MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgraregorufr Structured version   Unicode version

Theorem frgraregorufr 25780
Description: If there is a vertex having degree  K for each (nonnegative integer)  K in a friendship graph, then either all vertices have degree  K or there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregorufr  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. a  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  a
)  =  K  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Distinct variable groups:    v, a, w, K    V, a, v, w    E, a, v, w

Proof of Theorem frgraregorufr
StepHypRef Expression
1 frgraregorufr0 25779 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
2 orc 386 . . . 4  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
32a1d 26 . . 3  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( E. a  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  a
)  =  K  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
4 fveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  a  ->  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 a ) )
54neeq1d 2697 . . . . . . 7  |-  ( v  =  a  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  a
)  =/=  K ) )
65rspcva 3180 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  V  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K )  ->  (
( V VDeg  E ) `  a )  =/=  K
)
7 df-ne 2616 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 a )  =/= 
K  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  a
)  =  K )
8 pm2.21 111 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  a )  =  K  ->  ( ( ( V VDeg  E ) `
 a )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
97, 8sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 a )  =/= 
K  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  a )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
106, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  V  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/= 
K )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  a )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
1110ancoms 454 . . . 4  |-  ( ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  K  /\  a  e.  V )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  a )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
1211rexlimdva 2914 . . 3  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  K  ->  ( E. a  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  a
)  =  K  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
13 olc 385 . . . 4  |-  ( E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
1413a1d 26 . . 3  |-  ( E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E  -> 
( E. a  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  a
)  =  K  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
153, 12, 143jaoi 1327 . 2  |-  ( ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  \/  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  ->  ( E. a  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  a
)  =  K  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
161, 15syl 17 1  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E. a  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  a
)  =  K  -> 
( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  \/  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772    \ cdif 3433   {csn 3998   {cpr 4000   class class class wbr 4423   ran crn 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   VDeg cvdg 25620   FriendGrph cfrgra 25715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-xadd 11418  df-fz 11793  df-hash 12523  df-usgra 25059  df-nbgra 25147  df-vdgr 25621  df-frgra 25716
This theorem is referenced by:  frgraregorufrg  25799
  Copyright terms: Public domain W3C validator