Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgraregorufr0 Structured version   Unicode version

Theorem frgraregorufr0 30783
Description: For each nonnegative integer K there are either no edges having degree K, or all vertices have degree K in a friendship graph, unless there is a universal friend. This corresponds to the second claim in the proof of the friendship theorem in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregorufr0  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    w, v, K    v, V, w    v, E, w

Proof of Theorem frgraregorufr0
Dummy variables  s 
r  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5789 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 t ) )
21eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( v  =  t  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  K ) )
32cbvrabv 3067 . . . 4  |-  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  {
t  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  t )  =  K }
4 eqid 2451 . . . 4  |-  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
53, 4frgrawopreg 30780 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( (
# `  { v  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  =  (/) )  \/  ( ( # `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } ) )  =  1  \/  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  (/) ) ) )
6 fveq2 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  r  ->  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 r ) )
76eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  r  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  r
)  =  K ) )
87cbvrabv 3067 . . . . . . . 8  |-  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  {
r  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  r )  =  K }
9 fveq2 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  v  ->  (
( V VDeg  E ) `  s )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 v ) )
109eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  v  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  s )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K ) )
1110cbvrabv 3067 . . . . . . . . 9  |-  { s  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 s )  =  K }  =  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }
1211difeq2i 3569 . . . . . . . 8  |-  ( V 
\  { s  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  s )  =  K } )  =  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
138, 12frgrawopreg1 30781 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1 )  ->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
14 3mix3 1159 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1 )  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
1615expcom 435 . . . . 5  |-  ( (
# `  { v  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
17 rabeq0 3757 . . . . . 6  |-  ( { v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }  =  (/)  <->  A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K )
18 df-ne 2646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )
1918biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =/=  K
)
2019ralimi 2811 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K )
21 3mix2 1158 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  K  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
2322a1d 25 . . . . . 6  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
2417, 23sylbi 195 . . . . 5  |-  ( { v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }  =  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
2516, 24jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
26 fveq2 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  s  ->  (
( V VDeg  E ) `  r )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 s ) )
2726eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  s  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  r )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  s
)  =  K ) )
2827cbvrabv 3067 . . . . . . . 8  |-  { r  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 r )  =  K }  =  {
s  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  s )  =  K }
298difeq2i 3569 . . . . . . . 8  |-  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  ( V  \  { r  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 r )  =  K } )
3028, 29frgrawopreg2 30782 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1 )  ->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
3130, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1 )  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
3231expcom 435 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
33 difrab0eq 3837 . . . . . 6  |-  ( ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )  =  (/) 
<->  V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
34 rabid2 2994 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K )
35 3mix1 1157 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
3635a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3734, 36sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3833, 37sylbi 195 . . . . 5  |-  ( ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )  =  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3932, 38jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( # `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } ) )  =  1  \/  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
4025, 39jaoi 379 . . 3  |-  ( ( ( ( # `  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  (/) )  \/  ( ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1  \/  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
)  =  (/) ) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
415, 40mpcom 36 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
42 biidd 237 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K ) )
43 biidd 237 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K ) )
44 sneq 3985 . . . . . . 7  |-  ( v  =  t  ->  { v }  =  { t } )
4544difeq2d 3572 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  ( V  \  { v } )  =  ( V 
\  { t } ) )
46 preq1 4052 . . . . . . 7  |-  ( v  =  t  ->  { v ,  w }  =  { t ,  w } )
4746eleq1d 2520 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { t ,  w }  e.  ran  E ) )
4845, 47raleqbidv 3027 . . . . 5  |-  ( v  =  t  ->  ( A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
4948cbvrexv 3044 . . . 4  |-  ( E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
5049a1i 11 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
5142, 43, 503orbi123d 1289 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
5241, 51mpbird 232 1  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799    \ cdif 3423   (/)c0 3735   {csn 3975   {cpr 3977   class class class wbr 4390   ran crn 4939   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   1c1 9384   #chash 12204   VDeg cvdg 23698   FriendGrph cfrgra 30718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-xadd 11191  df-fz 11539  df-hash 12205  df-usgra 23401  df-nbgra 23467  df-vdgr 23699  df-frgra 30719
This theorem is referenced by:  frgraregorufr  30784
  Copyright terms: Public domain W3C validator