Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgraregorufr0 Structured version   Unicode version

Theorem frgraregorufr0 30783
 Description: For each nonnegative integer K there are either no edges having degree K, or all vertices have degree K in a friendship graph, unless there is a universal friend. This corresponds to the second claim in the proof of the friendship theorem in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregorufr0 FriendGrph VDeg VDeg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem frgraregorufr0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5789 . . . . . 6 VDeg VDeg
21eqeq1d 2453 . . . . 5 VDeg VDeg
32cbvrabv 3067 . . . 4 VDeg VDeg
4 eqid 2451 . . . 4 VDeg VDeg
53, 4frgrawopreg 30780 . . 3 FriendGrph VDeg VDeg VDeg VDeg
6 fveq2 5789 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
76eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
87cbvrabv 3067 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
9 fveq2 5789 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
109eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
1110cbvrabv 3067 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
1211difeq2i 3569 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
138, 12frgrawopreg1 30781 . . . . . . 7 FriendGrph VDeg
14 3mix3 1159 . . . . . . 7 VDeg VDeg
1513, 14syl 16 . . . . . 6 FriendGrph VDeg VDeg VDeg
1615expcom 435 . . . . 5 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
17 rabeq0 3757 . . . . . 6 VDeg VDeg
18 df-ne 2646 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
1918biimpri 206 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
2019ralimi 2811 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
21 3mix2 1158 . . . . . . . 8 VDeg VDeg VDeg
2220, 21syl 16 . . . . . . 7 VDeg VDeg VDeg
2322a1d 25 . . . . . 6 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
2417, 23sylbi 195 . . . . 5 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
2516, 24jaoi 379 . . . 4 VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
26 fveq2 5789 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
2726eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
2827cbvrabv 3067 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
298difeq2i 3569 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
3028, 29frgrawopreg2 30782 . . . . . . 7 FriendGrph VDeg
3130, 14syl 16 . . . . . 6 FriendGrph VDeg VDeg VDeg
3231expcom 435 . . . . 5 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
33 difrab0eq 3837 . . . . . 6 VDeg VDeg
34 rabid2 2994 . . . . . . 7 VDeg VDeg
35 3mix1 1157 . . . . . . . 8 VDeg VDeg VDeg
3635a1d 25 . . . . . . 7 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
3734, 36sylbi 195 . . . . . 6 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
3833, 37sylbi 195 . . . . 5 VDeg FriendGrph VDeg VDeg
3932, 38jaoi 379 . . . 4 VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
4025, 39jaoi 379 . . 3 VDeg VDeg VDeg VDeg FriendGrph VDeg VDeg
415, 40mpcom 36 . 2 FriendGrph VDeg VDeg
42 biidd 237 . . 3 FriendGrph VDeg VDeg
43 biidd 237 . . 3 FriendGrph VDeg VDeg
44 sneq 3985 . . . . . . 7
4544difeq2d 3572 . . . . . 6
46 preq1 4052 . . . . . . 7
4746eleq1d 2520 . . . . . 6
4845, 47raleqbidv 3027 . . . . 5
4948cbvrexv 3044 . . . 4
5049a1i 11 . . 3 FriendGrph
5142, 43, 503orbi123d 1289 . 2 FriendGrph VDeg VDeg VDeg VDeg
5241, 51mpbird 232 1 FriendGrph VDeg VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3o 964   wceq 1370   wcel 1758   wne 2644  wral 2795  wrex 2796  crab 2799   cdif 3423  c0 3735  csn 3975  cpr 3977   class class class wbr 4390   crn 4939  cfv 5516  (class class class)co 6190  c1 9384  chash 12204   VDeg cvdg 23698   FriendGrph cfrgra 30718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-xadd 11191  df-fz 11539  df-hash 12205  df-usgra 23401  df-nbgra 23467  df-vdgr 23699  df-frgra 30719 This theorem is referenced by:  frgraregorufr  30784
 Copyright terms: Public domain W3C validator