Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgraregorufr0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frgraregorufr0 25859
 Description: In a friendship graph there are either no vertices having degree , or all vertices have degree for any (nonnegative integer) , unless there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregorufr0 FriendGrph VDeg VDeg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem frgraregorufr0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . 6 VDeg VDeg
21eqeq1d 2473 . . . . 5 VDeg VDeg
32cbvrabv 3030 . . . 4 VDeg VDeg
4 eqid 2471 . . . 4 VDeg VDeg
53, 4frgrawopreg 25856 . . 3 FriendGrph VDeg VDeg VDeg VDeg
6 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
76eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
87cbvrabv 3030 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
9 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
109eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
1110cbvrabv 3030 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
1211difeq2i 3537 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
138, 12frgrawopreg1 25857 . . . . . . 7 FriendGrph VDeg
14133mix3d 1207 . . . . . 6 FriendGrph VDeg VDeg VDeg
1514expcom 442 . . . . 5 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
16 rabeq0 3757 . . . . . 6 VDeg VDeg
17 df-ne 2643 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
1817biimpri 211 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
1918ralimi 2796 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
20193mix2d 1206 . . . . . . 7 VDeg VDeg VDeg
2120a1d 25 . . . . . 6 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
2216, 21sylbi 200 . . . . 5 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
2315, 22jaoi 386 . . . 4 VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
24 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
2524eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
2625cbvrabv 3030 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
278difeq2i 3537 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
2826, 27frgrawopreg2 25858 . . . . . . 7 FriendGrph VDeg
29283mix3d 1207 . . . . . 6 FriendGrph VDeg VDeg VDeg
3029expcom 442 . . . . 5 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
31 difrab0eq 3828 . . . . . 6 VDeg VDeg
32 rabid2 2954 . . . . . . 7 VDeg VDeg
33 3mix1 1199 . . . . . . . 8 VDeg VDeg VDeg
3433a1d 25 . . . . . . 7 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
3532, 34sylbi 200 . . . . . 6 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
3631, 35sylbi 200 . . . . 5 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
3730, 36jaoi 386 . . . 4 VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
3823, 37jaoi 386 . . 3 VDeg VDeg VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
395, 38mpcom 36 . 2 FriendGrph VDeg VDeg
40 biidd 245 . . 3 FriendGrph VDeg VDeg
41 biidd 245 . . 3 FriendGrph VDeg VDeg
42 sneq 3969 . . . . . . 7
4342difeq2d 3540 . . . . . 6
44 preq1 4042 . . . . . . 7
4544eleq1d 2533 . . . . . 6
4643, 45raleqbidv 2987 . . . . 5
4746cbvrexv 3006 . . . 4
4847a1i 11 . . 3 FriendGrph
4940, 41, 483orbi123d 1364 . 2 FriendGrph VDeg VDeg VDeg VDeg
5039, 49mpbird 240 1 FriendGrph VDeg VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3o 1006   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   cdif 3387  c0 3722  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1 9558  chash 12553   VDeg cvdg 25700   FriendGrph cfrgra 25795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-nbgra 25227  df-vdgr 25701  df-frgra 25796 This theorem is referenced by:  frgraregorufr  25860
 Copyright terms: Public domain W3C validator