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Theorem frgranbnb 24724
Description: If two neighbors of a specific vertex have a common neighbor in a friendship graph, then this common neighbor must be the specific vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgranbnb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
frgranbnb.nx  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
frgranbnb.f  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
Assertion
Ref Expression
frgranbnb  |-  ( (
ph  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  /\  U  =/=  W )  ->  (
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X ) )

Proof of Theorem frgranbnb
StepHypRef Expression
1 frgranbnb.f . . . 4  |-  ( ph  ->  V FriendGrph  E )
2 frisusgra 24696 . . . 4  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  V USGrph  E )
4 frgranbnb.nx . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )
54eleq2i 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  D  <->  U  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X ) )
6 nbgraeledg 24134 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  <->  { U ,  X }  e.  ran  E ) )
76biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  ->  { U ,  X }  e.  ran  E ) )
85, 7syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  D  ->  { U ,  X }  e.  ran  E ) )
94eleq2i 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  D  <->  W  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X ) )
10 nbgraeledg 24134 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( W  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  <->  { W ,  X }  e.  ran  E ) )
1110biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( W  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  ->  { W ,  X }  e.  ran  E ) )
129, 11syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( W  e.  D  ->  { W ,  X }  e.  ran  E ) )
138, 12anim12d 563 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  ->  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) ) )
1413imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )
)  ->  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )
15 nbgraisvtx 24135 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  ->  U  e.  V ) )
165, 15syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  D  ->  U  e.  V ) )
17 nbgraisvtx 24135 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( W  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  X )  ->  W  e.  V ) )
189, 17syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( W  e.  D  ->  W  e.  V ) )
1916, 18anim12d 563 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  ->  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )
2019imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )
)  ->  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )
21 usgraedgrnv 24081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { U ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( U  e.  V  /\  A  e.  V ) )
2221adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( U  e.  V  /\  A  e.  V ) )
23 frgranbnb.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
24 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  =  X  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) )
2524a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  =  X  ->  (
( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) )
2625a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  =  X  ->  (
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) )
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  =  X  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) ) )
2827a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  =  X  ->  ( U  =/=  W  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
29 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  V USGrph  E )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  V USGrph  E )
31 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  W  e.  V
)
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  W  e.  V )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  U  e.  V )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )  ->  U  e.  V )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  U  e.  V
)
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  U  e.  V )
37 necom 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( U  =/=  W  <->  W  =/=  U )
3837biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( U  =/=  W  ->  W  =/=  U )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  W  =/=  U )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  W  =/=  U )
4132, 36, 403jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/=  U
) )
42 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  X  e.  V )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )  ->  X  e.  V )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  X  e.  V
)
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  X  e.  V )
46 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  A  e.  V
)
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  A  e.  V )
48 necom 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( A  =/=  X  <->  X  =/=  A )
4948biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( A  =/=  X  ->  X  =/=  A )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  X  =/=  A )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  X  =/=  A )
5245, 47, 513jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/=  A
) )
5330, 41, 523jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/=  U
)  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/= 
A ) ) )
5453ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) ) )  ->  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  ( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/= 
U )  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/=  A ) ) ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  ( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/= 
U )  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/=  A ) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  (
( A  =/=  X  /\  U  =/=  W
)  ->  ( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/= 
U )  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/=  A ) ) ) )
5756imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/=  U
)  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/= 
A ) ) )
58 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  { U ,  X }  =  { X ,  U }
5958eleq1i 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( { U ,  X }  e.  ran  E  <->  { X ,  U }  e.  ran  E )
6059biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( { U ,  X }  e.  ran  E  ->  { X ,  U }  e.  ran  E )
6160anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  -> 
( { X ,  U }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )
6261ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  -> 
( { W ,  X }  e.  ran  E  /\  { X ,  U }  e.  ran  E ) )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( { W ,  X }  e.  ran  E  /\  { X ,  U }  e.  ran  E ) )
64 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  { W ,  A }  =  { A ,  W }
6564eleq1i 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( { W ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  W }  e.  ran  E )
6665biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( { W ,  A }  e.  ran  E  ->  { A ,  W }  e.  ran  E )
6766anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  W }  e.  ran  E ) )
6863, 67anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  (
( { W ,  X }  e.  ran  E  /\  { X ,  U }  e.  ran  E )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  W }  e.  ran  E ) ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( ( { W ,  X }  e.  ran  E  /\  { X ,  U }  e.  ran  E )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  W }  e.  ran  E ) ) )
70 4cyclusnfrgra 24723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( W  e.  V  /\  U  e.  V  /\  W  =/=  U )  /\  ( X  e.  V  /\  A  e.  V  /\  X  =/=  A
) )  ->  (
( ( { W ,  X }  e.  ran  E  /\  { X ,  U }  e.  ran  E )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  W }  e.  ran  E ) )  ->  -.  V FriendGrph  E ) )
7157, 69, 70sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  ->  -.  V FriendGrph  E )
7271pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) )
7372ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  (
( A  =/=  X  /\  U  =/=  W
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) )
7473com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
) )  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  A  =  X ) ) )
7574exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V
) )  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  (
( A  =/=  X  /\  U  =/=  W
)  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
7675com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
772, 76mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  -> 
( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( (
( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )  -> 
( ( A  =/= 
X  /\  U  =/=  W )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
7877com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  =/=  X  /\  U  =/=  W )  -> 
( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) ) )
7978ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  =/=  X  ->  ( U  =/=  W  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
8028, 79pm2.61ine 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( U  =/=  W  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) ) )
8180imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X ) ) ) )
8281com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( U  e.  V  /\  W  e.  V ) )  -> 
( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X )
) ) )
8382ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  (
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  A  =  X )
) ) ) )
8483com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
8584ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( U  =/= 
W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
8685com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A  e.  V  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( U  =/= 
W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) ) )
8723, 1, 86sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
8887com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( A  e.  V  ->  ( ph  ->  (
( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  (
( U  e.  V  /\  W  e.  V
)  ->  A  =  X ) ) ) ) )
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A  e.  V  ->  ( ph  ->  ( ( U  =/= 
W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
9089com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ph  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  (
( U  e.  V  /\  W  e.  V
)  ->  A  =  X ) ) ) ) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ph  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
9222, 91mpcom 36 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ph  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  (
( U  e.  V  /\  W  e.  V
)  ->  A  =  X ) ) ) )
9392ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ph  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
9493com25 91 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  ( ph  ->  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) )
9594com14 88 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  =/=  W  /\  ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  ( ph  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X ) ) ) ) )
9695ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( U  =/=  W  ->  (
( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  ->  ( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  ( ph  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) ) )
9796com15 93 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  -> 
( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  ( ph  ->  ( U  =/= 
W  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) ) )
9897adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )
)  ->  ( ( { U ,  X }  e.  ran  E  /\  { W ,  X }  e.  ran  E )  -> 
( ( U  e.  V  /\  W  e.  V )  ->  ( ph  ->  ( U  =/= 
W  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) ) )
9914, 20, 98mp2d 45 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )
)  ->  ( ph  ->  ( U  =/=  W  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X ) ) ) )
10099ex 434 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  ->  ( ph  ->  ( U  =/= 
W  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) )
101100com23 78 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ph  ->  ( ( U  e.  D  /\  W  e.  D
)  ->  ( U  =/=  W  ->  ( ( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X )
) ) ) )
1023, 101mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  ->  ( U  =/=  W  ->  (
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X ) ) ) )
1031023imp 1190 1  |-  ( (
ph  /\  ( U  e.  D  /\  W  e.  D )  /\  U  =/=  W )  ->  (
( { U ,  A }  e.  ran  E  /\  { W ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ran crn 5000  (class class class)co 6284   USGrph cusg 24034   Neighbors cnbgra 24121   FriendGrph cfrgra 24692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-usgra 24037  df-nbgra 24124  df-frgra 24693
This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlemB  24743
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