Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgra2v Structured version   Unicode version

Theorem frgra2v 30759
Description: Any graph with two (different) vertices is not a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgra2v  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )

Proof of Theorem frgra2v
Dummy variables  k 
l  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neirr 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  A  =/=  A
2 usgraedgrn 23472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { A ,  B } USGrph  E  /\  { A ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =/=  A )
32ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( { A ,  A }  e.  ran  E  ->  A  =/=  A
) )
41, 3mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  -.  { A ,  A }  e.  ran  E )
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { A ,  A }  e.  ran  E )
65intnanrd 908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { A ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) )
7 prex 4645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { A ,  A }  e.  _V
8 prex 4645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { A ,  B }  e.  _V
97, 8prss 4138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { A ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  <->  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E )
106, 9sylnib 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E
)
11 neirr 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  B  =/=  B
12 usgraedgrn 23472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { A ,  B } USGrph  E  /\  { B ,  B }  e.  ran  E )  ->  B  =/=  B )
1312ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( { B ,  B }  e.  ran  E  ->  B  =/=  B
) )
1411, 13mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  -.  { B ,  B }  e.  ran  E )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { B ,  B }  e.  ran  E )
1615intnand 907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  B }  e.  ran  E ) )
17 prex 4645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { B ,  A }  e.  _V
18 prex 4645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { B ,  B }  e.  _V
1917, 18prss 4138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  B }  e.  ran  E )  <->  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E )
2016, 19sylnib 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
)
21 ioran 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E )  <->  ( -.  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  /\  -.  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
) )
2210, 20, 21sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
) )
23 preq1 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  { x ,  A }  =  { A ,  A }
)
24 preq1 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  { x ,  B }  =  { A ,  B }
)
2523, 24preq12d 4073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  =  { { A ,  A } ,  { A ,  B } } )
2625sseq1d 3494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E ) )
27 preq1 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  { x ,  A }  =  { B ,  A }
)
28 preq1 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  { x ,  B }  =  { B ,  B }
)
2927, 28preq12d 4073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  =  { { B ,  A } ,  { B ,  B } } )
3029sseq1d 3494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E ) )
3126, 30rexprg 4037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( E. x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E ) ) )
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
) ) )
3322, 32mtbird 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  E. x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E )
34 reurex 3043 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  ->  E. x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E )
3533, 34nsyl 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
)
3635orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  \/  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
37 rexnal 2854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
3837bicomi 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } )  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E )
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
)  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
40 difprsn1 4121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A ,  B }  \  { A } )  =  { B }
)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  \  { A } )  =  { B }
)
4241rexeqdv 3030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  { B }  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
43 preq2 4066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  B  ->  { x ,  l }  =  { x ,  B } )
4443preq2d 4072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  B  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  B } } )
4544sseq1d 3494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  B  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
4645reubidv 3011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E ) )
4746notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  B  ->  ( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
4847rexsng 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Y  ->  ( E. l  e.  { B }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) )
4948ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  { B }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) )
5039, 42, 493bitrd 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
51 rexnal 2854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
5251bicomi 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } )  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E )
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
)  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
54 difprsn2 4122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A ,  B }  \  { B } )  =  { A }
)
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  \  { B } )  =  { A }
)
5655rexeqdv 3030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  { A }  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
57 preq2 4066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  A  ->  { x ,  l }  =  { x ,  A } )
5857preq2d 4072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  A  ->  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  A } } )
5958sseq1d 3494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  A  ->  ( { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6059reubidv 3011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6160notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  A  ->  ( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6261rexsng 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  X  ->  ( E. l  e.  { A }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) )
6362ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  { A }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) )
6453, 56, 633bitrd 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6550, 64orbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E  \/  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E ) ) )
6636, 65mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) )
67 sneq 3998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
6867difeq2d 3585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  ( { A ,  B }  \  { k } )  =  ( { A ,  B }  \  { A } ) )
69 preq2 4066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  { x ,  k }  =  { x ,  A } )
7069preq1d 4071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }
)
7170sseq1d 3494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  A  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
7271reubidv 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) )
7368, 72raleqbidv 3037 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  A  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
7473notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
75 sneq 3998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  B  ->  { k }  =  { B } )
7675difeq2d 3585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  B  ->  ( { A ,  B }  \  { k } )  =  ( { A ,  B }  \  { B } ) )
77 preq2 4066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  B  ->  { x ,  k }  =  { x ,  B } )
7877preq1d 4071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  B  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }
)
7978sseq1d 3494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  B  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
8079reubidv 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) )
8176, 80raleqbidv 3037 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  B  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
8281notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  B  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
8374, 82rexprg 4037 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( E. k  e. 
{ A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) ) )
8483ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. k  e.  { A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) ) )
8566, 84mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  E. k  e.  { A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
86 rexnal 2854 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  { A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
8785, 86sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
8887intnand 907 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { A ,  B } USGrph  E  /\  A. k  e. 
{ A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
89 usgrav 23442 . . . . . 6  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( { A ,  B }  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
9089adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
91 isfrgra 30750 . . . . 5  |-  ( ( { A ,  B }  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( { A ,  B } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B } USGrph  E  /\  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
9290, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B } USGrph  E  /\  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
9388, 92mtbird 301 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
9493expcom 435 . 2  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B
)  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E ) )
95 frisusgra 30752 . . . 4  |-  ( { A ,  B } FriendGrph  E  ->  { A ,  B } USGrph  E )
9695con3i 135 . . 3  |-  ( -. 
{ A ,  B } USGrph  E  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
9796a1d 25 . 2  |-  ( -. 
{ A ,  B } USGrph  E  ->  ( (
( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E ) )
9894, 97pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   E!wreu 2801   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    C_ wss 3439   {csn 3988   {cpr 3990   class class class wbr 4403   ran crn 4952   USGrph cusg 23436   FriendGrph cfrgra 30748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-hash 12224  df-usgra 23438  df-frgra 30749
This theorem is referenced by:  1to2vfriswmgra  30766  frgraregord013  30879
  Copyright terms: Public domain W3C validator