Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgraregorufrg Structured version   Unicode version

Theorem frgraregorufrg 25199
 Description: For each nonnegative integer K there are either no edges having degree K, or all vertices have degree K in a friendship graph, unless there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". Variant of frgraregorufr 25180 with generalization. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregorufrg FriendGrph VDeg RegUSGrph
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,

Proof of Theorem frgraregorufrg
StepHypRef Expression
1 frgraregorufr 25180 . . . 4 FriendGrph VDeg VDeg
21adantr 465 . . 3 FriendGrph VDeg VDeg
3 frisusgra 25119 . . . . . . . . 9 FriendGrph USGrph
43anim1i 568 . . . . . . . 8 FriendGrph USGrph
54anim1i 568 . . . . . . 7 FriendGrph VDeg USGrph VDeg
6 df-3an 975 . . . . . . 7 USGrph VDeg USGrph VDeg
75, 6sylibr 212 . . . . . 6 FriendGrph VDeg USGrph VDeg
8 usgrav 24465 . . . . . . . . . . 11 USGrph
93, 8syl 16 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
109anim1i 568 . . . . . . . . 9 FriendGrph
11 df-3an 975 . . . . . . . . 9
1210, 11sylibr 212 . . . . . . . 8 FriendGrph
13 isrusgra 25054 . . . . . . . 8 RegUSGrph USGrph VDeg
1412, 13syl 16 . . . . . . 7 FriendGrph RegUSGrph USGrph VDeg
1514adantr 465 . . . . . 6 FriendGrph VDeg RegUSGrph USGrph VDeg
167, 15mpbird 232 . . . . 5 FriendGrph VDeg RegUSGrph
1716ex 434 . . . 4 FriendGrph VDeg RegUSGrph
1817orim1d 839 . . 3 FriendGrph VDeg RegUSGrph
192, 18syld 44 . 2 FriendGrph VDeg RegUSGrph
2019ralrimiva 2871 1 FriendGrph VDeg RegUSGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808  cvv 3109   cdif 3468  csn 4032  cpr 4034  cop 4038   class class class wbr 4456   crn 5009  cfv 5594  (class class class)co 6296  cn0 10816   USGrph cusg 24457   VDeg cvdg 25020   RegUSGrph crusgra 25050   FriendGrph cfrgra 25115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-xadd 11344  df-fz 11698  df-hash 12409  df-usgra 24460  df-nbgra 24547  df-vdgr 25021  df-rgra 25051  df-rusgra 25052  df-frgra 25116 This theorem is referenced by:  friendshipgt3  25248
 Copyright terms: Public domain W3C validator