Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrawopreg1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frgrawopreg1 25857
 Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a VDeg
frgrawopreg.b
Assertion
Ref Expression
frgrawopreg1 FriendGrph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem frgrawopreg1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrawopreg.a . . . . . 6 VDeg
2 frgrawopreg.b . . . . . 6
31, 2frgrawopreglem1 25851 . . . . 5 FriendGrph
43simpld 466 . . . 4 FriendGrph
5 hash1snb 12634 . . . 4
64, 5syl 17 . . 3 FriendGrph
7 exsnrex 4000 . . . . 5
8 ssrab2 3500 . . . . . . . 8 VDeg
91, 8eqsstri 3448 . . . . . . 7
10 ssrexv 3480 . . . . . . 7
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6
121, 2frgrawopreglem4 25854 . . . . . . . 8 FriendGrph
13 ssnid 3989 . . . . . . . . . . 11
14 eleq2 2538 . . . . . . . . . . 11
1513, 14mpbiri 241 . . . . . . . . . 10
16 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13
1716eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12
1817ralbidv 2829 . . . . . . . . . . 11
1918rspcv 3132 . . . . . . . . . 10
2015, 19syl 17 . . . . . . . . 9
21 difeq2 3534 . . . . . . . . . . 11
222, 21syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
2322raleqdv 2979 . . . . . . . . 9
2420, 23sylibd 222 . . . . . . . 8
2512, 24syl5com 30 . . . . . . 7 FriendGrph
2625reximdv 2857 . . . . . 6 FriendGrph
2711, 26syl5com 30 . . . . 5 FriendGrph
287, 27sylbi 200 . . . 4 FriendGrph
2928com12 31 . . 3 FriendGrph
306, 29sylbid 223 . 2 FriendGrph
3130imp 436 1 FriendGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   wss 3390  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1 9558  chash 12553   VDeg cvdg 25700   FriendGrph cfrgra 25795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-nbgra 25227  df-vdgr 25701  df-frgra 25796 This theorem is referenced by:  frgraregorufr0  25859
 Copyright terms: Public domain W3C validator