Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrancvvdeqlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frgrancvvdeqlem3 25760
 Description: Lemma 3 for frgrancvvdeq 25770. In a friendship graph, for each neighbor of a vertex there is exacly one neighbor of another vertex so that there is an edge between these two neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrancvvdeq.nx Neighbors
frgrancvvdeq.ny Neighbors
frgrancvvdeq.x
frgrancvvdeq.y
frgrancvvdeq.ne
frgrancvvdeq.xy
frgrancvvdeq.f FriendGrph
frgrancvvdeq.a
Assertion
Ref Expression
frgrancvvdeqlem3
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem frgrancvvdeqlem3
StepHypRef Expression
1 frgrancvvdeq.f . . . 4 FriendGrph
21adantr 467 . . 3 FriendGrph
3 frgrancvvdeq.nx . . . . . . 7 Neighbors
43eleq2i 2521 . . . . . 6 Neighbors
5 frisusgra 25720 . . . . . . 7 FriendGrph USGrph
6 nbgraisvtx 25159 . . . . . . 7 USGrph Neighbors
71, 5, 63syl 18 . . . . . 6 Neighbors
84, 7syl5bi 221 . . . . 5
98imp 431 . . . 4
10 frgrancvvdeq.y . . . . 5
1110adantr 467 . . . 4
12 frgrancvvdeq.ny . . . . . 6 Neighbors
13 frgrancvvdeq.x . . . . . 6
14 frgrancvvdeq.ne . . . . . 6
15 frgrancvvdeq.xy . . . . . 6
16 frgrancvvdeq.a . . . . . 6
173, 12, 13, 10, 14, 15, 1, 16frgrancvvdeqlem1 25758 . . . . 5
18 eldif 3414 . . . . . 6
19 ssnid 3997 . . . . . . . . 9
20 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10
2120eqcoms 2459 . . . . . . . . 9
2219, 21mpbiri 237 . . . . . . . 8
2322necon3bi 2650 . . . . . . 7
2423adantl 468 . . . . . 6
2518, 24sylbi 199 . . . . 5
2617, 25syl 17 . . . 4
279, 11, 263jca 1188 . . 3
28 frgraunss 25723 . . 3 FriendGrph
292, 27, 28sylc 62 . 2
30 prex 4642 . . . . . . . . . . . 12
31 prex 4642 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31prss 4126 . . . . . . . . . . 11
33 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
3432, 33sylbir 217 . . . . . . . . . 10
3534ad2antll 735 . . . . . . . . 9
3612a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 Neighbors
3736eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . 12 Neighbors
38 nbgraeledg 25158 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph Neighbors
391, 5, 383syl 18 . . . . . . . . . . . 12 Neighbors
4037, 39bitrd 257 . . . . . . . . . . 11
4140adantr 467 . . . . . . . . . 10
4241adantr 467 . . . . . . . . 9
4335, 42mpbird 236 . . . . . . . 8
44 simpl 459 . . . . . . . . . 10
4532, 44sylbir 217 . . . . . . . . 9
4645ad2antll 735 . . . . . . . 8
4743, 46jca 535 . . . . . . 7
4847ex 436 . . . . . 6
4912eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . 13 Neighbors
5049, 39syl5bb 261 . . . . . . . . . . . 12
5150biimpd 211 . . . . . . . . . . 11
5251adantr 467 . . . . . . . . . 10
5352impcom 432 . . . . . . . . 9
54 nbgraisvtx 25159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph Neighbors
551, 5, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 Neighbors
5649, 55syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . 14
5756adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
5857impcom 432 . . . . . . . . . . . 12
5958ad2antlr 733 . . . . . . . . . . 11
60 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13
61 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
6260, 61anim12ci 571 . . . . . . . . . . . 12
6362, 32sylib 200 . . . . . . . . . . 11
6459, 63jca 535 . . . . . . . . . 10
6564ex 436 . . . . . . . . 9
6653, 65mpancom 675 . . . . . . . 8
6766impancom 442 . . . . . . 7
6867com12 32 . . . . . 6
6948, 68impbid 194 . . . . 5
7069eubidv 2319 . . . 4
7170biimpd 211 . . 3
72 df-reu 2744 . . 3
73 df-reu 2744 . . 3
7471, 72, 733imtr4g 274 . 2
7529, 74mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  weu 2299   wne 2622   wnel 2623  wreu 2739   cdif 3401   wss 3404  csn 3968  cpr 3970  cop 3974   class class class wbr 4402   cmpt 4461   crn 4835  crio 6251  (class class class)co 6290   USGrph cusg 25057   Neighbors cnbgra 25145   FriendGrph cfrgra 25716 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-usgra 25060  df-nbgra 25148  df-frgra 25717 This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlem4  25761  frgrancvvdeqlem5  25762
 Copyright terms: Public domain W3C validator