MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrancvvdeqlem3 Structured version   Unicode version

Theorem frgrancvvdeqlem3 24904
Description: Lemma 3 for frgrancvvdeq 24914. In a friendship graph, for each neighbor of a vertex there is exacly one neighbor of another vertex so that there is an edge between these two neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrancvvdeq.nx  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
frgrancvvdeq.ny  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )
frgrancvvdeq.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
frgrancvvdeq.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
frgrancvvdeq.ne  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
frgrancvvdeq.xy  |-  ( ph  ->  Y  e/  D )
frgrancvvdeq.f  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
frgrancvvdeq.a  |-  A  =  ( x  e.  D  |->  ( iota_ y  e.  N  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
Assertion
Ref Expression
frgrancvvdeqlem3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  E! y  e.  N  {
x ,  y }  e.  ran  E )
Distinct variable groups:    y, D    x, y, V    x, E, y    y, Y    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x, y)    D( x)    N( x, y)    X( x, y)    Y( x)

Proof of Theorem frgrancvvdeqlem3
StepHypRef Expression
1 frgrancvvdeq.f . . . 4  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  V FriendGrph  E )
3 frgrancvvdeq.nx . . . . . . 7  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
43eleq2i 2521 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  <->  x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X ) )
5 frisusgra 24864 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
6 nbgraisvtx 24303 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  ->  x  e.  V ) )
71, 5, 63syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  X
)  ->  x  e.  V ) )
84, 7syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  ->  x  e.  V ) )
98imp 429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  V )
10 frgrancvvdeq.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  Y  e.  V )
12 frgrancvvdeq.ny . . . . . 6  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )
13 frgrancvvdeq.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 frgrancvvdeq.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
15 frgrancvvdeq.xy . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e/  D )
16 frgrancvvdeq.a . . . . . 6  |-  A  =  ( x  e.  D  |->  ( iota_ y  e.  N  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
173, 12, 13, 10, 14, 15, 1, 16frgrancvvdeqlem1 24902 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  Y  e.  ( V  \  {
x } ) )
18 eldif 3471 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( V  \  { x } )  <-> 
( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  {
x } ) )
19 ssnid 4043 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
{ x }
20 eleq1 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  x  ->  ( Y  e.  { x } 
<->  x  e.  { x } ) )
2120eqcoms 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( Y  e.  { x } 
<->  x  e.  { x } ) )
2219, 21mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  Y  e.  { x } )
2322necon3bi 2672 . . . . . . 7  |-  ( -.  Y  e.  { x }  ->  x  =/=  Y
)
2423adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  { x } )  ->  x  =/=  Y )
2518, 24sylbi 195 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  { x } )  ->  x  =/=  Y
)
2617, 25syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  =/=  Y )
279, 11, 263jca 1177 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  x  =/=  Y ) )
28 frgraunss 24867 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( x  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  x  =/=  Y )  ->  E! y  e.  V  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )
292, 27, 28sylc 60 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  E! y  e.  V  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E )
30 prex 4679 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x ,  y }  e.  _V
31 prex 4679 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y ,  Y }  e.  _V
3230, 31prss 4169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  Y }  e.  ran  E )  <->  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  Y }  e.  ran  E )  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E )
3432, 33sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E )
3534ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E )
3612a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y
) )
3736eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  N  <->  y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y ) ) )
38 nbgraeledg 24302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
391, 5, 383syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  Y
)  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
4037, 39bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  N  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
y  e.  N  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )  ->  ( y  e.  N  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
4335, 42mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )  ->  y  e.  N
)
44 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  Y }  e.  ran  E )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E )
4532, 44sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E  ->  { x ,  y }  e.  ran  E )
4645ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )  ->  { x ,  y }  e.  ran  E )
4743, 46jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )  ->  ( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
4847ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  {
y ,  Y } }  C_  ran  E )  ->  ( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
4912eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N  <->  y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y ) )
5049, 39syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  N  <->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
5150biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  N  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
y  e.  N  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
5352impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) )  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E )
54 nbgraisvtx 24303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  Y )  ->  y  e.  V ) )
551, 5, 543syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  Y
)  ->  y  e.  V ) )
5649, 55syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  N  ->  y  e.  V ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
y  e.  N  -> 
y  e.  V ) )
5857impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) )  -> 
y  e.  V )
5958ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E )  ->  y  e.  V
)
60 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  ->  { y ,  Y }  e.  ran  E )
61 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { x ,  y }  e.  ran  E  ->  { x ,  y }  e.  ran  E
)
6260, 61anim12ci 567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  Y }  e.  ran  E ) )
6362, 32sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E )  ->  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E
)
6459, 63jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E ) )
6564ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y ,  Y }  e.  ran  E  /\  ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) ) )  ->  ( { x ,  y }  e.  ran  E  ->  ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E ) ) )
6653, 65mpancom 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N  /\  ( ph  /\  x  e.  D ) )  -> 
( { x ,  y }  e.  ran  E  ->  ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E ) ) )
6766impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ph  /\  x  e.  D )  ->  ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E ) ) )
6867com12 31 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E
)  ->  ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E ) ) )
6948, 68impbid 191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  {
y ,  Y } }  C_  ran  E )  <-> 
( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E
) ) )
7069eubidv 2290 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( E! y ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E )  <->  E! y
( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E
) ) )
7170biimpd 207 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( E! y ( y  e.  V  /\  { {
x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_  ran  E )  ->  E! y ( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E ) ) )
72 df-reu 2800 . . 3  |-  ( E! y  e.  V  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E  <->  E! y ( y  e.  V  /\  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E ) )
73 df-reu 2800 . . 3  |-  ( E! y  e.  N  {
x ,  y }  e.  ran  E  <->  E! y
( y  e.  N  /\  { x ,  y }  e.  ran  E
) )
7471, 72, 733imtr4g 270 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( E! y  e.  V  { { x ,  y } ,  { y ,  Y } }  C_ 
ran  E  ->  E! y  e.  N  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
7529, 74mpd 15 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  E! y  e.  N  {
x ,  y }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   E!weu 2268    =/= wne 2638    e/ wnel 2639   E!wreu 2795    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4014   {cpr 4016   <.cop 4020   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ran crn 4990   iota_crio 6241  (class class class)co 6281   USGrph cusg 24202   Neighbors cnbgra 24289   FriendGrph cfrgra 24860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-hash 12385  df-usgra 24205  df-nbgra 24292  df-frgra 24861
This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlem4  24905  frgrancvvdeqlem5  24906
  Copyright terms: Public domain W3C validator