Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgrareggt1 Structured version   Unicode version

Theorem frgrareggt1 30858
 Description: If a finite friendship graph is k-regular with k > 1, then k must be 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgrareggt1 FriendGrph RegUSGrph

Proof of Theorem frgrareggt1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgraprop 30695 . . . . 5 RegUSGrph USGrph VDeg
2 2z 10790 . . . . . . . . . . . 12
32a1i 11 . . . . . . . . . . 11
4 nn0z 10781 . . . . . . . . . . . . 13
5 peano2zm 10800 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12
76adantr 465 . . . . . . . . . . 11
8 zltlem1 10809 . . . . . . . . . . . . 13
92, 4, 8sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
109biimpa 484 . . . . . . . . . . 11
11 eluz2 10979 . . . . . . . . . . 11
123, 7, 10, 11syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . 10
13 exprmfct 13915 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9
15 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 RegUSGrph RegUSGrph
16 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . 15 FriendGrph FriendGrph
1715, 16anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
18 pm3.22 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19183adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15 FriendGrph
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 RegUSGrph FriendGrph
21 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14 RegUSGrph FriendGrph
22 numclwwlk7 30856 . . . . . . . . . . . . . 14 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN
2317, 20, 21, 22syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN
24 frisusgra 30733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph USGrph
25243ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph USGrph
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RegUSGrph FriendGrph USGrph
27 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RegUSGrph FriendGrph
28 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RegUSGrph FriendGrph
29 numclwwlk8 30857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph ClWWalksN
3026, 27, 28, 29syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN
31 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ClWWalksN ClWWalksN
32 ax-1ne0 9463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3332nesymi 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3433pm2.21i 131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3531, 34syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ClWWalksN ClWWalksN
3630, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN
3837com13 80 . . . . . . . . . . . . 13 ClWWalksN RegUSGrph FriendGrph
3923, 38mpcom 36 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph FriendGrph
4039exp31 604 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph FriendGrph
4140com24 87 . . . . . . . . . 10 FriendGrph RegUSGrph
4241rexlimiva 2942 . . . . . . . . 9 FriendGrph RegUSGrph
4314, 42mpcom 36 . . . . . . . 8 FriendGrph RegUSGrph
4443ex 434 . . . . . . 7 FriendGrph RegUSGrph
4544com24 87 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
46453ad2ant2 1010 . . . . 5 USGrph VDeg RegUSGrph FriendGrph
471, 46mpcom 36 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
4847adantr 465 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
4948com13 80 . 2 FriendGrph RegUSGrph
50 1red 9513 . . . . . . . . . 10
51 nn0re 10700 . . . . . . . . . 10
5250, 51ltnled 9633 . . . . . . . . 9
53 1e2m1 10549 . . . . . . . . . . . 12
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11
5554breq2d 4413 . . . . . . . . . 10
5655notbid 294 . . . . . . . . 9
57 zltlem1 10809 . . . . . . . . . . . 12
584, 2, 57sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
5958bicomd 201 . . . . . . . . . 10
6059notbid 294 . . . . . . . . 9
6152, 56, 603bitrd 279 . . . . . . . 8
62 2re 10503 . . . . . . . . . 10
63 lttri3 9570 . . . . . . . . . . 11
6463biimprd 223 . . . . . . . . . 10
6551, 62, 64sylancl 662 . . . . . . . . 9
6665expd 436 . . . . . . . 8
6761, 66sylbid 215 . . . . . . 7
68673ad2ant2 1010 . . . . . 6 USGrph VDeg
691, 68syl 16 . . . . 5 RegUSGrph
7069imp 429 . . . 4 RegUSGrph
7170com12 31 . . 3 RegUSGrph
7271a1d 25 . 2 FriendGrph RegUSGrph
7349, 72pm2.61i 164 1 FriendGrph RegUSGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758   wne 2648  wral 2799  wrex 2800  c0 3746  cop 3992   class class class wbr 4401  cfv 5527  (class class class)co 6201  cfn 7421  cr 9393  cc0 9394  c1 9395   clt 9530   cle 9531   cmin 9707  c2 10483  cn0 10691  cz 10758  cuz 10973   cmo 11826  chash 12221   cdivides 13654  cprime 13882   USGrph cusg 23417   VDeg cvdg 23716   ClWWalksN cclwwlkn 30563   RegUSGrph crusgra 30689   FriendGrph cfrgra 30729 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-ot 3995  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-disj 4372  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-ec 7214  df-qs 7218  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-xadd 11202  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-word 12348  df-lsw 12349  df-concat 12350  df-s1 12351  df-substr 12352  df-reps 12355  df-csh 12545  df-s2 12594  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-sum 13283  df-dvds 13655  df-gcd 13810  df-prm 13883  df-phi 13960  df-usgra 23419  df-nbgra 23485  df-wlk 23568  df-trail 23569  df-pth 23570  df-spth 23571  df-wlkon 23574  df-spthon 23577  df-vdgr 23717  df-wwlk 30462  df-wwlkn 30463  df-2wlkonot 30526  df-2spthonot 30528  df-2spthsot 30529  df-clwwlk 30565  df-clwwlkn 30566  df-rgra 30690  df-rusgra 30691  df-frgra 30730 This theorem is referenced by:  frgrareg  30859
 Copyright terms: Public domain W3C validator