Theorem frgraregorufr0 24729

Description: For each nonnegative integer K there are either no edges having degree K, or all vertices have degree K in a friendship graph, unless there is a universal friend. This corresponds to the second claim in the proof of the friendship theorem in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
frgraregorufr0	|- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )

Distinct variable groups:   w, v, K   v, V, w   v, E, w

Proof of Theorem frgraregorufr0

Dummy variables s r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5864	. . . . . 6 |- ( v = t -> ( ( V VDeg E ) ` v ) = ( ( V VDeg E ) ` t ) )
2	1	eqeq1d 2469	. . . . 5 |- ( v = t -> ( ( ( V VDeg E ) ` v ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` t ) = K ) )
3	2	cbvrabv 3112	. . . 4 |- { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = { t e. V | ( ( V VDeg E ) ` t ) = K }
4		eqid 2467	. . . 4 |- ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } )
5	3, 4	frgrawopreg 24726	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 \/ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) ) \/ ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 \/ ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) ) ) )
6		fveq2 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( v = r -> ( ( V VDeg E ) ` v ) = ( ( V VDeg E ) ` r ) )
7	6	eqeq1d 2469	. . . . . . . . 9 |- ( v = r -> ( ( ( V VDeg E ) ` v ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` r ) = K ) )
8	7	cbvrabv 3112	. . . . . . . 8 |- { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = { r e. V | ( ( V VDeg E ) ` r ) = K }
9		fveq2 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = v -> ( ( V VDeg E ) ` s ) = ( ( V VDeg E ) ` v ) )
10	9	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . 10 |- ( s = v -> ( ( ( V VDeg E ) ` s ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` v ) = K ) )
11	10	cbvrabv 3112	. . . . . . . . 9 |- { s e. V | ( ( V VDeg E ) ` s ) = K } = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K }
12	11	difeq2i 3619	. . . . . . . 8 |- ( V \ { s e. V | ( ( V VDeg E ) ` s ) = K } ) = ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } )
13	8, 12	frgrawopreg1 24727	. . . . . . 7 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 ) -> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E )
14		3mix3 1167	. . . . . . 7 |- ( E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
15	13, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 ) -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
16	15	expcom 435	. . . . 5 |- ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
17		rabeq0 3807	. . . . . 6 |- ( { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) <-> A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K )
18		df-ne 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K <-> -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K )
19	18	biimpri 206	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K )
20	19	ralimi 2857	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K )
21		3mix2 1166	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
23	22	a1d 25	. . . . . 6 |- ( A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
24	17, 23	sylbi 195	. . . . 5 |- ( { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
25	16, 24	jaoi 379	. . . 4 |- ( ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 \/ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) ) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
26		fveq2 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( r = s -> ( ( V VDeg E ) ` r ) = ( ( V VDeg E ) ` s ) )
27	26	eqeq1d 2469	. . . . . . . . 9 |- ( r = s -> ( ( ( V VDeg E ) ` r ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` s ) = K ) )
28	27	cbvrabv 3112	. . . . . . . 8 |- { r e. V | ( ( V VDeg E ) ` r ) = K } = { s e. V | ( ( V VDeg E ) ` s ) = K }
29	8	difeq2i 3619	. . . . . . . 8 |- ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = ( V \ { r e. V | ( ( V VDeg E ) ` r ) = K } )
30	28, 29	frgrawopreg2 24728	. . . . . . 7 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 ) -> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E )
31	30, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 ) -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
32	31	expcom 435	. . . . 5 |- ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
33		difrab0eq 3887	. . . . . 6 |- ( ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) <-> V = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } )
34		rabid2 3039	. . . . . . 7 |- ( V = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } <-> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K )
35		3mix1 1165	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
36	35	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
37	34, 36	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( V = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
38	33, 37	sylbi 195	. . . . 5 |- ( ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
39	32, 38	jaoi 379	. . . 4 |- ( ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 \/ ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) ) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
40	25, 39	jaoi 379	. . 3 |- ( ( ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 \/ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) ) \/ ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 \/ ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) ) ) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
41	5, 40	mpcom 36	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
42		biidd 237	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K <-> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K ) )
43		biidd 237	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K <-> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K ) )
44		sneq 4037	. . . . . . 7 |- ( v = t -> { v } = { t } )
45	44	difeq2d 3622	. . . . . 6 |- ( v = t -> ( V \ { v } ) = ( V \ { t } ) )
46		preq1 4106	. . . . . . 7 |- ( v = t -> { v , w } = { t , w } )
47	46	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( v = t -> ( { v , w } e. ran E <-> { t , w } e. ran E ) )
48	45, 47	raleqbidv 3072	. . . . 5 |- ( v = t -> ( A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E <-> A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
49	48	cbvrexv 3089	. . . 4 |- ( E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E <-> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E )
50	49	a1i 11	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E <-> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
51	42, 43, 50	3orbi123d 1298	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) <-> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
52	41, 51	mpbird 232	1 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 972   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   \ cdif 3473   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489   #chash 12369   VDeg cvdg 24569   FriendGrph cfrgra 24664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-xadd 11315  df-fz 11669  df-hash 12370  df-usgra 24009  df-nbgra 24096  df-vdgr 24570  df-frgra 24665

This theorem is referenced by:  frgraregorufr  24730