MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrawopreg2 Structured version   Unicode version

Theorem frgrawopreg2 25256
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreg2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 B )  =  1 )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V    x, B    w, v, x, A    v, B, w   
v, V, w    v, E, w
Allowed substitution hints:    K( w, v)

Proof of Theorem frgrawopreg2
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrawopreg.a . . . . . 6  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
2 frgrawopreg.b . . . . . 6  |-  B  =  ( V  \  A
)
31, 2frgrawopreglem1 25249 . . . . 5  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
43simprd 461 . . . 4  |-  ( V FriendGrph  E  ->  B  e.  _V )
5 hash1snb 12466 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (
( # `  B )  =  1  <->  E. v  B  =  { v } ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  B )  =  1  <->  E. v  B  =  { v } ) )
7 exsnrex 4054 . . . . 5  |-  ( E. v  B  =  {
v }  <->  E. v  e.  B  B  =  { v } )
8 difss 3617 . . . . . . . 8  |-  ( V 
\  A )  C_  V
92, 8eqsstri 3519 . . . . . . 7  |-  B  C_  V
10 ssrexv 3551 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  V  ->  ( E. v  e.  B  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  B  =  { v } ) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  B  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  B  =  { v } )
121, 2frgrawopreglem4 25252 . . . . . . . 8  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. w  e.  A  A. u  e.  B  { w ,  u }  e.  ran  E )
13 ralcom 3015 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  A  A. u  e.  B  {
w ,  u }  e.  ran  E  <->  A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E )
14 ssnid 4045 . . . . . . . . . . . 12  |-  v  e. 
{ v }
15 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  { v }  ->  ( v  e.  B  <->  v  e.  {
v } ) )
1614, 15mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { v }  ->  v  e.  B
)
17 preq2 4096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  v  ->  { w ,  u }  =  {
w ,  v } )
1817eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  v  ->  ( { w ,  u }  e.  ran  E  <->  { w ,  v }  e.  ran  E ) )
1918ralbidv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  ( A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E ) )
2019rspcv 3203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  B  ->  ( A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E
) )
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E
) )
222eqeq1i 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  { v }  <-> 
( V  \  A
)  =  { v } )
23 ssrab2 3571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K }  C_  V
241, 23eqsstri 3519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  V
25 dfss4 3729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  V  <->  ( V  \  ( V  \  A
) )  =  A )
26 eqcom 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  \  ( V 
\  A ) )  =  A  <->  A  =  ( V  \  ( V  \  A ) ) )
2725, 26bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  V  <->  A  =  ( V  \  ( V  \  A ) ) )
2824, 27mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( V  \  ( V  \  A ) )
29 difeq2 3602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  \  A )  =  { v }  ->  ( V  \ 
( V  \  A
) )  =  ( V  \  { v } ) )
3028, 29syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  \  A )  =  { v }  ->  A  =  ( V  \  { v } ) )
3122, 30sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { v }  ->  A  =  ( V  \  { v } ) )
32 prcom 4094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { w ,  v }  =  { v ,  w }
3332eleq1i 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { w ,  v }  e.  ran  E  <->  { v ,  w }  e.  ran  E )
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { v }  ->  ( { w ,  v }  e.  ran  E  <->  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3531, 34raleqbidv 3065 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3621, 35sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3713, 36syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. w  e.  A  A. u  e.  B  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3812, 37syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( B  =  { v }  ->  A. w  e.  ( V 
\  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3938reximdv 2928 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  e.  V  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4011, 39syl5com 30 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  B  B  =  { v }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
417, 40sylbi 195 . . . 4  |-  ( E. v  B  =  {
v }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4241com12 31 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
436, 42sylbid 215 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  B )  =  1  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4443imp 427 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 B )  =  1 )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   class class class wbr 4439   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482   #chash 12390   VDeg cvdg 25098   FriendGrph cfrgra 25193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-xadd 11322  df-fz 11676  df-hash 12391  df-usgra 24538  df-nbgra 24625  df-vdgr 25099  df-frgra 25194
This theorem is referenced by:  frgraregorufr0  25257
  Copyright terms: Public domain W3C validator