MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrawopreg1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frgrawopreg1 25857
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreg1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 A )  =  1 )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V    x, B    w, v, x, A    v, B, w   
v, V, w    v, E, w
Allowed substitution hints:    K( w, v)

Proof of Theorem frgrawopreg1
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrawopreg.a . . . . . 6  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
2 frgrawopreg.b . . . . . 6  |-  B  =  ( V  \  A
)
31, 2frgrawopreglem1 25851 . . . . 5  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
43simpld 466 . . . 4  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A  e.  _V )
5 hash1snb 12634 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( # `  A )  =  1  <->  E. v  A  =  { v } ) )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  A )  =  1  <->  E. v  A  =  { v } ) )
7 exsnrex 4000 . . . . 5  |-  ( E. v  A  =  {
v }  <->  E. v  e.  A  A  =  { v } )
8 ssrab2 3500 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  K }  C_  V
91, 8eqsstri 3448 . . . . . . 7  |-  A  C_  V
10 ssrexv 3480 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  V  ->  ( E. v  e.  A  A  =  { v }  ->  E. v  e.  V  A  =  { v } ) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  A  A  =  { v }  ->  E. v  e.  V  A  =  { v } )
121, 2frgrawopreglem4 25854 . . . . . . . 8  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. u  e.  A  A. w  e.  B  { u ,  w }  e.  ran  E )
13 ssnid 3989 . . . . . . . . . . 11  |-  v  e. 
{ v }
14 eleq2 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  { v }  ->  ( v  e.  A  <->  v  e.  {
v } ) )
1513, 14mpbiri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  { v }  ->  v  e.  A
)
16 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  v  ->  { u ,  w }  =  {
v ,  w }
)
1716eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  ( { u ,  w }  e.  ran  E  <->  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
1817ralbidv 2829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  ( A. w  e.  B  { u ,  w }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  B  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
1918rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  A  ->  ( A. u  e.  A  A. w  e.  B  { u ,  w }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  B  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
2015, 19syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { v }  ->  ( A. u  e.  A  A. w  e.  B  { u ,  w }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  B  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
21 difeq2 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  { v }  ->  ( V  \  A )  =  ( V  \  { v } ) )
222, 21syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  { v }  ->  B  =  ( V  \  { v } ) )
2322raleqdv 2979 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { v }  ->  ( A. w  e.  B  { v ,  w }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
2420, 23sylibd 222 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  { v }  ->  ( A. u  e.  A  A. w  e.  B  { u ,  w }  e.  ran  E  ->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
2512, 24syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A  =  { v }  ->  A. w  e.  ( V 
\  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
2625reximdv 2857 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  e.  V  A  =  { v }  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
2711, 26syl5com 30 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  A  A  =  { v }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
287, 27sylbi 200 . . . 4  |-  ( E. v  A  =  {
v }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
2928com12 31 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  A  =  { v }  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
306, 29sylbid 223 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  A )  =  1  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
3130imp 436 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 A )  =  1 )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1c1 9558   #chash 12553   VDeg cvdg 25700   FriendGrph cfrgra 25795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-nbgra 25227  df-vdgr 25701  df-frgra 25796
This theorem is referenced by:  frgraregorufr0  25859
  Copyright terms: Public domain W3C validator