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Theorem frgraregorufr0 24729
Description: For each nonnegative integer K there are either no edges having degree K, or all vertices have degree K in a friendship graph, unless there is a universal friend. This corresponds to the second claim in the proof of the friendship theorem in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregorufr0  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    w, v, K    v, V, w    v, E, w

Proof of Theorem frgraregorufr0
Dummy variables  s 
r  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 t ) )
21eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( v  =  t  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  K ) )
32cbvrabv 3112 . . . 4  |-  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  {
t  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  t )  =  K }
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
53, 4frgrawopreg 24726 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( (
# `  { v  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  =  (/) )  \/  ( ( # `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } ) )  =  1  \/  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  (/) ) ) )
6 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  r  ->  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 r ) )
76eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  r  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  r
)  =  K ) )
87cbvrabv 3112 . . . . . . . 8  |-  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  {
r  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  r )  =  K }
9 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  v  ->  (
( V VDeg  E ) `  s )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 v ) )
109eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  v  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  s )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K ) )
1110cbvrabv 3112 . . . . . . . . 9  |-  { s  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 s )  =  K }  =  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }
1211difeq2i 3619 . . . . . . . 8  |-  ( V 
\  { s  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  s )  =  K } )  =  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
138, 12frgrawopreg1 24727 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1 )  ->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
14 3mix3 1167 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1 )  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
1615expcom 435 . . . . 5  |-  ( (
# `  { v  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
17 rabeq0 3807 . . . . . 6  |-  ( { v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }  =  (/)  <->  A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K )
18 df-ne 2664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )
1918biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =/=  K
)
2019ralimi 2857 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K )
21 3mix2 1166 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  K  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
2322a1d 25 . . . . . 6  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
2417, 23sylbi 195 . . . . 5  |-  ( { v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }  =  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
2516, 24jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
26 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  s  ->  (
( V VDeg  E ) `  r )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 s ) )
2726eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  s  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  r )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  s
)  =  K ) )
2827cbvrabv 3112 . . . . . . . 8  |-  { r  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 r )  =  K }  =  {
s  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  s )  =  K }
298difeq2i 3619 . . . . . . . 8  |-  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  ( V  \  { r  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 r )  =  K } )
3028, 29frgrawopreg2 24728 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1 )  ->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
3130, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1 )  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
3231expcom 435 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
33 difrab0eq 3887 . . . . . 6  |-  ( ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )  =  (/) 
<->  V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
34 rabid2 3039 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K )
35 3mix1 1165 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
3635a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3734, 36sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3833, 37sylbi 195 . . . . 5  |-  ( ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )  =  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3932, 38jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( # `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } ) )  =  1  \/  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
4025, 39jaoi 379 . . 3  |-  ( ( ( ( # `  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  (/) )  \/  ( ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1  \/  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
)  =  (/) ) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
415, 40mpcom 36 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
42 biidd 237 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K ) )
43 biidd 237 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K ) )
44 sneq 4037 . . . . . . 7  |-  ( v  =  t  ->  { v }  =  { t } )
4544difeq2d 3622 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  ( V  \  { v } )  =  ( V 
\  { t } ) )
46 preq1 4106 . . . . . . 7  |-  ( v  =  t  ->  { v ,  w }  =  { t ,  w } )
4746eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { t ,  w }  e.  ran  E ) )
4845, 47raleqbidv 3072 . . . . 5  |-  ( v  =  t  ->  ( A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
4948cbvrexv 3089 . . . 4  |-  ( E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
5049a1i 11 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
5142, 43, 503orbi123d 1298 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
5241, 51mpbird 232 1  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489   #chash 12369   VDeg cvdg 24569   FriendGrph cfrgra 24664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-xadd 11315  df-fz 11669  df-hash 12370  df-usgra 24009  df-nbgra 24096  df-vdgr 24570  df-frgra 24665
This theorem is referenced by:  frgraregorufr  24730
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