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Theorem frgranbnb 25601
 Description: If two neighbors of a specific vertex have a common neighbor in a friendship graph, then this common neighbor must be the specific vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgranbnb.x
frgranbnb.nx Neighbors
frgranbnb.f FriendGrph
Assertion
Ref Expression
frgranbnb

Proof of Theorem frgranbnb
StepHypRef Expression
1 frgranbnb.f . . . 4 FriendGrph
2 frisusgra 25573 . . . 4 FriendGrph USGrph
31, 2syl 17 . . 3 USGrph
4 frgranbnb.nx . . . . . . . . . 10 Neighbors
54eleq2i 2507 . . . . . . . . 9 Neighbors
6 nbgraeledg 25011 . . . . . . . . . 10 USGrph Neighbors
76biimpd 210 . . . . . . . . 9 USGrph Neighbors
85, 7syl5bi 220 . . . . . . . 8 USGrph
94eleq2i 2507 . . . . . . . . 9 Neighbors
10 nbgraeledg 25011 . . . . . . . . . 10 USGrph Neighbors
1110biimpd 210 . . . . . . . . 9 USGrph Neighbors
129, 11syl5bi 220 . . . . . . . 8 USGrph
138, 12anim12d 565 . . . . . . 7 USGrph
1413imp 430 . . . . . 6 USGrph
15 nbgraisvtx 25012 . . . . . . . . 9 USGrph Neighbors
165, 15syl5bi 220 . . . . . . . 8 USGrph
17 nbgraisvtx 25012 . . . . . . . . 9 USGrph Neighbors
189, 17syl5bi 220 . . . . . . . 8 USGrph
1916, 18anim12d 565 . . . . . . 7 USGrph
2019imp 430 . . . . . 6 USGrph
21 usgraedgrnv 24958 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
2221adantrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
23 frgranbnb.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 FriendGrph
25242a1d 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 FriendGrph
26252a1d 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 FriendGrph
27 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph USGrph
2827adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 USGrph USGrph
29 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 USGrph
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
31 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3231adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3332adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 USGrph
3433adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
35 necom 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3635biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3736adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3837adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
3930, 34, 383jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 USGrph
40 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4241adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 USGrph
4342adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
44 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 USGrph
4544adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
46 necom 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4746biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4847adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4948adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
5043, 45, 493jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 USGrph
5128, 39, 503jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 USGrph USGrph
5251ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 USGrph USGrph
5352adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 USGrph USGrph
5453adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 USGrph USGrph
5554imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 USGrph USGrph
56 prcom 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5756eleq1i 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5857biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5958anim1i 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6059ancomd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6160adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 USGrph
62 prcom 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6362eleq1i 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6463biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6564anim2i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6661, 65anim12i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 USGrph
6766adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 USGrph
68 4cyclusnfrgra 25600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 USGrph FriendGrph
6955, 67, 68sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 USGrph FriendGrph
7069pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 USGrph FriendGrph
7170ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 USGrph FriendGrph
7271com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 USGrph FriendGrph
7372exp41 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 USGrph FriendGrph
7473com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 USGrph FriendGrph
752, 74mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 FriendGrph
7675com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 FriendGrph
7776ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 FriendGrph
7826, 77pm2.61ine 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 FriendGrph
7978imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 FriendGrph
8079com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 FriendGrph
8180ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 FriendGrph
8281com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 FriendGrph
8382ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph
8483com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
8523, 1, 84sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
8887com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
8988adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
9022, 89mpcom 37 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
9190ex 435 . . . . . . . . . . 11 USGrph
9291com25 94 . . . . . . . . . 10 USGrph
9392com14 91 . . . . . . . . 9 USGrph
9493ex 435 . . . . . . . 8 USGrph
9594com15 96 . . . . . . 7 USGrph
9695adantr 466 . . . . . 6 USGrph
9714, 20, 96mp2d 46 . . . . 5 USGrph
9897ex 435 . . . 4 USGrph
9998com23 81 . . 3 USGrph
1003, 99mpcom 37 . 2
1011003imp 1199 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  cpr 4004  cop 4008   class class class wbr 4426   crn 4855  (class class class)co 6305   USGrph cusg 24911   Neighbors cnbgra 24998   FriendGrph cfrgra 25569 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-hash 12513  df-usgra 24914  df-nbgra 25001  df-frgra 25570 This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlemB  25619
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