Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgraregorufr Structured version   Unicode version

Theorem frgraregorufr 25780
 Description: If there is a vertex having degree for each (nonnegative integer) in a friendship graph, then either all vertices have degree or there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregorufr FriendGrph VDeg VDeg
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem frgraregorufr
StepHypRef Expression
1 frgraregorufr0 25779 . 2 FriendGrph VDeg VDeg
2 orc 386 . . . 4 VDeg VDeg
32a1d 26 . . 3 VDeg VDeg VDeg
4 fveq2 5882 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
54neeq1d 2697 . . . . . . 7 VDeg VDeg
65rspcva 3180 . . . . . 6 VDeg VDeg
7 df-ne 2616 . . . . . . 7 VDeg VDeg
8 pm2.21 111 . . . . . . 7 VDeg VDeg VDeg
97, 8sylbi 198 . . . . . 6 VDeg VDeg VDeg
106, 9syl 17 . . . . 5 VDeg VDeg VDeg
1110ancoms 454 . . . 4 VDeg VDeg VDeg
1211rexlimdva 2914 . . 3 VDeg VDeg VDeg
13 olc 385 . . . 4 VDeg
1413a1d 26 . . 3 VDeg VDeg
153, 12, 143jaoi 1327 . 2 VDeg VDeg VDeg VDeg
161, 15syl 17 1 FriendGrph VDeg VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 369   wa 370   w3o 981   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  wrex 2772   cdif 3433  csn 3998  cpr 4000   class class class wbr 4423   crn 4854  cfv 5601  (class class class)co 6306   VDeg cvdg 25620   FriendGrph cfrgra 25715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-xadd 11418  df-fz 11793  df-hash 12523  df-usgra 25059  df-nbgra 25147  df-vdgr 25621  df-frgra 25716 This theorem is referenced by:  frgraregorufrg  25799
 Copyright terms: Public domain W3C validator