MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrancvvdeqlem8 Structured version   Unicode version

Theorem frgrancvvdeqlem8 24745
Description: Lemma 8 for frgrancvvdeq 24747. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrancvvdeq.nx  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
frgrancvvdeq.ny  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )
frgrancvvdeq.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
frgrancvvdeq.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
frgrancvvdeq.ne  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
frgrancvvdeq.xy  |-  ( ph  ->  Y  e/  D )
frgrancvvdeq.f  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
frgrancvvdeq.a  |-  A  =  ( x  e.  D  |->  ( iota_ y  e.  N  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
Assertion
Ref Expression
frgrancvvdeqlem8  |-  ( ph  ->  A : D -1-1-onto-> N )
Distinct variable groups:    y, D, x    x, V, y    x, E, y    y, Y    ph, y    y, N    x, D    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x, y)    X( x, y)    Y( x)

Proof of Theorem frgrancvvdeqlem8
StepHypRef Expression
1 frgrancvvdeq.nx . . . 4  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
2 frgrancvvdeq.ny . . . 4  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )
3 frgrancvvdeq.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
4 frgrancvvdeq.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
5 frgrancvvdeq.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
6 frgrancvvdeq.xy . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e/  D )
7 frgrancvvdeq.f . . . 4  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
8 frgrancvvdeq.a . . . 4  |-  A  =  ( x  e.  D  |->  ( iota_ y  e.  N  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frgrancvvdeqlemB 24743 . . 3  |-  ( ph  ->  A : D -1-1-> ran  A )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frgrancvvdeqlem5 24739 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : D --> N )
11 frn 5737 . . . 4  |-  ( A : D --> N  ->  ran  A  C_  N )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  N
)
13 f1ss 5786 . . 3  |-  ( ( A : D -1-1-> ran  A  /\  ran  A  C_  N )  ->  A : D -1-1-> N )
149, 12, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  A : D -1-1-> N
)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frgrancvvdeqlemC 24744 . 2  |-  ( ph  ->  A : D -onto-> N
)
16 df-f1o 5595 . 2  |-  ( A : D -1-1-onto-> N  <->  ( A : D -1-1-> N  /\  A : D -onto-> N ) )
1714, 15, 16sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  A : D -1-1-onto-> N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    e/ wnel 2663    C_ wss 3476   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   iota_crio 6244  (class class class)co 6284   Neighbors cnbgra 24121   FriendGrph cfrgra 24692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-usgra 24037  df-nbgra 24124  df-frgra 24693
This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlem9  24746
  Copyright terms: Public domain W3C validator