Theorem frgraregorufr0 25481

Description: For each nonnegative integer K there are either no edges having degree K, or all vertices have degree K in a friendship graph, unless there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
frgraregorufr0	|- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )

Distinct variable groups:   w, v, K   v, V, w   v, E, w

Proof of Theorem frgraregorufr0

Dummy variables s r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5851	. . . . . 6 |- ( v = t -> ( ( V VDeg E ) ` v ) = ( ( V VDeg E ) ` t ) )
2	1	eqeq1d 2406	. . . . 5 |- ( v = t -> ( ( ( V VDeg E ) ` v ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` t ) = K ) )
3	2	cbvrabv 3060	. . . 4 |- { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = { t e. V | ( ( V VDeg E ) ` t ) = K }
4		eqid 2404	. . . 4 |- ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } )
5	3, 4	frgrawopreg 25478	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 \/ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) ) \/ ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 \/ ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) ) ) )
6		fveq2 5851	. . . . . . . . . 10 |- ( v = r -> ( ( V VDeg E ) ` v ) = ( ( V VDeg E ) ` r ) )
7	6	eqeq1d 2406	. . . . . . . . 9 |- ( v = r -> ( ( ( V VDeg E ) ` v ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` r ) = K ) )
8	7	cbvrabv 3060	. . . . . . . 8 |- { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = { r e. V | ( ( V VDeg E ) ` r ) = K }
9		fveq2 5851	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = v -> ( ( V VDeg E ) ` s ) = ( ( V VDeg E ) ` v ) )
10	9	eqeq1d 2406	. . . . . . . . . 10 |- ( s = v -> ( ( ( V VDeg E ) ` s ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` v ) = K ) )
11	10	cbvrabv 3060	. . . . . . . . 9 |- { s e. V | ( ( V VDeg E ) ` s ) = K } = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K }
12	11	difeq2i 3560	. . . . . . . 8 |- ( V \ { s e. V | ( ( V VDeg E ) ` s ) = K } ) = ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } )
13	8, 12	frgrawopreg1 25479	. . . . . . 7 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 ) -> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E )
14	13	3mix3d 1176	. . . . . 6 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 ) -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
15	14	expcom 435	. . . . 5 |- ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
16		rabeq0 3763	. . . . . 6 |- ( { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) <-> A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K )
17		df-ne 2602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K <-> -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K )
18	17	biimpri 208	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K )
19	18	ralimi 2799	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K )
20	19	3mix2d 1175	. . . . . . 7 |- ( A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
21	20	a1d 26	. . . . . 6 |- ( A. v e. V -. ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
22	16, 21	sylbi 197	. . . . 5 |- ( { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
23	15, 22	jaoi 379	. . . 4 |- ( ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 \/ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) ) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
24		fveq2 5851	. . . . . . . . . 10 |- ( r = s -> ( ( V VDeg E ) ` r ) = ( ( V VDeg E ) ` s ) )
25	24	eqeq1d 2406	. . . . . . . . 9 |- ( r = s -> ( ( ( V VDeg E ) ` r ) = K <-> ( ( V VDeg E ) ` s ) = K ) )
26	25	cbvrabv 3060	. . . . . . . 8 |- { r e. V | ( ( V VDeg E ) ` r ) = K } = { s e. V | ( ( V VDeg E ) ` s ) = K }
27	8	difeq2i 3560	. . . . . . . 8 |- ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = ( V \ { r e. V | ( ( V VDeg E ) ` r ) = K } )
28	26, 27	frgrawopreg2 25480	. . . . . . 7 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 ) -> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E )
29	28	3mix3d 1176	. . . . . 6 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 ) -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
30	29	expcom 435	. . . . 5 |- ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
31		difrab0eq 3833	. . . . . 6 |- ( ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) <-> V = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } )
32		rabid2 2987	. . . . . . 7 |- ( V = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } <-> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K )
33		3mix1 1168	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
34	33	a1d 26	. . . . . . 7 |- ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
35	32, 34	sylbi 197	. . . . . 6 |- ( V = { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
36	31, 35	sylbi 197	. . . . 5 |- ( ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
37	30, 36	jaoi 379	. . . 4 |- ( ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 \/ ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) ) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
38	23, 37	jaoi 379	. . 3 |- ( ( ( ( # ` { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = 1 \/ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } = (/) ) \/ ( ( # ` ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) ) = 1 \/ ( V \ { v e. V | ( ( V VDeg E ) ` v ) = K } ) = (/) ) ) -> ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
39	5, 38	mpcom 36	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
40		biidd 239	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K <-> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K ) )
41		biidd 239	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K <-> A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K ) )
42		sneq 3984	. . . . . . 7 |- ( v = t -> { v } = { t } )
43	42	difeq2d 3563	. . . . . 6 |- ( v = t -> ( V \ { v } ) = ( V \ { t } ) )
44		preq1 4053	. . . . . . 7 |- ( v = t -> { v , w } = { t , w } )
45	44	eleq1d 2473	. . . . . 6 |- ( v = t -> ( { v , w } e. ran E <-> { t , w } e. ran E ) )
46	43, 45	raleqbidv 3020	. . . . 5 |- ( v = t -> ( A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E <-> A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
47	46	cbvrexv 3037	. . . 4 |- ( E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E <-> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E )
48	47	a1i 11	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E <-> E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) )
49	40, 41, 48	3orbi123d 1302	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) <-> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. t e. V A. w e. ( V \ { t } ) { t , w } e. ran E ) ) )
50	39, 49	mpbird 234	1 |- ( V FriendGrph E -> ( A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) = K \/ A. v e. V ( ( V VDeg E ) ` v ) =/= K \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. ran E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 186   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 975   = wceq 1407   e. wcel 1844   =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   \ cdif 3413   (/)c0 3740   {csn 3974   {cpr 3976   class class class wbr 4397   ran crn 4826   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   1c1 9525   #chash 12454   VDeg cvdg 25322   FriendGrph cfrgra 25417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-xadd 11374  df-fz 11729  df-hash 12455  df-usgra 24762  df-nbgra 24849  df-vdgr 25323  df-frgra 25418

This theorem is referenced by:  frgraregorufr  25482