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Theorem frgraregorufr0 25481
Description: For each nonnegative integer K there are either no edges having degree K, or all vertices have degree K in a friendship graph, unless there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregorufr0  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    w, v, K    v, V, w    v, E, w

Proof of Theorem frgraregorufr0
Dummy variables  s 
r  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5851 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 t ) )
21eqeq1d 2406 . . . . 5  |-  ( v  =  t  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  t
)  =  K ) )
32cbvrabv 3060 . . . 4  |-  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  {
t  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  t )  =  K }
4 eqid 2404 . . . 4  |-  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
53, 4frgrawopreg 25478 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( (
# `  { v  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  =  (/) )  \/  ( ( # `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } ) )  =  1  \/  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  (/) ) ) )
6 fveq2 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  r  ->  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 r ) )
76eqeq1d 2406 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  r  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  r
)  =  K ) )
87cbvrabv 3060 . . . . . . . 8  |-  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  {
r  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  r )  =  K }
9 fveq2 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  v  ->  (
( V VDeg  E ) `  s )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 v ) )
109eqeq1d 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  v  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  s )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K ) )
1110cbvrabv 3060 . . . . . . . . 9  |-  { s  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 s )  =  K }  =  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }
1211difeq2i 3560 . . . . . . . 8  |-  ( V 
\  { s  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  s )  =  K } )  =  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
138, 12frgrawopreg1 25479 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1 )  ->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
14133mix3d 1176 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1 )  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
1514expcom 435 . . . . 5  |-  ( (
# `  { v  e.  V  |  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
16 rabeq0 3763 . . . . . 6  |-  ( { v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }  =  (/)  <->  A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K )
17 df-ne 2602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )
1817biimpri 208 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =/=  K
)
1918ralimi 2799 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K )
20193mix2d 1175 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
2120a1d 26 . . . . . 6  |-  ( A. v  e.  V  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
2216, 21sylbi 197 . . . . 5  |-  ( { v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K }  =  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
2315, 22jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
24 fveq2 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  s  ->  (
( V VDeg  E ) `  r )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 s ) )
2524eqeq1d 2406 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  s  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  r )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  s
)  =  K ) )
2625cbvrabv 3060 . . . . . . . 8  |-  { r  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 r )  =  K }  =  {
s  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  s )  =  K }
278difeq2i 3560 . . . . . . . 8  |-  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  ( V  \  { r  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 r )  =  K } )
2826, 27frgrawopreg2 25480 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1 )  ->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
29283mix3d 1176 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1 )  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
3029expcom 435 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
31 difrab0eq 3833 . . . . . 6  |-  ( ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )  =  (/) 
<->  V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )
32 rabid2 2987 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K )
33 3mix1 1168 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
3433a1d 26 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3532, 34sylbi 197 . . . . . 6  |-  ( V  =  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3631, 35sylbi 197 . . . . 5  |-  ( ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K } )  =  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3730, 36jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( # `  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } ) )  =  1  \/  ( V 
\  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  K } )  =  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
3823, 37jaoi 379 . . 3  |-  ( ( ( ( # `  {
v  e.  V  | 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K } )  =  1  \/  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  K }  =  (/) )  \/  ( ( # `
 ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
) )  =  1  \/  ( V  \  { v  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K }
)  =  (/) ) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
395, 38mpcom 36 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
40 biidd 239 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K ) )
41 biidd 239 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K ) )
42 sneq 3984 . . . . . . 7  |-  ( v  =  t  ->  { v }  =  { t } )
4342difeq2d 3563 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  ( V  \  { v } )  =  ( V 
\  { t } ) )
44 preq1 4053 . . . . . . 7  |-  ( v  =  t  ->  { v ,  w }  =  { t ,  w } )
4544eleq1d 2473 . . . . . 6  |-  ( v  =  t  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { t ,  w }  e.  ran  E ) )
4643, 45raleqbidv 3020 . . . . 5  |-  ( v  =  t  ->  ( A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  A. w  e.  ( V  \  { t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
4746cbvrexv 3037 . . . 4  |-  ( E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E )
4847a1i 11 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) )
4940, 41, 483orbi123d 1302 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. t  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
t } ) { t ,  w }  e.  ran  E ) ) )
5039, 49mpbird 234 1  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 975    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    \ cdif 3413   (/)c0 3740   {csn 3974   {cpr 3976   class class class wbr 4397   ran crn 4826   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   1c1 9525   #chash 12454   VDeg cvdg 25322   FriendGrph cfrgra 25417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-xadd 11374  df-fz 11729  df-hash 12455  df-usgra 24762  df-nbgra 24849  df-vdgr 25323  df-frgra 25418
This theorem is referenced by:  frgraregorufr  25482
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