Theorem frgraregorufr0 25859

Description: In a friendship graph there are either no vertices having degree K, or all vertices have degree K for any (nonnegative integer) K, unless there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
frgraregorufr0	|- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )

Distinct variable groups:   w, v, K   v, V, w   v, E, w

Proof of Theorem frgraregorufr0

Dummy variables s r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( v = t -> ( ( V VDeg E ) ` v ) = ( ( V VDeg E ) ` t ) )
2	1	eqeq1d 2473	. . . . 5 |- ( v = t -> ( ( ( V VDeg E ) ` v ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` t ) = K ) )
3	2	cbvrabv 3030	. . . 4 |- { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = { t e. V | ( ( V VDeg E ) ` t ) = K }
4		eqid 2471	. . . 4 |- ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } )
5	3, 4	frgrawopreg 25856	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 \/ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) ) \/ ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 \/ ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) ) ) )
6		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( v = r -> ( ( V VDeg E ) ` v ) = ( ( V VDeg E ) ` r ) )
7	6	eqeq1d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( v = r -> ( ( ( V VDeg E ) ` v ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` r ) = K ) )
8	7	cbvrabv 3030	. . . . . . . 8 |- { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = { r e. V | ( ( V VDeg E ) ` r ) = K }
9		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = v -> ( ( V VDeg E ) ` s ) = ( ( V VDeg E ) ` v ) )
10	9	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( s = v -> ( ( ( V VDeg E ) ` s ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` v ) = K ) )
11	10	cbvrabv 3030	. . . . . . . . 9 |- { s e. V | ( ( V VDeg E ) ` s ) = K } = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K }
12	11	difeq2i 3537	. . . . . . . 8 |- ( V \ { s e. V | ( ( V VDeg E ) ` s ) = K } ) = ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } )
13	8, 12	frgrawopreg1 25857	. . . . . . 7 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 ) -> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E )
14	13	3mix3d 1207	. . . . . 6 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 ) -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
15	14	expcom 442	. . . . 5 |- ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
16		rabeq0 3757	. . . . . 6 |- ( { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) <-> A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K )
17		df-ne 2643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K <-> -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K )
18	17	biimpri 211	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K )
19	18	ralimi 2796	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K )
20	19	3mix2d 1206	. . . . . . 7 |- ( A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
21	20	a1d 25	. . . . . 6 |- ( A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
22	16, 21	sylbi 200	. . . . 5 |- ( { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
23	15, 22	jaoi 386	. . . 4 |- ( ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 \/ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) ) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
24		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( r = s -> ( ( V VDeg E ) ` r ) = ( ( V VDeg E ) ` s ) )
25	24	eqeq1d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( r = s -> ( ( ( V VDeg E ) ` r ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` s ) = K ) )
26	25	cbvrabv 3030	. . . . . . . 8 |- { r e. V | ( ( V VDeg E ) ` r ) = K } = { s e. V | ( ( V VDeg E ) ` s ) = K }
27	8	difeq2i 3537	. . . . . . . 8 |- ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = ( V \ { r e. V | ( ( V VDeg E ) ` r ) = K } )
28	26, 27	frgrawopreg2 25858	. . . . . . 7 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 ) -> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E )
29	28	3mix3d 1207	. . . . . 6 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 ) -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
30	29	expcom 442	. . . . 5 |- ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
31		difrab0eq 3828	. . . . . 6 |- ( ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) <-> V = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } )
32		rabid2 2954	. . . . . . 7 |- ( V = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } <-> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K )
33		3mix1 1199	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
34	33	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
35	32, 34	sylbi 200	. . . . . 6 |- ( V = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
36	31, 35	sylbi 200	. . . . 5 |- ( ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
37	30, 36	jaoi 386	. . . 4 |- ( ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 \/ ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) ) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
38	23, 37	jaoi 386	. . 3 |- ( ( ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 \/ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) ) \/ ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 \/ ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) ) ) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
39	5, 38	mpcom 36	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
40		biidd 245	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K <-> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K ) )
41		biidd 245	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K <-> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K ) )
42		sneq 3969	. . . . . . 7 |- ( v = t -> { v } = { t } )
43	42	difeq2d 3540	. . . . . 6 |- ( v = t -> ( V \ { v } ) = ( V \ { t } ) )
44		preq1 4042	. . . . . . 7 |- ( v = t -> { v , w } = { t , w } )
45	44	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( v = t -> ( { v , w } e. ran E <-> { t , w } e. ran E ) )
46	43, 45	raleqbidv 2987	. . . . 5 |- ( v = t -> ( A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E <-> A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
47	46	cbvrexv 3006	. . . 4 |- ( E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E <-> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E )
48	47	a1i 11	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E <-> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
49	40, 41, 48	3orbi123d 1364	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) <-> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
50	39, 49	mpbird 240	1 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   \/ w3o 1006   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   \ cdif 3387   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1c1 9558   #chash 12553   VDeg cvdg 25700   FriendGrph cfrgra 25795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-nbgra 25227  df-vdgr 25701  df-frgra 25796

This theorem is referenced by:  frgraregorufr  25860