Theorem frgrancvvdeqlem3 25760

Description: Lemma 3 for frgrancvvdeq 25770. In a friendship graph, for each neighbor of a vertex there is exacly one neighbor of another vertex so that there is an edge between these two neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrancvvdeq.nx	|- D = ( <. V , E >. Neighbors X )
frgrancvvdeq.ny	|- N = ( <. V , E >. Neighbors Y )
frgrancvvdeq.x	|- ( ph -> X e. V )
frgrancvvdeq.y	|- ( ph -> Y e. V )
frgrancvvdeq.ne	|- ( ph -> X =/= Y )
frgrancvvdeq.xy	|- ( ph -> Y e/ D )
frgrancvvdeq.f	|- ( ph -> V FriendGrph E )
frgrancvvdeq.a	|- A = ( x e. D |-> ( iota_ y e. N { x , y } e. ran E ) )

Assertion

Ref	Expression
frgrancvvdeqlem3	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> E! y e. N { x , y } e. ran E )

Distinct variable groups:   y, D   x, y, V   x, E, y   y, Y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, y)   D( x)   N( x, y)   X( x, y)   Y( x)

Proof of Theorem frgrancvvdeqlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrancvvdeq.f	. . . 4 |- ( ph -> V FriendGrph E )
2	1	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> V FriendGrph E )
3		frgrancvvdeq.nx	. . . . . . 7 |- D = ( <. V , E >. Neighbors X )
4	3	eleq2i 2521	. . . . . 6 |- ( x e. D <-> x e. ( <. V , E >. Neighbors X ) )
5		frisusgra 25720	. . . . . . 7 |- ( V FriendGrph E -> V USGrph E )
6		nbgraisvtx 25159	. . . . . . 7 |- ( V USGrph E -> ( x e. ( <. V , E >. Neighbors X ) -> x e. V ) )
7	1, 5, 6	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( <. V , E >. Neighbors X ) -> x e. V ) )
8	4, 7	syl5bi 221	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. D -> x e. V ) )
9	8	imp 431	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x e. V )
10		frgrancvvdeq.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
11	10	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> Y e. V )
12		frgrancvvdeq.ny	. . . . . 6 |- N = ( <. V , E >. Neighbors Y )
13		frgrancvvdeq.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
14		frgrancvvdeq.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> X =/= Y )
15		frgrancvvdeq.xy	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e/ D )
16		frgrancvvdeq.a	. . . . . 6 |- A = ( x e. D |-> ( iota_ y e. N { x , y } e. ran E ) )
17	3, 12, 13, 10, 14, 15, 1, 16	frgrancvvdeqlem1 25758	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> Y e. ( V \ { x } ) )
18		eldif 3414	. . . . . 6 |- ( Y e. ( V \ { x } ) <-> ( Y e. V /\ -. Y e. { x } ) )
19		ssnid 3997	. . . . . . . . 9 |- x e. { x }
20		eleq1 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( Y = x -> ( Y e. { x } <-> x e. { x } ) )
21	20	eqcoms 2459	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( Y e. { x } <-> x e. { x } ) )
22	19, 21	mpbiri 237	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> Y e. { x } )
23	22	necon3bi 2650	. . . . . . 7 |- ( -. Y e. { x } -> x =/= Y )
24	23	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( Y e. V /\ -. Y e. { x } ) -> x =/= Y )
25	18, 24	sylbi 199	. . . . 5 |- ( Y e. ( V \ { x } ) -> x =/= Y )
26	17, 25	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x =/= Y )
27	9, 11, 26	3jca 1188	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x e. V /\ Y e. V /\ x =/= Y ) )
28		frgraunss 25723	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> ( ( x e. V /\ Y e. V /\ x =/= Y ) -> E! y e. V { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) )
29	2, 27, 28	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E! y e. V { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E )
30		prex 4642	. . . . . . . . . . . 12 |- { x , y } e. _V
31		prex 4642	. . . . . . . . . . . 12 |- { y , Y } e. _V
32	30, 31	prss 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { x , y } e. ran E /\ { y , Y } e. ran E ) <-> { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E )
33		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { x , y } e. ran E /\ { y , Y } e. ran E ) -> { y , Y } e. ran E )
34	32, 33	sylbir 217	. . . . . . . . . 10 |- ( { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E -> { y , Y } e. ran E )
35	34	ad2antll 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) ) -> { y , Y } e. ran E )
36	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N = ( <. V , E >. Neighbors Y ) )
37	36	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. N <-> y e. ( <. V , E >. Neighbors Y ) ) )
38		nbgraeledg 25158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V USGrph E -> ( y e. ( <. V , E >. Neighbors Y ) <-> { y , Y } e. ran E ) )
39	1, 5, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ( <. V , E >. Neighbors Y ) <-> { y , Y } e. ran E ) )
40	37, 39	bitrd 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. N <-> { y , Y } e. ran E ) )
41	40	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( y e. N <-> { y , Y } e. ran E ) )
42	41	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) ) -> ( y e. N <-> { y , Y } e. ran E ) )
43	35, 42	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) ) -> y e. N )
44		simpl 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { x , y } e. ran E /\ { y , Y } e. ran E ) -> { x , y } e. ran E )
45	32, 44	sylbir 217	. . . . . . . . 9 |- ( { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E -> { x , y } e. ran E )
46	45	ad2antll 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) ) -> { x , y } e. ran E )
47	43, 46	jca 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) ) -> ( y e. N /\ { x , y } e. ran E ) )
48	47	ex 436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) -> ( y e. N /\ { x , y } e. ran E ) ) )
49	12	eleq2i 2521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N <-> y e. ( <. V , E >. Neighbors Y ) )
50	49, 39	syl5bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. N <-> { y , Y } e. ran E ) )
51	50	biimpd 211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. N -> { y , Y } e. ran E ) )
52	51	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( y e. N -> { y , Y } e. ran E ) )
53	52	impcom 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. N /\ ( ph /\ x e. D ) ) -> { y , Y } e. ran E )
54		nbgraisvtx 25159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( V USGrph E -> ( y e. ( <. V , E >. Neighbors Y ) -> y e. V ) )
55	1, 5, 54	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. ( <. V , E >. Neighbors Y ) -> y e. V ) )
56	49, 55	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. N -> y e. V ) )
57	56	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( y e. N -> y e. V ) )
58	57	impcom 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N /\ ( ph /\ x e. D ) ) -> y e. V )
59	58	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( { y , Y } e. ran E /\ ( y e. N /\ ( ph /\ x e. D ) ) ) /\ { x , y } e. ran E ) -> y e. V )
60		simpl 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { y , Y } e. ran E /\ ( y e. N /\ ( ph /\ x e. D ) ) ) -> { y , Y } e. ran E )
61		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { x , y } e. ran E -> { x , y } e. ran E )
62	60, 61	anim12ci 571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( { y , Y } e. ran E /\ ( y e. N /\ ( ph /\ x e. D ) ) ) /\ { x , y } e. ran E ) -> ( { x , y } e. ran E /\ { y , Y } e. ran E ) )
63	62, 32	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( { y , Y } e. ran E /\ ( y e. N /\ ( ph /\ x e. D ) ) ) /\ { x , y } e. ran E ) -> { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E )
64	59, 63	jca 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( { y , Y } e. ran E /\ ( y e. N /\ ( ph /\ x e. D ) ) ) /\ { x , y } e. ran E ) -> ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) )
65	64	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y , Y } e. ran E /\ ( y e. N /\ ( ph /\ x e. D ) ) ) -> ( { x , y } e. ran E -> ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) ) )
66	53, 65	mpancom 675	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N /\ ( ph /\ x e. D ) ) -> ( { x , y } e. ran E -> ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) ) )
67	66	impancom 442	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N /\ { x , y } e. ran E ) -> ( ( ph /\ x e. D ) -> ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) ) )
68	67	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( y e. N /\ { x , y } e. ran E ) -> ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) ) )
69	48, 68	impbid 194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) <-> ( y e. N /\ { x , y } e. ran E ) ) )
70	69	eubidv 2319	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( E! y ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) <-> E! y ( y e. N /\ { x , y } e. ran E ) ) )
71	70	biimpd 211	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( E! y ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) -> E! y ( y e. N /\ { x , y } e. ran E ) ) )
72		df-reu 2744	. . 3 |- ( E! y e. V { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E <-> E! y ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E ) )
73		df-reu 2744	. . 3 |- ( E! y e. N { x , y } e. ran E <-> E! y ( y e. N /\ { x , y } e. ran E ) )
74	71, 72, 73	3imtr4g 274	. 2 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( E! y e. V { { x , y } , { y , Y } } C_ ran E -> E! y e. N { x , y } e. ran E ) )
75	29, 74	mpd 15	1 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E! y e. N { x , y } e. ran E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   E!weu 2299   =/= wne 2622   e/ wnel 2623   E!wreu 2739   \ cdif 3401   C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   <.cop 3974   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ran crn 4835   iota_crio 6251  (class class class)co 6290   USGrph cusg 25057   Neighbors cnbgra 25145   FriendGrph cfrgra 25716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-usgra 25060  df-nbgra 25148  df-frgra 25717

This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlem4  25761  frgrancvvdeqlem5  25762