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Theorem frgrancvvdeqlemB 25164
 Description: Lemma B for frgrancvvdeq 25168. This corresponds to statement 2 in [Huneke] p. 1: "The map is one-to-one since z in N(x) is uniquely determined as the common neighbor of x and a(x)". (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrancvvdeq.nx Neighbors
frgrancvvdeq.ny Neighbors
frgrancvvdeq.x
frgrancvvdeq.y
frgrancvvdeq.ne
frgrancvvdeq.xy
frgrancvvdeq.f FriendGrph
frgrancvvdeq.a
Assertion
Ref Expression
frgrancvvdeqlemB
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem frgrancvvdeqlemB
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrancvvdeq.nx . . 3 Neighbors
2 frgrancvvdeq.ny . . 3 Neighbors
3 frgrancvvdeq.x . . 3
4 frgrancvvdeq.y . . 3
5 frgrancvvdeq.ne . . 3
6 frgrancvvdeq.xy . . 3
7 frgrancvvdeq.f . . 3 FriendGrph
8 frgrancvvdeq.a . . 3
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frgrancvvdeqlem5 25160 . 2
10 ffn 5737 . . . . . 6
11 dffn3 5744 . . . . . 6
1210, 11sylib 196 . . . . 5
1312adantl 466 . . . 4
14 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12
1514adantll 713 . . . . . . . . . . 11
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10
1716adantr 465 . . . . . . . . 9
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frgrancvvdeqlem2 25157 . . . . . . . . . . . . 13
19 preq1 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2019eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2120riotabidv 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2221cbvmptv 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
238, 22eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 23frgrancvvdeqlem7 25162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25 preq1 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2625eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2726riotabidv 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2827cbvmptv 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
298, 28eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 29frgrancvvdeqlem7 25162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3124, 30anim12dan 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 preq2 4112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3332eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3433anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3534eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3635biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
383, 1, 7frgranbnb 25146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
39383expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
40 df-nel 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
41 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4241biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4342pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4443expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4544com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4640, 45sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4746com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4839, 47syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4948expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5049com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5137, 50sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5236, 51syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5352expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5453com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5531, 54mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756com3r 79 . . . . . . . . . . . . . 14
5857com15 93 . . . . . . . . . . . . 13
5918, 58mpcom 36 . . . . . . . . . . . 12
6059expd 436 . . . . . . . . . . 11
6160adantr 465 . . . . . . . . . 10
6261imp41 593 . . . . . . . . 9
6317, 62mpid 41 . . . . . . . 8
6463pm2.18d 111 . . . . . . 7
6564ex 434 . . . . . 6
6665ralrimiva 2871 . . . . 5
6766ralrimiva 2871 . . . 4
68 dff13 6167 . . . 4
6913, 67, 68sylanbrc 664 . . 3
7069expcom 435 . 2
719, 70mpcom 36 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652   wnel 2653  wral 2807  cpr 4034  cop 4038   class class class wbr 4456   cmpt 4515   crn 5009   wfn 5589  wf 5590  wf1 5591  cfv 5594  crio 6257  (class class class)co 6296   Neighbors cnbgra 24543   FriendGrph cfrgra 25114 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12408  df-usgra 24459  df-nbgra 24546  df-frgra 25115 This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlem8  25166
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