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Theorem frgranbnb 30609
Description: If two neighbors of a specific vertex have a common neighbor in a friendship graph, then this common neighbor must be the specific vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgranbnb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
frgranbnb.nx  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
frgranbnb.f  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
Assertion
Ref Expression
frgranbnb  |-  ( (
ph  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  /\  U  =/=  W )  ->  (
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X ) )

Proof of Theorem frgranbnb
StepHypRef Expression
1 frgranbnb.f . . . 4  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
2 frisusgra 30581 . . . 4  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  V USGrph  E )
4 frgranbnb.nx . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
54eleq2i 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  D  <->  U  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X ) )
6 nbgraeledg 23339 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  <->  { U ,  X }  e.  ran  E ) )
76biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  ->  { U ,  X }  e.  ran  E ) )
85, 7syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  D  ->  { U ,  X }  e.  ran  E ) )
94eleq2i 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  D  <->  W  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X ) )
10 nbgraeledg 23339 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( W  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  <->  { W ,  X }  e.  ran  E ) )
1110biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( W  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  ->  { W ,  X }  e.  ran  E ) )
129, 11syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( W  e.  D  ->  { W ,  X }  e.  ran  E ) )
138, 12anim12d 563 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  ->  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) ) )
1413imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )
)  ->  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )
15 nbgraisvtx 23340 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  ->  U  e.  V ) )
165, 15syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  D  ->  U  e.  V ) )
17 nbgraisvtx 23340 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( W  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  ->  W  e.  V ) )
189, 17syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( W  e.  D  ->  W  e.  V ) )
1916, 18anim12d 563 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  ->  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )
2019imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )
)  ->  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )
21 usgraedgrnv 23294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { U ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( U  e.  V  /\  A  e.  V ) )
2221adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( U  e.  V  /\  A  e.  V ) )
23 frgranbnb.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
24 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  =  X  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) )
2524a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  =  X  ->  (
( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) )
2625a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  =  X  ->  (
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) )
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  =  X  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) ) )
2827a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  =  X  ->  ( U  =/=  W  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
29 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  V USGrph  E )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  V USGrph  E )
31 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  W  e.  V
)
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  W  e.  V )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  U  e.  V )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )  ->  U  e.  V )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  U  e.  V
)
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  U  e.  V )
37 necom 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( U  =/=  W  <->  W  =/=  U )
3837biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( U  =/=  W  ->  W  =/=  U )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  W  =/=  U )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  W  =/=  U )
4132, 36, 403jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/=  U
) )
42 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  X  e.  V )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )  ->  X  e.  V )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  X  e.  V
)
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  X  e.  V )
46 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  A  e.  V
)
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  A  e.  V )
48 necom 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( A  =/=  X  <->  X  =/=  A )
4948biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( A  =/=  X  ->  X  =/=  A )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  X  =/=  A )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  X  =/=  A )
5245, 47, 513jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/=  A
) )
5330, 41, 523jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/=  U
)  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/= 
A ) ) )
5453ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  ( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/= 
U )  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/=  A ) ) ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  ( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/= 
U )  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/=  A ) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  (
( A  =/=  X  /\  U  =/=  W
)  ->  ( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/= 
U )  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/=  A ) ) ) )
5756imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/=  U
)  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/= 
A ) ) )
58 prcom 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  { U ,  X }  =  { X ,  U }
5958eleq1i 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( { U ,  X }  e.  ran  E  <->  { X ,  U }  e.  ran  E )
6059biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( { U ,  X }  e.  ran  E  ->  { X ,  U }  e.  ran  E )
6160anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  -> 
( { X ,  U }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )
6261ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  -> 
( { W ,  X }  e.  ran  E  /\  { X ,  U }  e.  ran  E ) )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( { W ,  X }  e.  ran  E  /\  { X ,  U }  e.  ran  E ) )
64 prcom 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  { W ,  A }  =  { A ,  W }
6564eleq1i 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( { W ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  W }  e.  ran  E )
6665biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( { W ,  A }  e.  ran  E  ->  { A ,  W }  e.  ran  E )
6766anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  W }  e.  ran  E ) )
6863, 67anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  (
( { W ,  X }  e.  ran  E  /\  { X ,  U }  e.  ran  E )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  W }  e.  ran  E ) ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( ( { W ,  X }  e.  ran  E  /\  { X ,  U }  e.  ran  E )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  W }  e.  ran  E ) ) )
70 4cyclusnfrgra 30608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/=  U )  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/=  A
) )  ->  (
( ( { W ,  X }  e.  ran  E  /\  { X ,  U }  e.  ran  E )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  W }  e.  ran  E ) )  ->  -.  V FriendGrph  E ) )
7157, 69, 70sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  -.  V FriendGrph  E )
7271pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) )
7372ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  (
( A  =/=  X  /\  U  =/=  W
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) )
7473com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  A  =  X ) ) )
7574exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V
) )  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  (
( A  =/=  X  /\  U  =/=  W
)  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
7675com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
772, 76mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  -> 
( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )  -> 
( ( A  =/= 
X  /\  U  =/=  W )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
7877com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  -> 
( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) ) )
7978ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  =/=  X  ->  ( U  =/=  W  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
8028, 79pm2.61ine 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( U  =/=  W  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) ) )
8180imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) )
8281com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )  -> 
( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X )
) ) )
8382ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  (
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X )
) ) ) )
8483com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
8584ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( U  =/= 
W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
8685com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A  e.  V  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( U  =/= 
W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
8723, 1, 86sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
8887com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( A  e.  V  ->  ( ph  ->  (
( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  (
( U  e.  V  /\  W  e.  V
)  ->  A  =  X ) ) ) ) )
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A  e.  V  ->  ( ph  ->  ( ( U  =/= 
W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
9089com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ph  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  (
( U  e.  V  /\  W  e.  V
)  ->  A  =  X ) ) ) ) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ph  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
9222, 91mpcom 36 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ph  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  (
( U  e.  V  /\  W  e.  V
)  ->  A  =  X ) ) ) )
9392ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ph  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
9493com25 91 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  ( ph  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) )
9594com14 88 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  ( ph  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
9695ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( U  =/=  W  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  ( ph  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) ) )
9796com15 93 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  -> 
( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  ( ph  ->  ( U  =/= 
W  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) ) )
9897adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )
)  ->  ( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  -> 
( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  ( ph  ->  ( U  =/= 
W  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) ) )
9914, 20, 98mp2d 45 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )
)  ->  ( ph  ->  ( U  =/=  W  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X ) ) ) )
10099ex 434 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  ->  ( ph  ->  ( U  =/= 
W  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) )
101100com23 78 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ph  ->  ( ( U  e.  D  /\  W  e.  D
)  ->  ( U  =/=  W  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) )
1023, 101mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  ->  ( U  =/=  W  ->  (
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X ) ) ) )
1031023imp 1181 1  |-  ( (
ph  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  /\  U  =/=  W )  ->  (
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   {cpr 3877   <.cop 3881   class class class wbr 4290   ran crn 4839  (class class class)co 6089   USGrph cusg 23262   Neighbors cnbgra 23327   FriendGrph cfrgra 30577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-hash 12102  df-usgra 23264  df-nbgra 23330  df-frgra 30578
This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlemB  30628
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