorem frgrawopreg2

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrawopreg.a	. . . . . 6 |- A = { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K }
2		frgrawopreg.b	. . . . . 6 |- B = ( V \ A )
3	1, 2	frgrawopreglem1 25765	. . . . 5 |- ( V FriendGrph E -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
4	3	simprd 465	. . . 4 |- ( V FriendGrph E -> B e. _V )
5		hash1snb 12590	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( ( # ` B ) = 1 <-> E. v B = { v } ) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( ( # ` B ) = 1 <-> E. v B = { v } ) )
7		exsnrex 4008	. . . . 5 |- ( E. v B = { v } <-> E. v e. B B = { v } )
8		difss 3559	. . . . . . . 8 |- ( V \ A ) C_ V
9	2, 8	eqsstri 3461	. . . . . . 7 |- B C_ V
10		ssrexv 3493	. . . . . . 7 |- ( B C_ V -> ( E. v e. B B = { v } -> E. v e. V B = { v } ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( E. v e. B B = { v } -> E. v e. V B = { v } )
12	1, 2	frgrawopreglem4 25768	. . . . . . . 8 |- ( V FriendGrph E -> A. w e. A A. u e. B { w , u } e. ran E )
13		ralcom 2950	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. A A. u e. B { w , u } e. ran E <-> A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E )
14		ssnid 3996	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. { v }
15		eleq2 2517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = { v } -> ( v e. B <-> v e. { v } ) )
16	14, 15	mpbiri 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = { v } -> v e. B )
17		preq2 4051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = v -> { w , u } = { w , v } )
18	17	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = v -> ( { w , u } e. ran E <-> { w , v } e. ran E ) )
19	18	ralbidv 2826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = v -> ( A. w e. A { w , u } e. ran E <-> A. w e. A { w , v } e. ran E ) )
20	19	rspcv 3145	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. B -> ( A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E -> A. w e. A { w , v } e. ran E ) )
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( B = { v } -> ( A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E -> A. w e. A { w , v } e. ran E ) )
22	2	eqeq1i 2455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = { v } <-> ( V \ A ) = { v } )
23		ssrab2 3513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K } C_ V
24	1, 23	eqsstri 3461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A C_ V
25		dfss4 3676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ V <-> ( V \ ( V \ A ) ) = A )
26		eqcom 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V \ ( V \ A ) ) = A <-> A = ( V \ ( V \ A ) ) )
27	25, 26	bitri 253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ V <-> A = ( V \ ( V \ A ) ) )
28	24, 27	mpbi 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- A = ( V \ ( V \ A ) )
29		difeq2 3544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V \ A ) = { v } -> ( V \ ( V \ A ) ) = ( V \ { v } ) )
30	28, 29	syl5eq 2496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V \ A ) = { v } -> A = ( V \ { v } ) )
31	22, 30	sylbi 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = { v } -> A = ( V \ { v } ) )
32		prcom 4049	. . . . . . . . . . . . 13 |- { w , v } = { v , w }
33	32	eleq1i 2519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { w , v } e. ran E <-> { v , w } e. ran E )
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = { v } -> ( { w , v } e. ran E <-> { v , w } e. ran E ) )
35	31, 34	raleqbidv 3000	. . . . . . . . . 10 |- ( B = { v } -> ( A. w e. A { w , v } e. ran E <-> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
36	21, 35	sylibd 218	. . . . . . . . 9 |- ( B = { v } -> ( A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E -> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
37	13, 36	syl5bi 221	. . . . . . . 8 |- ( B = { v } -> ( A. w e. A A. u e. B { w , u } e. ran E -> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
38	12, 37	syl5com 31	. . . . . . 7 |- ( V FriendGrph E -> ( B = { v } -> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
39	38	reximdv 2860	. . . . . 6 |- ( V FriendGrph E -> ( E. v e. V B = { v } -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
40	11, 39	syl5com 31	. . . . 5 |- ( E. v e. B B = { v } -> ( V FriendGrph E -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
41	7, 40	sylbi 199	. . . 4 |- ( E. v B = { v } -> ( V FriendGrph E -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
42	41	com12 32	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( E. v B = { v } -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
43	6, 42	sylbid 219	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( ( # ` B ) = 1 -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
44	43	imp 431	1 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` B ) = 1 ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   C_ wss 3403   {csn 3967   {cpr 3969   class class class wbr 4401   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   1c1 9537   #chash 12512   VDeg cvdg 25614   FriendGrph cfrgra 25709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-xadd 11407  df-fz 11782  df-hash 12513  df-usgra 25053  df-nbgra 25141  df-vdgr 25615  df-frgra 25710

This theorem is referenced by:  frgraregorufr0  25773