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Theorem frgraregorufr0 25859
Description: In a friendship graph there are either no vertices having degree  K, or all vertices have degree 
K for any (nonnegative integer)  K, unless there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregorufr0  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    w, v, K    v, V, w    v, E, w

Proof of Theorem frgraregorufr0
Dummy variables  s 
r  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 t ) )
21eqeq1d 2473 . . . . 5  |-  ( v  =  t  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  K ) )
32cbvrabv 3030 . . . 4  |-  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  {
t  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  t )  =  K }
4 eqid 2471 . . . 4  |-  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
53, 4frgrawopreg 25856 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( (
# `  { v  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  =  (/) )  \/  ( ( # `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } ) )  =  1  \/  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  (/) ) ) )
6 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  r  ->  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 r ) )
76eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  r  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  r
)  =  K ) )
87cbvrabv 3030 . . . . . . . 8  |-  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  {
r  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  r )  =  K }
9 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  v  ->  (
( V VDeg  E ) `  s )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 v ) )
109eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  v  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  s )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K ) )
1110cbvrabv 3030 . . . . . . . . 9  |-  { s  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 s )  =  K }  =  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }
1211difeq2i 3537 . . . . . . . 8  |-  ( V 
\  { s  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  s )  =  K } )  =  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
138, 12frgrawopreg1 25857 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1 )  ->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
14133mix3d 1207 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1 )  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
1514expcom 442 . . . . 5  |-  ( (
# `  { v  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
16 rabeq0 3757 . . . . . 6  |-  ( { v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }  =  (/)  <->  A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K )
17 df-ne 2643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )
1817biimpri 211 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =/=  K
)
1918ralimi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K )
20193mix2d 1206 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
2120a1d 25 . . . . . 6  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
2216, 21sylbi 200 . . . . 5  |-  ( { v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }  =  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
2315, 22jaoi 386 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
24 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  s  ->  (
( V VDeg  E ) `  r )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 s ) )
2524eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  s  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  r )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  s
)  =  K ) )
2625cbvrabv 3030 . . . . . . . 8  |-  { r  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 r )  =  K }  =  {
s  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  s )  =  K }
278difeq2i 3537 . . . . . . . 8  |-  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  ( V  \  { r  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 r )  =  K } )
2826, 27frgrawopreg2 25858 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1 )  ->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
29283mix3d 1207 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1 )  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
3029expcom 442 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
31 difrab0eq 3828 . . . . . 6  |-  ( ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )  =  (/) 
<->  V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
32 rabid2 2954 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K )
33 3mix1 1199 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
3433a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3532, 34sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3631, 35sylbi 200 . . . . 5  |-  ( ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )  =  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3730, 36jaoi 386 . . . 4  |-  ( ( ( # `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } ) )  =  1  \/  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3823, 37jaoi 386 . . 3  |-  ( ( ( ( # `  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  (/) )  \/  ( ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1  \/  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
)  =  (/) ) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
395, 38mpcom 36 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
40 biidd 245 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K ) )
41 biidd 245 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K ) )
42 sneq 3969 . . . . . . 7  |-  ( v  =  t  ->  { v }  =  { t } )
4342difeq2d 3540 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  ( V  \  { v } )  =  ( V 
\  { t } ) )
44 preq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( v  =  t  ->  { v ,  w }  =  { t ,  w } )
4544eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { t ,  w }  e.  ran  E ) )
4643, 45raleqbidv 2987 . . . . 5  |-  ( v  =  t  ->  ( A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
4746cbvrexv 3006 . . . 4  |-  ( E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
4847a1i 11 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
4940, 41, 483orbi123d 1364 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
5039, 49mpbird 240 1  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    \ cdif 3387   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1c1 9558   #chash 12553   VDeg cvdg 25700   FriendGrph cfrgra 25795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-nbgra 25227  df-vdgr 25701  df-frgra 25796
This theorem is referenced by:  frgraregorufr  25860
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