MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrancvvdeqlem8 Structured version   Unicode version

Theorem frgrancvvdeqlem8 25613
Description: Lemma 8 for frgrancvvdeq 25615. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrancvvdeq.nx  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
frgrancvvdeq.ny  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )
frgrancvvdeq.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
frgrancvvdeq.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
frgrancvvdeq.ne  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
frgrancvvdeq.xy  |-  ( ph  ->  Y  e/  D )
frgrancvvdeq.f  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
frgrancvvdeq.a  |-  A  =  ( x  e.  D  |->  ( iota_ y  e.  N  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
Assertion
Ref Expression
frgrancvvdeqlem8  |-  ( ph  ->  A : D -1-1-onto-> N )
Distinct variable groups:    y, D, x    x, V, y    x, E, y    y, Y    ph, y    y, N    x, D    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x, y)    X( x, y)    Y( x)

Proof of Theorem frgrancvvdeqlem8
StepHypRef Expression
1 frgrancvvdeq.nx . . . 4  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
2 frgrancvvdeq.ny . . . 4  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )
3 frgrancvvdeq.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
4 frgrancvvdeq.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
5 frgrancvvdeq.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
6 frgrancvvdeq.xy . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e/  D )
7 frgrancvvdeq.f . . . 4  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
8 frgrancvvdeq.a . . . 4  |-  A  =  ( x  e.  D  |->  ( iota_ y  e.  N  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frgrancvvdeqlemB 25611 . . 3  |-  ( ph  ->  A : D -1-1-> ran  A )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frgrancvvdeqlem5 25607 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : D --> N )
11 frn 5752 . . . 4  |-  ( A : D --> N  ->  ran  A  C_  N )
1210, 11syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  N
)
13 f1ss 5801 . . 3  |-  ( ( A : D -1-1-> ran  A  /\  ran  A  C_  N )  ->  A : D -1-1-> N )
149, 12, 13syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  A : D -1-1-> N
)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frgrancvvdeqlemC 25612 . 2  |-  ( ph  ->  A : D -onto-> N
)
16 df-f1o 5608 . 2  |-  ( A : D -1-1-onto-> N  <->  ( A : D -1-1-> N  /\  A : D -onto-> N ) )
1714, 15, 16sylanbrc 668 1  |-  ( ph  ->  A : D -1-1-onto-> N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625    e/ wnel 2626    C_ wss 3442   {cpr 4004   <.cop 4008   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ran crn 4855   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   -onto->wfo 5599   -1-1-onto->wf1o 5600   iota_crio 6266  (class class class)co 6305   Neighbors cnbgra 24990   FriendGrph cfrgra 25561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-hash 12513  df-usgra 24906  df-nbgra 24993  df-frgra 25562
This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlem9  25614
  Copyright terms: Public domain W3C validator