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Theorem frgrancvvdeqlem3 30578
Description: Lemma 3 for frgrancvvdeq 30588. In a friendship graph, for each neighbor of a vertex there is exacly one neighbor of another vertex so that there is an edge between these two neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrancvvdeq.nx  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
frgrancvvdeq.ny  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )
frgrancvvdeq.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
frgrancvvdeq.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
frgrancvvdeq.ne  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
frgrancvvdeq.xy  |-  ( ph  ->  Y  e/  D )
frgrancvvdeq.f  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
frgrancvvdeq.a  |-  A  =  ( x  e.  D  |->  ( iota_ y  e.  N  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
Assertion
Ref Expression
frgrancvvdeqlem3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  E! y  e.  N  {
x ,  y }  e.  ran  E )
Distinct variable groups:    y, D    x, y, V    x, E, y    y, Y    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x, y)    D( x)    N( x, y)    X( x, y)    Y( x)

Proof of Theorem frgrancvvdeqlem3
StepHypRef Expression
1 frgrancvvdeq.f . . . 4  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  V FriendGrph  E )
3 frgrancvvdeq.nx . . . . . . 7  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
43eleq2i 2502 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  <->  x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X ) )
5 frisusgra 30537 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
6 nbgraisvtx 23293 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  ->  x  e.  V ) )
71, 5, 63syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  X
)  ->  x  e.  V ) )
84, 7syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  ->  x  e.  V ) )
98imp 429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  V )
10 frgrancvvdeq.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  Y  e.  V )
12 frgrancvvdeq.ny . . . . . 6  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )
13 frgrancvvdeq.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 frgrancvvdeq.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
15 frgrancvvdeq.xy . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e/  D )
16 frgrancvvdeq.a . . . . . 6  |-  A  =  ( x  e.  D  |->  ( iota_ y  e.  N  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
173, 12, 13, 10, 14, 15, 1, 16frgrancvvdeqlem1 30576 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  Y  e.  ( V  \  {
x } ) )
18 eldif 3333 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( V  \  { x } )  <-> 
( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  {
x } ) )
19 ssnid 3901 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
{ x }
20 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  x  ->  ( Y  e.  { x } 
<->  x  e.  { x } ) )
2120eqcoms 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( Y  e.  { x } 
<->  x  e.  { x } ) )
2219, 21mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  Y  e.  { x } )
2322necon3bi 2647 . . . . . . 7  |-  ( -.  Y  e.  { x }  ->  x  =/=  Y
)
2423adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  { x } )  ->  x  =/=  Y )
2518, 24sylbi 195 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  { x } )  ->  x  =/=  Y
)
2617, 25syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  =/=  Y )
279, 11, 263jca 1168 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  x  =/=  Y ) )
28 frgraunss 30540 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( x  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  x  =/=  Y )  ->  E! y  e.  V  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )
292, 27, 28sylc 60 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  E! y  e.  V  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E )
30 prex 4529 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x ,  y }  e.  _V
31 prex 4529 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y ,  Y }  e.  _V
3230, 31prss 4022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  Y }  e.  ran  E )  <->  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  Y }  e.  ran  E )  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E )
3432, 33sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E )
3534ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E )
3612a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y
) )
3736eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  N  <->  y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y ) ) )
38 nbgraeledg 23292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
391, 5, 383syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  Y
)  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
4037, 39bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  N  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
y  e.  N  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )  ->  ( y  e.  N  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
4335, 42mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )  ->  y  e.  N
)
44 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  Y }  e.  ran  E )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E )
4532, 44sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E  ->  { x ,  y }  e.  ran  E )
4645ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E )
4743, 46jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )  ->  ( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
4847ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  {
y ,  Y } }  C_  ran  E )  ->  ( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
4912eleq2i 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N  <->  y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y ) )
5049, 39syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  N  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
5150biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  N  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
y  e.  N  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
5352impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) )  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E )
54 nbgraisvtx 23293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )  ->  y  e.  V ) )
551, 5, 543syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  Y
)  ->  y  e.  V ) )
5649, 55syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  N  ->  y  e.  V ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
y  e.  N  -> 
y  e.  V ) )
5857impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) )  -> 
y  e.  V )
5958ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E )  ->  y  e.  V
)
60 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E )
61 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { x ,  y }  e.  ran  E  ->  { x ,  y }  e.  ran  E
)
6260, 61anim12ci 567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
6362, 32sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E )  ->  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E
)
6459, 63jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E ) )
6564ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  ->  ( { x ,  y }  e.  ran  E  ->  ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E ) ) )
6653, 65mpancom 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) )  -> 
( { x ,  y }  e.  ran  E  ->  ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E ) ) )
6766impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ph  /\  x  e.  D )  ->  ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E ) ) )
6867com12 31 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E
)  ->  ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E ) ) )
6948, 68impbid 191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  {
y ,  Y } }  C_  ran  E )  <-> 
( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E
) ) )
7069eubidv 2274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( E! y ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E )  <->  E! y
( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E
) ) )
7170biimpd 207 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( E! y ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E )  ->  E! y ( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
72 df-reu 2717 . . 3  |-  ( E! y  e.  V  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E  <->  E! y ( y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )
73 df-reu 2717 . . 3  |-  ( E! y  e.  N  {
x ,  y }  e.  ran  E  <->  E! y
( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
7471, 72, 733imtr4g 270 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( E! y  e.  V  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E  ->  E! y  e.  N  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
7529, 74mpd 15 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  E! y  e.  N  {
x ,  y }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E!weu 2252    =/= wne 2601    e/ wnel 2602   E!wreu 2712    \ cdif 3320    C_ wss 3323   {csn 3872   {cpr 3874   <.cop 3878   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ran crn 4836   iota_crio 6046  (class class class)co 6086   USGrph cusg 23215   Neighbors cnbgra 23280   FriendGrph cfrgra 30533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-hash 12096  df-usgra 23217  df-nbgra 23283  df-frgra 30534
This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlem4  30579  frgrancvvdeqlem5  30580
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