Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgra3v Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frgra3v 25809
 Description: Any graph with three vertices which are completely connected with each other is a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
frgra3v USGrph FriendGrph

Proof of Theorem frgra3v
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 25144 . . . . . 6 USGrph
2 isfrgra 25797 . . . . . 6 FriendGrph USGrph
31, 2syl 17 . . . . 5 USGrph FriendGrph USGrph
43adantl 473 . . . 4 USGrph FriendGrph USGrph
5 ibar 512 . . . . 5 USGrph USGrph
65adantl 473 . . . 4 USGrph USGrph
74, 6bitr4d 264 . . 3 USGrph FriendGrph
8 sneq 3969 . . . . . . . . 9
98difeq2d 3540 . . . . . . . 8
10 preq2 4043 . . . . . . . . . . 11
1110preq1d 4048 . . . . . . . . . 10
1211sseq1d 3445 . . . . . . . . 9
1312reubidv 2961 . . . . . . . 8
149, 13raleqbidv 2987 . . . . . . 7
15 sneq 3969 . . . . . . . . 9
1615difeq2d 3540 . . . . . . . 8
17 preq2 4043 . . . . . . . . . . 11
1817preq1d 4048 . . . . . . . . . 10
1918sseq1d 3445 . . . . . . . . 9
2019reubidv 2961 . . . . . . . 8
2116, 20raleqbidv 2987 . . . . . . 7
22 sneq 3969 . . . . . . . . 9
2322difeq2d 3540 . . . . . . . 8
24 preq2 4043 . . . . . . . . . . 11
2524preq1d 4048 . . . . . . . . . 10
2625sseq1d 3445 . . . . . . . . 9
2726reubidv 2961 . . . . . . . 8
2823, 27raleqbidv 2987 . . . . . . 7
2914, 21, 28raltpg 4014 . . . . . 6
3029adantr 472 . . . . 5
3130adantr 472 . . . 4 USGrph
32 tprot 4058 . . . . . . . . . . 11
3332a1i 11 . . . . . . . . . 10
3433difeq1d 3539 . . . . . . . . 9
35 necom 2696 . . . . . . . . . . . . 13
3635biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12
37 necom 2696 . . . . . . . . . . . . 13
3837biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12
3936, 38anim12i 576 . . . . . . . . . . 11
40393adant3 1050 . . . . . . . . . 10
41 diftpsn3 4101 . . . . . . . . . 10
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9
4334, 42eqtrd 2505 . . . . . . . 8
4443raleqdv 2979 . . . . . . 7
45 tprot 4058 . . . . . . . . . . . 12
4645eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10
4847difeq1d 3539 . . . . . . . . 9
49 id 22 . . . . . . . . . . . 12
50 necom 2696 . . . . . . . . . . . . 13
5150biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12
5249, 51anim12ci 577 . . . . . . . . . . 11
53523adant2 1049 . . . . . . . . . 10
54 diftpsn3 4101 . . . . . . . . . 10
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9
5648, 55eqtrd 2505 . . . . . . . 8
5756raleqdv 2979 . . . . . . 7
58 diftpsn3 4101 . . . . . . . . 9
59583adant1 1048 . . . . . . . 8
6059raleqdv 2979 . . . . . . 7
6144, 57, 603anbi123d 1365 . . . . . 6
6261adantl 473 . . . . 5
6362adantr 472 . . . 4 USGrph
64 preq2 4043 . . . . . . . . . . . 12
6564preq2d 4049 . . . . . . . . . . 11
6665sseq1d 3445 . . . . . . . . . 10
6766reubidv 2961 . . . . . . . . 9
68 preq2 4043 . . . . . . . . . . . 12
6968preq2d 4049 . . . . . . . . . . 11
7069sseq1d 3445 . . . . . . . . . 10
7170reubidv 2961 . . . . . . . . 9
7267, 71ralprg 4012 . . . . . . . 8
73723adant1 1048 . . . . . . 7
7468preq2d 4049 . . . . . . . . . . . 12
7574sseq1d 3445 . . . . . . . . . . 11
7675reubidv 2961 . . . . . . . . . 10
77 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13
7877preq2d 4049 . . . . . . . . . . . 12
7978sseq1d 3445 . . . . . . . . . . 11
8079reubidv 2961 . . . . . . . . . 10
8176, 80ralprg 4012 . . . . . . . . 9
8281ancoms 460 . . . . . . . 8
83823adant2 1049 . . . . . . 7
8477preq2d 4049 . . . . . . . . . . 11
8584sseq1d 3445 . . . . . . . . . 10
8685reubidv 2961 . . . . . . . . 9
8764preq2d 4049 . . . . . . . . . . 11
8887sseq1d 3445 . . . . . . . . . 10
8988reubidv 2961 . . . . . . . . 9
9086, 89ralprg 4012 . . . . . . . 8
91903adant3 1050 . . . . . . 7
9273, 83, 913anbi123d 1365 . . . . . 6
9392adantr 472 . . . . 5
9493adantr 472 . . . 4 USGrph
9531, 63, 943bitrd 287 . . 3 USGrph
96 frgra3vlem2 25808 . . . . . . 7 USGrph
9796imp 436 . . . . . 6 USGrph
98 3ancomb 1016 . . . . . . . 8
99 3ancoma 1014 . . . . . . . . 9
100 biid 244 . . . . . . . . . 10
101 biid 244 . . . . . . . . . 10
102100, 101, 503anbi123i 1219 . . . . . . . . 9
10399, 102bitri 257 . . . . . . . 8
10498, 103anbi12i 711 . . . . . . 7
105 tpcomb 4060 . . . . . . . 8
106105breq1i 4402 . . . . . . 7 USGrph USGrph
107 reueq1 2975 . . . . . . . . 9
108105, 107mp1i 13 . . . . . . . 8 USGrph
109 frgra3vlem2 25808 . . . . . . . . 9 USGrph
110109imp 436 . . . . . . . 8 USGrph
111108, 110bitrd 261 . . . . . . 7 USGrph
112104, 106, 111syl2anb 487 . . . . . 6 USGrph
11397, 112anbi12d 725 . . . . 5 USGrph
114 3anrot 1012 . . . . . . . 8
115 3anrot 1012 . . . . . . . . 9
116 biid 244 . . . . . . . . . 10
117116, 35, 373anbi123i 1219 . . . . . . . . 9
118115, 117bitr3i 259 . . . . . . . 8
119114, 118anbi12i 711 . . . . . . 7
12032breq1i 4402 . . . . . . 7 USGrph USGrph
121 reueq1 2975 . . . . . . . . 9
12232, 121mp1i 13 . . . . . . . 8 USGrph
123 frgra3vlem2 25808 . . . . . . . . 9 USGrph
124123imp 436 . . . . . . . 8 USGrph
125122, 124bitrd 261 . . . . . . 7 USGrph
126119, 120, 125syl2anb 487 . . . . . 6 USGrph
127 3ancoma 1014 . . . . . . . 8
128 3ancomb 1016 . . . . . . . . 9
12935, 116, 1003anbi123i 1219 . . . . . . . . 9
130128, 129bitri 257 . . . . . . . 8
131127, 130anbi12i 711 . . . . . . 7
132 tpcoma 4059 . . . . . . . 8
133132breq1i 4402 . . . . . . 7 USGrph USGrph
134 reueq1 2975 . . . . . . . . 9
135132, 134mp1i 13 . . . . . . . 8 USGrph
136 frgra3vlem2 25808 . . . . . . . . 9 USGrph
137136imp 436 . . . . . . . 8 USGrph
138135, 137bitrd 261 . . . . . . 7 USGrph
139131, 133, 138syl2anb 487 . . . . . 6 USGrph
140126, 139anbi12d 725 . . . . 5 USGrph
141 3anrot 1012 . . . . . . . . 9
142141biimpri 211 . . . . . . . 8
143 3anrot 1012 . . . . . . . . . 10
14437, 50, 1013anbi123i 1219 . . . . . . . . . 10
145143, 144bitri 257 . . . . . . . . 9
146145biimpi 199 . . . . . . . 8
147142, 146anim12i 576 . . . . . . 7
14846breq1i 4402 . . . . . . . 8 USGrph USGrph
149148biimpi 199 . . . . . . 7 USGrph USGrph
150 reueq1 2975 . . . . . . . . 9
15146, 150mp1i 13 . . . . . . . 8 USGrph
152 frgra3vlem2 25808 . . . . . . . . 9 USGrph
153152imp 436 . . . . . . . 8 USGrph
154151, 153bitrd 261 . . . . . . 7 USGrph
155147, 149, 154syl2an 485 . . . . . 6 USGrph
156 3anrev 1018 . . . . . . . . 9
157156biimpi 199 . . . . . . . 8
15850, 37, 353anbi123i 1219 . . . . . . . . . 10
159158biimpi 199 . . . . . . . . 9
1601593com13 1236 . . . . . . . 8
161157, 160anim12i 576 . . . . . . 7
162 tpcoma 4059 . . . . . . . . . 10
16332, 162eqtri 2493 . . . . . . . . 9
164163breq1i 4402 . . . . . . . 8 USGrph USGrph
165164biimpi 199 . . . . . . 7 USGrph USGrph
166 reueq1 2975 . . . . . . . . 9
167163, 166mp1i 13 . . . . . . . 8 USGrph
168 frgra3vlem2 25808 . . . . . . . . 9 USGrph
169168imp 436 . . . . . . . 8 USGrph
170167, 169bitrd 261 . . . . . . 7 USGrph
171161, 165, 170syl2an 485 . . . . . 6 USGrph
172155, 171anbi12d 725 . . . . 5 USGrph
173113, 140, 1723anbi123d 1365 . . . 4 USGrph
174 prcom 4041 . . . . . . . . . . 11
175174eleq1i 2540 . . . . . . . . . 10
176175anbi2i 708 . . . . . . . . 9
177176anbi2i 708 . . . . . . . 8
178 anandir 845 . . . . . . . 8
179177, 178bitr4i 260 . . . . . . 7
180 prcom 4041 . . . . . . . . . . 11
181180eleq1i 2540 . . . . . . . . . 10
182181anbi2i 708 . . . . . . . . 9
183182anbi2i 708 . . . . . . . 8
184 anandir 845 . . . . . . . 8
185183, 184bitr4i 260 . . . . . . 7
186 prcom 4041 . . . . . . . . . . 11
187186eleq1i 2540 . . . . . . . . . 10
188187anbi2i 708 . . . . . . . . 9
189188anbi2i 708 . . . . . . . 8
190 anandir 845 . . . . . . . 8
191189, 190bitr4i 260 . . . . . . 7
192179, 185, 1913anbi123i 1219 . . . . . 6
193 df-3an 1009 . . . . . . . 8
194 3anrot 1012 . . . . . . . . 9
195 prcom 4041 . . . . . . . . . . 11
196195eleq1i 2540 . . . . . . . . . 10
197 prcom 4041 . . . . . . . . . . 11
198197eleq1i 2540 . . . . . . . . . 10
199 biid 244 . . . . . . . . . 10
200196, 198, 1993anbi123i 1219 . . . . . . . . 9
201194, 200bitri 257 . . . . . . . 8
202193, 201bitr3i 259 . . . . . . 7
203 df-3an 1009 . . . . . . . 8
204 biid 244 . . . . . . . . 9
205 prcom 4041 . . . . . . . . . 10
206205eleq1i 2540 . . . . . . . . 9
207204, 198, 2063anbi123i 1219 . . . . . . . 8
208203, 207bitr3i 259 . . . . . . 7
209 df-3an 1009 . . . . . . . 8
210 3anrot 1012 . . . . . . . . 9
211 3anrot 1012 . . . . . . . . 9
212 biid 244 . . . . . . . . . 10
213196, 212, 2063anbi123i 1219 . . . . . . . . 9
214210, 211, 2133bitri 279 . . . . . . . 8
215209, 214bitr3i 259 . . . . . . 7
216202, 208, 2153anbi123i 1219 . . . . . 6
217 df-3an 1009 . . . . . . 7
218 anabs1 825 . . . . . . 7
219 anidm 656 . . . . . . 7
220217, 218, 2193bitri 279 . . . . . 6
221192, 216, 2203bitri 279 . . . . 5
222221a1i 11 . . . 4 USGrph
223173, 222bitrd 261 . . 3 USGrph
2247, 95, 2233bitrd 287 . 2 USGrph FriendGrph
225224ex 441 1 USGrph FriendGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wreu 2758  cvv 3031   cdif 3387   wss 3390  csn 3959  cpr 3961  ctp 3963   class class class wbr 4395   crn 4840   USGrph cusg 25136   FriendGrph cfrgra 25795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-frgra 25796 This theorem is referenced by:  3vfriswmgra  25812
 Copyright terms: Public domain W3C validator