MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrawopreg2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frgrawopreg2 25772
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreg2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 B )  =  1 )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V    x, B    w, v, x, A    v, B, w   
v, V, w    v, E, w
Allowed substitution hints:    K( w, v)

Proof of Theorem frgrawopreg2
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrawopreg.a . . . . . 6  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
2 frgrawopreg.b . . . . . 6  |-  B  =  ( V  \  A
)
31, 2frgrawopreglem1 25765 . . . . 5  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
43simprd 465 . . . 4  |-  ( V FriendGrph  E  ->  B  e.  _V )
5 hash1snb 12590 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (
( # `  B )  =  1  <->  E. v  B  =  { v } ) )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  B )  =  1  <->  E. v  B  =  { v } ) )
7 exsnrex 4008 . . . . 5  |-  ( E. v  B  =  {
v }  <->  E. v  e.  B  B  =  { v } )
8 difss 3559 . . . . . . . 8  |-  ( V 
\  A )  C_  V
92, 8eqsstri 3461 . . . . . . 7  |-  B  C_  V
10 ssrexv 3493 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  V  ->  ( E. v  e.  B  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  B  =  { v } ) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  B  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  B  =  { v } )
121, 2frgrawopreglem4 25768 . . . . . . . 8  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. w  e.  A  A. u  e.  B  { w ,  u }  e.  ran  E )
13 ralcom 2950 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  A  A. u  e.  B  {
w ,  u }  e.  ran  E  <->  A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E )
14 ssnid 3996 . . . . . . . . . . . 12  |-  v  e. 
{ v }
15 eleq2 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  { v }  ->  ( v  e.  B  <->  v  e.  {
v } ) )
1614, 15mpbiri 237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { v }  ->  v  e.  B
)
17 preq2 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  v  ->  { w ,  u }  =  {
w ,  v } )
1817eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  v  ->  ( { w ,  u }  e.  ran  E  <->  { w ,  v }  e.  ran  E ) )
1918ralbidv 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  ( A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E ) )
2019rspcv 3145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  B  ->  ( A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E
) )
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E
) )
222eqeq1i 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  { v }  <-> 
( V  \  A
)  =  { v } )
23 ssrab2 3513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K }  C_  V
241, 23eqsstri 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  V
25 dfss4 3676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  V  <->  ( V  \  ( V  \  A
) )  =  A )
26 eqcom 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  \  ( V 
\  A ) )  =  A  <->  A  =  ( V  \  ( V  \  A ) ) )
2725, 26bitri 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  V  <->  A  =  ( V  \  ( V  \  A ) ) )
2824, 27mpbi 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( V  \  ( V  \  A ) )
29 difeq2 3544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  \  A )  =  { v }  ->  ( V  \ 
( V  \  A
) )  =  ( V  \  { v } ) )
3028, 29syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  \  A )  =  { v }  ->  A  =  ( V  \  { v } ) )
3122, 30sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { v }  ->  A  =  ( V  \  { v } ) )
32 prcom 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { w ,  v }  =  { v ,  w }
3332eleq1i 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { w ,  v }  e.  ran  E  <->  { v ,  w }  e.  ran  E )
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { v }  ->  ( { w ,  v }  e.  ran  E  <->  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3531, 34raleqbidv 3000 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. w  e.  A  { w ,  v }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3621, 35sylibd 218 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. u  e.  B  A. w  e.  A  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3713, 36syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  { v }  ->  ( A. w  e.  A  A. u  e.  B  { w ,  u }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3812, 37syl5com 31 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( B  =  { v }  ->  A. w  e.  ( V 
\  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3938reximdv 2860 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  e.  V  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4011, 39syl5com 31 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  B  B  =  { v }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
417, 40sylbi 199 . . . 4  |-  ( E. v  B  =  {
v }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4241com12 32 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  B  =  { v }  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
436, 42sylbid 219 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  B )  =  1  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
4443imp 431 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 B )  =  1 )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    C_ wss 3403   {csn 3967   {cpr 3969   class class class wbr 4401   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   1c1 9537   #chash 12512   VDeg cvdg 25614   FriendGrph cfrgra 25709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-xadd 11407  df-fz 11782  df-hash 12513  df-usgra 25053  df-nbgra 25141  df-vdgr 25615  df-frgra 25710
This theorem is referenced by:  frgraregorufr0  25773
  Copyright terms: Public domain W3C validator