MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrawopreg2 Structured version   Unicode version

Theorem frgrawopreg2 24728
Description: According to the proof of the friendship theorem in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreg2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 B )  =  1 )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V    x, B    w, v, x, A    v, B, w   
v, V, w    v, E, w
Allowed substitution hints:    K( w, v)

Proof of Theorem frgrawopreg2
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrawopreg.a . . . . . 6  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
2 frgrawopreg.b . . . . . 6  |-  B  =  ( V  \  A
)
31, 2frgrawopreglem1 24721 . . . . 5  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
43simprd 463 . . . 4  |-  ( V FriendGrph  E  ->  B  e.  _V )
5 hash1snb 12440 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (
( # `  B )  =  1  <->  E. v  B  =  { v } ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  B )  =  1  <->  E. v  B  =  { v } ) )
7 exsnrex 4065 . . . . 5  |-  ( E. v  B  =  {
v }  <->  E. v  e.  B  B  =  { v } )
8 difss 3631 . . . . . . . 8  |-  ( V 
\  A )  C_  V
92, 8eqsstri 3534 . . . . . . 7  |-  B  C_  V
10 ssrexv 3565 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  V  ->  ( E. v  e.  B  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  B  =  { v } ) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  B  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  B  =  { v } )
121, 2frgrawopreglem4 24724 . . . . . . . 8  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. w  e.  A  A. u  e.  B  { w ,  u }  e.  ran  E )
13 ralcom 3022 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  A  A. u  e.  B  {
w ,  u }  e.  ran  E  <->  A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E )
14 ssnid 4056 . . . . . . . . . . . 12  |-  v  e. 
{ v }
15 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  { v }  ->  ( v  e.  B  <->  v  e.  {
v } ) )
1614, 15mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { v }  ->  v  e.  B
)
17 preq2 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  v  ->  { w ,  u }  =  {
w ,  v } )
1817eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  v  ->  ( { w ,  u }  e.  ran  E  <->  { w ,  v }  e.  ran  E ) )
1918ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  ( A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E ) )
2019rspcv 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  B  ->  ( A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E
) )
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E
) )
222eqeq1i 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  { v }  <-> 
( V  \  A
)  =  { v } )
23 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K }  C_  V
241, 23eqsstri 3534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  V
25 dfss4 3732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  V  <->  ( V  \  ( V  \  A
) )  =  A )
26 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  \  ( V 
\  A ) )  =  A  <->  A  =  ( V  \  ( V  \  A ) ) )
2725, 26bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  V  <->  A  =  ( V  \  ( V  \  A ) ) )
2824, 27mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( V  \  ( V  \  A ) )
29 difeq2 3616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  \  A )  =  { v }  ->  ( V  \ 
( V  \  A
) )  =  ( V  \  { v } ) )
3028, 29syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  \  A )  =  { v }  ->  A  =  ( V  \  { v } ) )
3122, 30sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { v }  ->  A  =  ( V  \  { v } ) )
32 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { w ,  v }  =  { v ,  w }
3332eleq1i 2544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { w ,  v }  e.  ran  E  <->  { v ,  w }  e.  ran  E )
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { v }  ->  ( { w ,  v }  e.  ran  E  <->  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3531, 34raleqbidv 3072 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3621, 35sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3713, 36syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. w  e.  A  A. u  e.  B  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3812, 37syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( B  =  { v }  ->  A. w  e.  ( V 
\  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3938reximdv 2937 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  e.  V  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4011, 39syl5com 30 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  B  B  =  { v }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
417, 40sylbi 195 . . . 4  |-  ( E. v  B  =  {
v }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4241com12 31 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
436, 42sylbid 215 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  B )  =  1  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4443imp 429 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 B )  =  1 )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489   #chash 12369   VDeg cvdg 24569   FriendGrph cfrgra 24664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-xadd 11315  df-fz 11669  df-hash 12370  df-usgra 24009  df-nbgra 24096  df-vdgr 24570  df-frgra 24665
This theorem is referenced by:  frgraregorufr0  24729
  Copyright terms: Public domain W3C validator