Theorem frgrawopreg2 24728

Description: According to the proof of the friendship theorem in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrawopreg.a	|- A = { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K }
frgrawopreg.b	|- B = ( V \ A )

Assertion

Ref	Expression
frgrawopreg2	|- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` B ) = 1 ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E )

Distinct variable groups:   x, A   x, E   x, K   x, V   x, B   w, v, x, A   v, B, w   v, V, w   v, E, w

Allowed substitution hints:   K( w, v)

Proof of Theorem frgrawopreg2

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrawopreg.a	. . . . . 6 |- A = { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K }
2		frgrawopreg.b	. . . . . 6 |- B = ( V \ A )
3	1, 2	frgrawopreglem1 24721	. . . . 5 |- ( V FriendGrph E -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
4	3	simprd 463	. . . 4 |- ( V FriendGrph E -> B e. _V )
5		hash1snb 12440	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( ( # ` B ) = 1 <-> E. v B = { v } ) )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( ( # ` B ) = 1 <-> E. v B = { v } ) )
7		exsnrex 4065	. . . . 5 |- ( E. v B = { v } <-> E. v e. B B = { v } )
8		difss 3631	. . . . . . . 8 |- ( V \ A ) C_ V
9	2, 8	eqsstri 3534	. . . . . . 7 |- B C_ V
10		ssrexv 3565	. . . . . . 7 |- ( B C_ V -> ( E. v e. B B = { v } -> E. v e. V B = { v } ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( E. v e. B B = { v } -> E. v e. V B = { v } )
12	1, 2	frgrawopreglem4 24724	. . . . . . . 8 |- ( V FriendGrph E -> A. w e. A A. u e. B { w , u } e. ran E )
13		ralcom 3022	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. A A. u e. B { w , u } e. ran E <-> A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E )
14		ssnid 4056	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. { v }
15		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = { v } -> ( v e. B <-> v e. { v } ) )
16	14, 15	mpbiri 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = { v } -> v e. B )
17		preq2 4107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = v -> { w , u } = { w , v } )
18	17	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = v -> ( { w , u } e. ran E <-> { w , v } e. ran E ) )
19	18	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = v -> ( A. w e. A { w , u } e. ran E <-> A. w e. A { w , v } e. ran E ) )
20	19	rspcv 3210	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. B -> ( A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E -> A. w e. A { w , v } e. ran E ) )
21	16, 20	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B = { v } -> ( A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E -> A. w e. A { w , v } e. ran E ) )
22	2	eqeq1i 2474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = { v } <-> ( V \ A ) = { v } )
23		ssrab2 3585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. V | ( ( V VDeg E ) ` x ) = K } C_ V
24	1, 23	eqsstri 3534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A C_ V
25		dfss4 3732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ V <-> ( V \ ( V \ A ) ) = A )
26		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V \ ( V \ A ) ) = A <-> A = ( V \ ( V \ A ) ) )
27	25, 26	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ V <-> A = ( V \ ( V \ A ) ) )
28	24, 27	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- A = ( V \ ( V \ A ) )
29		difeq2 3616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V \ A ) = { v } -> ( V \ ( V \ A ) ) = ( V \ { v } ) )
30	28, 29	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V \ A ) = { v } -> A = ( V \ { v } ) )
31	22, 30	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = { v } -> A = ( V \ { v } ) )
32		prcom 4105	. . . . . . . . . . . . 13 |- { w , v } = { v , w }
33	32	eleq1i 2544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { w , v } e. ran E <-> { v , w } e. ran E )
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = { v } -> ( { w , v } e. ran E <-> { v , w } e. ran E ) )
35	31, 34	raleqbidv 3072	. . . . . . . . . 10 |- ( B = { v } -> ( A. w e. A { w , v } e. ran E <-> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
36	21, 35	sylibd 214	. . . . . . . . 9 |- ( B = { v } -> ( A. u e. B A. w e. A { w , u } e. ran E -> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
37	13, 36	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( B = { v } -> ( A. w e. A A. u e. B { w , u } e. ran E -> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
38	12, 37	syl5com 30	. . . . . . 7 |- ( V FriendGrph E -> ( B = { v } -> A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
39	38	reximdv 2937	. . . . . 6 |- ( V FriendGrph E -> ( E. v e. V B = { v } -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
40	11, 39	syl5com 30	. . . . 5 |- ( E. v e. B B = { v } -> ( V FriendGrph E -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
41	7, 40	sylbi 195	. . . 4 |- ( E. v B = { v } -> ( V FriendGrph E -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
42	41	com12 31	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( E. v B = { v } -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
43	6, 42	sylbid 215	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( ( # ` B ) = 1 -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )
44	43	imp 429	1 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` B ) = 1 ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489   #chash 12369   VDeg cvdg 24569   FriendGrph cfrgra 24664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-xadd 11315  df-fz 11669  df-hash 12370  df-usgra 24009  df-nbgra 24096  df-vdgr 24570  df-frgra 24665

This theorem is referenced by:  frgraregorufr0  24729