MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgra3v Structured version   Unicode version

Theorem frgra3v 25128
Description: Any graph with three vertices which are completely connected with each other is a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
frgra3v  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )

Proof of Theorem frgra3v
Dummy variables  k 
l  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 24464 . . . . . 6  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C }  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
2 isfrgra 25116 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B ,  C } USGrph  E  /\  A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  /\  A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B ,  C } USGrph  E  /\  A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
5 ibar 504 . . . . 5  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  /\  A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
65adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
( { A ,  B ,  C } USGrph  E  /\  A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
74, 6bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
8 sneq 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
98difeq2d 3618 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) )
10 preq2 4112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  { x ,  k }  =  { x ,  A } )
1110preq1d 4117 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  A  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }
)
1211sseq1d 3526 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
1312reubidv 3042 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
149, 13raleqbidv 3068 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
15 sneq 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  B  ->  { k }  =  { B } )
1615difeq2d 3618 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) )
17 preq2 4112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  B  ->  { x ,  k }  =  { x ,  B } )
1817preq1d 4117 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  B  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }
)
1918sseq1d 3526 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  B  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
2019reubidv 3042 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
2116, 20raleqbidv 3068 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
22 sneq 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  C  ->  { k }  =  { C } )
2322difeq2d 3618 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) )
24 preq2 4112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  C  ->  { x ,  k }  =  { x ,  C } )
2524preq1d 4117 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  C  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  C } ,  { x ,  l } }
)
2625sseq1d 3526 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  C  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
2726reubidv 3042 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
2823, 27raleqbidv 3068 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
2914, 21, 28raltpg 4083 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
3029adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
3130adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
32 tprot 4127 . . . . . . . . . . 11  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A }
3332a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A } )
3433difeq1d 3617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  ( { B ,  C ,  A }  \  { A } ) )
35 necom 2726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
3635biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  B  ->  B  =/=  A )
37 necom 2726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
3837biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  C  ->  C  =/=  A )
3936, 38anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( B  =/=  A  /\  C  =/=  A
) )
40393adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  =/=  A  /\  C  =/=  A ) )
41 diftpsn3 4170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  =/=  A  /\  C  =/=  A )  -> 
( { B ,  C ,  A }  \  { A } )  =  { B ,  C } )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { B ,  C ,  A }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
4334, 42eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
4443raleqdv 3060 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  { B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
45 tprot 4127 . . . . . . . . . . . 12  |-  { C ,  A ,  B }  =  { A ,  B ,  C }
4645eqcomi 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  { A ,  B ,  C }  =  { C ,  A ,  B }
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  { A ,  B ,  C }  =  { C ,  A ,  B } )
4847difeq1d 3617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  ( { C ,  A ,  B }  \  { B } ) )
49 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  B  ->  A  =/=  B )
50 necom 2726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =/=  C  <->  C  =/=  B )
5150biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =/=  C  ->  C  =/=  B )
5249, 51anim12ci 567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  -> 
( C  =/=  B  /\  A  =/=  B
) )
53523adant2 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( C  =/=  B  /\  A  =/=  B ) )
54 diftpsn3 4170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  =/=  B  /\  A  =/=  B )  -> 
( { C ,  A ,  B }  \  { B } )  =  { C ,  A } )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { C ,  A ,  B }  \  { B } )  =  { C ,  A }
)
5648, 55eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  { C ,  A }
)
5756raleqdv 3060 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
58 diftpsn3 4170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B } )
59583adant1 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
6059raleqdv 3060 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  { A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
6144, 57, 603anbi123d 1299 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  (
( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
6261adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  (
( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
6362adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
64 preq2 4112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  B  ->  { x ,  l }  =  { x ,  B } )
6564preq2d 4118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  B  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  B } } )
6665sseq1d 3526 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  B  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
6766reubidv 3042 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
68 preq2 4112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  C  ->  { x ,  l }  =  { x ,  C } )
6968preq2d 4118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  C  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  C } } )
7069sseq1d 3526 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  C  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
7170reubidv 3042 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  C  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
7267, 71ralprg 4081 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E
) ) )
73723adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E
) ) )
7468preq2d 4118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  C  ->  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  C } } )
7574sseq1d 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  C  ->  ( { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
7675reubidv 3042 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  C  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
77 preq2 4112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  A  ->  { x ,  l }  =  { x ,  A } )
7877preq2d 4118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  A  ->  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  A } } )
7978sseq1d 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  A  ->  ( { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
8079reubidv 3042 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
8176, 80ralprg 4081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X )  ->  ( A. l  e. 
{ C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) ) )
8281ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. l  e. 
{ C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) ) )
83823adant2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. l  e. 
{ C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) ) )
8477preq2d 4118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  A  ->  { {
x ,  C } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  C } ,  { x ,  A } } )
8584sseq1d 3526 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  A  ->  ( { { x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  C } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
8685reubidv 3042 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
8764preq2d 4118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  B  ->  { {
x ,  C } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  C } ,  { x ,  B } } )
8887sseq1d 3526 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  B  ->  ( { { x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
8988reubidv 3042 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
9086, 89ralprg 4081 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) ) )
91903adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) ) )
9273, 83, 913anbi123d 1299 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( ( A. l  e.  { B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) ) ) )
9392adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  (
( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) ) ) )
9493adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( A. l  e.  { B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) ) ) )
9531, 63, 943bitrd 279 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) ) ) )
96 frgra3vlem2 25127 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) ) )
9796imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
98 3ancomb 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y )
)
99 3ancoma 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( A  =/=  C  /\  A  =/= 
B  /\  B  =/=  C ) )
100 biid 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  C  <->  A  =/=  C )
101 biid 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  B  <->  A  =/=  B )
102100, 101, 503anbi123i 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  <->  ( A  =/=  C  /\  A  =/= 
B  /\  C  =/=  B ) )
10399, 102bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( A  =/=  C  /\  A  =/= 
B  /\  C  =/=  B ) )
10498, 103anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  <->  ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y )  /\  ( A  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  C  =/=  B
) ) )
105 tpcomb 4129 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B ,  C }  =  { A ,  C ,  B }
106105breq1i 4463 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { A ,  C ,  B } USGrph  E )
107 reueq1 3056 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  { A ,  C ,  B }  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  C ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
108105, 107mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y )  /\  ( A  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  C  =/= 
B ) )  /\  { A ,  C ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  C ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E ) )
109 frgra3vlem2 25127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y
)  /\  ( A  =/=  C  /\  A  =/= 
B  /\  C  =/=  B ) )  ->  ( { A ,  C ,  B } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { A ,  C ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
110109imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y )  /\  ( A  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  C  =/= 
B ) )  /\  { A ,  C ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  C ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
111108, 110bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y )  /\  ( A  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  C  =/= 
B ) )  /\  { A ,  C ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
112104, 106, 111syl2anb 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
11397, 112anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
114 3anrot 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  <->  ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X )
)
115 3anrot 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  <->  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )
116 biid 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  C  <->  B  =/=  C )
117116, 35, 373anbi123i 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  <->  ( B  =/=  C  /\  B  =/= 
A  /\  C  =/=  A ) )
118115, 117bitr3i 251 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( B  =/=  C  /\  B  =/= 
A  /\  C  =/=  A ) )
119114, 118anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  <->  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  A  /\  C  =/=  A
) ) )
12032breq1i 4463 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { B ,  C ,  A } USGrph  E )
121 reueq1 3056 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A }  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { B ,  C ,  A }  { { x ,  B } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
12232, 121mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  A  /\  C  =/= 
A ) )  /\  { B ,  C ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { B ,  C ,  A }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E ) )
123 frgra3vlem2 25127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/= 
A  /\  C  =/=  A ) )  ->  ( { B ,  C ,  A } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { B ,  C ,  A }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
124123imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  A  /\  C  =/= 
A ) )  /\  { B ,  C ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ B ,  C ,  A }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) )
125122, 124bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  A  /\  C  =/= 
A ) )  /\  { B ,  C ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) )
126119, 120, 125syl2anb 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) )
127 3ancoma 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  <->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z )
)
128 3ancomb 982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C  /\  A  =/=  C ) )
12935, 116, 1003anbi123i 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C  /\  A  =/=  C )  <->  ( B  =/=  A  /\  B  =/= 
C  /\  A  =/=  C ) )
130128, 129bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( B  =/=  A  /\  B  =/= 
C  /\  A  =/=  C ) )
131127, 130anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  <->  ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z )  /\  ( B  =/=  A  /\  B  =/=  C  /\  A  =/=  C
) ) )
132 tpcoma 4128 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  A ,  C }
133132breq1i 4463 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
134 reueq1 3056 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  { B ,  A ,  C }  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { B ,  A ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
135132, 134mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z )  /\  ( B  =/=  A  /\  B  =/=  C  /\  A  =/= 
C ) )  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { B ,  A ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E ) )
136 frgra3vlem2 25127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z
)  /\  ( B  =/=  A  /\  B  =/= 
C  /\  A  =/=  C ) )  ->  ( { B ,  A ,  C } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { B ,  A ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
137136imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z )  /\  ( B  =/=  A  /\  B  =/=  C  /\  A  =/= 
C ) )  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ B ,  A ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
138135, 137bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z )  /\  ( B  =/=  A  /\  B  =/=  C  /\  A  =/= 
C ) )  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
139131, 133, 138syl2anb 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
140126, 139anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
141 3anrot 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y )  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )
)
142141biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
143 3anrot 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( A  =/=  C  /\  B  =/= 
C  /\  A  =/=  B ) )
14437, 50, 1013anbi123i 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C  /\  A  =/=  B )  <->  ( C  =/=  A  /\  C  =/= 
B  /\  A  =/=  B ) )
145143, 144bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( C  =/=  A  /\  C  =/= 
B  /\  A  =/=  B ) )
146145biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( C  =/=  A  /\  C  =/=  B  /\  A  =/= 
B ) )
147142, 146anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  (
( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( C  =/=  A  /\  C  =/= 
B  /\  A  =/=  B ) ) )
14846breq1i 4463 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { C ,  A ,  B } USGrph  E )
149148biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  { C ,  A ,  B } USGrph  E )
150 reueq1 3056 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  { C ,  A ,  B }  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { C ,  A ,  B }  { { x ,  C } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
15146, 150mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( C  =/=  A  /\  C  =/=  B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { C ,  A ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { C ,  A ,  B }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E ) )
152 frgra3vlem2 25127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( C  =/=  A  /\  C  =/= 
B  /\  A  =/=  B ) )  ->  ( { C ,  A ,  B } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { C ,  A ,  B }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
153152imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( C  =/=  A  /\  C  =/=  B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { C ,  A ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ C ,  A ,  B }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
154151, 153bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( C  =/=  A  /\  C  =/=  B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { C ,  A ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
155147, 149, 154syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
156 3anrev 984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  <->  ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X )
)
157156biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
15850, 37, 353anbi123i 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  =/=  C  /\  A  =/=  C  /\  A  =/=  B )  <->  ( C  =/=  B  /\  C  =/= 
A  /\  B  =/=  A ) )
159158biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =/=  C  /\  A  =/=  C  /\  A  =/=  B )  ->  ( C  =/=  B  /\  C  =/=  A  /\  B  =/= 
A ) )
1601593com13 1201 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( C  =/=  B  /\  C  =/=  A  /\  B  =/= 
A ) )
161157, 160anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  (
( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X
)  /\  ( C  =/=  B  /\  C  =/= 
A  /\  B  =/=  A ) ) )
162 tpcoma 4128 . . . . . . . . . 10  |-  { B ,  C ,  A }  =  { C ,  B ,  A }
16332, 162eqtri 2486 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  B ,  C }  =  { C ,  B ,  A }
164163breq1i 4463 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { C ,  B ,  A } USGrph  E )
165164biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  { C ,  B ,  A } USGrph  E )
166 reueq1 3056 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  { C ,  B ,  A }  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { C ,  B ,  A }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
167163, 166mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  ( C  =/=  B  /\  C  =/=  A  /\  B  =/= 
A ) )  /\  { C ,  B ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { C ,  B ,  A }  { { x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E ) )
168 frgra3vlem2 25127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X
)  /\  ( C  =/=  B  /\  C  =/= 
A  /\  B  =/=  A ) )  ->  ( { C ,  B ,  A } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { C ,  B ,  A }  { { x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) ) )
169168imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  ( C  =/=  B  /\  C  =/=  A  /\  B  =/= 
A ) )  /\  { C ,  B ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ C ,  B ,  A }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )
170167, 169bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  ( C  =/=  B  /\  C  =/=  A  /\  B  =/= 
A ) )  /\  { C ,  B ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )
171161, 165, 170syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )
172155, 171anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) ) )
173113, 140, 1723anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E
)  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
)  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) )  <->  ( (
( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) ) ) )
174 prcom 4110 . . . . . . . . . . 11  |-  { B ,  C }  =  { C ,  B }
175174eleq1i 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( { B ,  C }  e.  ran  E  <->  { C ,  B }  e.  ran  E )
176175anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) )
177176anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
178 anandir 829 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
179177, 178bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) )
180 prcom 4110 . . . . . . . . . . 11  |-  { C ,  A }  =  { A ,  C }
181180eleq1i 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E )
182181anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
183182anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) )
184 anandir 829 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) )
185183, 184bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
186 prcom 4110 . . . . . . . . . . 11  |-  { A ,  B }  =  { B ,  A }
187186eleq1i 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  <->  { B ,  A }  e.  ran  E )
188187anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) )
189188anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
190 anandir 829 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
191189, 190bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) )
192179, 185, 1913anbi123i 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
193 df-3an 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) )
194 3anrot 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
195 prcom 4110 . . . . . . . . . . 11  |-  { B ,  A }  =  { A ,  B }
196195eleq1i 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( { B ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  B }  e.  ran  E )
197 prcom 4110 . . . . . . . . . . 11  |-  { C ,  B }  =  { B ,  C }
198197eleq1i 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( { C ,  B }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E )
199 biid 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  <->  { C ,  A }  e.  ran  E )
200196, 198, 1993anbi123i 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
201194, 200bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
202193, 201bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
203 df-3an 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
204 biid 236 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  <->  { A ,  B }  e.  ran  E )
205 prcom 4110 . . . . . . . . . 10  |-  { A ,  C }  =  { C ,  A }
206205eleq1i 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  C }  e.  ran  E  <->  { C ,  A }  e.  ran  E )
207204, 198, 2063anbi123i 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
208203, 207bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
209 df-3an 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) )
210 3anrot 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )
211 3anrot 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
212 biid 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( { B ,  C }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E )
213196, 212, 2063anbi123i 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
214210, 211, 2133bitri 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
215209, 214bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
216202, 208, 2153anbi123i 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
217 df-3an 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
218 anabs1 808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
219 anidm 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
220217, 218, 2193bitri 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
221192, 216, 2203bitri 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
222221a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
223173, 222bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E
)  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
)  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
2247, 95, 2233bitrd 279 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
225224ex 434 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E!wreu 2809   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4032   {cpr 4034   {ctp 4036   class class class wbr 4456   ran crn 5009   USGrph cusg 24456   FriendGrph cfrgra 25114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12408  df-usgra 24459  df-frgra 25115
This theorem is referenced by:  3vfriswmgra  25131
  Copyright terms: Public domain W3C validator