MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgra2v Structured version   Unicode version

Theorem frgra2v 25120
Description: Any graph with two (different) vertices is not a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgra2v  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )

Proof of Theorem frgra2v
Dummy variables  k 
l  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neirr 2586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  A  =/=  A
2 usgraedgrn 24502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { A ,  B } USGrph  E  /\  { A ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =/=  A )
32ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( { A ,  A }  e.  ran  E  ->  A  =/=  A
) )
41, 3mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  -.  { A ,  A }  e.  ran  E )
54adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { A ,  A }  e.  ran  E )
65intnanrd 915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { A ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) )
7 prex 4604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { A ,  A }  e.  _V
8 prex 4604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { A ,  B }  e.  _V
97, 8prss 4098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { A ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  <->  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E )
106, 9sylnib 302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E
)
11 neirr 2586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  B  =/=  B
12 usgraedgrn 24502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { A ,  B } USGrph  E  /\  { B ,  B }  e.  ran  E )  ->  B  =/=  B )
1312ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( { B ,  B }  e.  ran  E  ->  B  =/=  B
) )
1411, 13mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  -.  { B ,  B }  e.  ran  E )
1514adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { B ,  B }  e.  ran  E )
1615intnand 914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  B }  e.  ran  E ) )
17 prex 4604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { B ,  A }  e.  _V
18 prex 4604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { B ,  B }  e.  _V
1917, 18prss 4098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  B }  e.  ran  E )  <->  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E )
2016, 19sylnib 302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
)
21 ioran 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E )  <->  ( -.  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  /\  -.  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
) )
2210, 20, 21sylanbrc 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
) )
23 preq1 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  { x ,  A }  =  { A ,  A }
)
24 preq1 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  { x ,  B }  =  { A ,  B }
)
2523, 24preq12d 4031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  =  { { A ,  A } ,  { A ,  B } } )
2625sseq1d 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E ) )
27 preq1 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  { x ,  A }  =  { B ,  A }
)
28 preq1 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  { x ,  B }  =  { B ,  B }
)
2927, 28preq12d 4031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  =  { { B ,  A } ,  { B ,  B } } )
3029sseq1d 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E ) )
3126, 30rexprg 3994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( E. x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E ) ) )
3231ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
) ) )
3322, 32mtbird 299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  E. x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E )
34 reurex 2999 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  ->  E. x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E )
3533, 34nsyl 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
)
3635orcd 390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  \/  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
37 rexnal 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
3837bicomi 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } )  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E )
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
)  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
40 difprsn1 4080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A ,  B }  \  { A } )  =  { B }
)
4140ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  \  { A } )  =  { B }
)
4241rexeqdv 2986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  { B }  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
43 preq2 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  B  ->  { x ,  l }  =  { x ,  B } )
4443preq2d 4030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  B  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  B } } )
4544sseq1d 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  B  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
4645reubidv 2967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E ) )
4746notbid 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  B  ->  ( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
4847rexsng 3980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Y  ->  ( E. l  e.  { B }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) )
4948ad3antlr 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  { B }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) )
5039, 42, 493bitrd 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
51 rexnal 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
5251bicomi 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } )  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E )
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
)  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
54 difprsn2 4081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A ,  B }  \  { B } )  =  { A }
)
5554ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  \  { B } )  =  { A }
)
5655rexeqdv 2986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  { A }  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
57 preq2 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  A  ->  { x ,  l }  =  { x ,  A } )
5857preq2d 4030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  A  ->  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  A } } )
5958sseq1d 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  A  ->  ( { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6059reubidv 2967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6160notbid 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  A  ->  ( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6261rexsng 3980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  X  ->  ( E. l  e.  { A }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) )
6362ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  { A }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) )
6453, 56, 633bitrd 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6550, 64orbi12d 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E  \/  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E ) ) )
6636, 65mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) )
67 sneq 3954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
6867difeq2d 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  ( { A ,  B }  \  { k } )  =  ( { A ,  B }  \  { A } ) )
69 preq2 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  { x ,  k }  =  { x ,  A } )
7069preq1d 4029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }
)
7170sseq1d 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  A  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
7271reubidv 2967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) )
7368, 72raleqbidv 2993 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  A  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
7473notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
75 sneq 3954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  B  ->  { k }  =  { B } )
7675difeq2d 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  B  ->  ( { A ,  B }  \  { k } )  =  ( { A ,  B }  \  { B } ) )
77 preq2 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  B  ->  { x ,  k }  =  { x ,  B } )
7877preq1d 4029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  B  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }
)
7978sseq1d 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  B  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
8079reubidv 2967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) )
8176, 80raleqbidv 2993 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  B  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
8281notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  B  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
8374, 82rexprg 3994 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( E. k  e. 
{ A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) ) )
8483ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. k  e.  { A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) ) )
8566, 84mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  E. k  e.  { A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
86 rexnal 2830 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  { A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
8785, 86sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
8887intnand 914 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { A ,  B } USGrph  E  /\  A. k  e. 
{ A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
89 usgrav 24459 . . . . . 6  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( { A ,  B }  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
9089adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
91 isfrgra 25111 . . . . 5  |-  ( ( { A ,  B }  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( { A ,  B } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B } USGrph  E  /\  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
9290, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B } USGrph  E  /\  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
9388, 92mtbird 299 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
9493expcom 433 . 2  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B
)  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E ) )
95 frisusgra 25113 . . . 4  |-  ( { A ,  B } FriendGrph  E  ->  { A ,  B } USGrph  E )
9695con3i 135 . . 3  |-  ( -. 
{ A ,  B } USGrph  E  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
9796a1d 25 . 2  |-  ( -. 
{ A ,  B } USGrph  E  ->  ( (
( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E ) )
9894, 97pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   E!wreu 2734   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    C_ wss 3389   {csn 3944   {cpr 3946   class class class wbr 4367   ran crn 4914   USGrph cusg 24451   FriendGrph cfrgra 25109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-hash 12308  df-usgra 24454  df-frgra 25110
This theorem is referenced by:  1to2vfriswmgra  25127  frgraregord013  25239
  Copyright terms: Public domain W3C validator