Theorem frgra2v 25120

Description: Any graph with two (different) vertices is not a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
frgra2v	|- ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E )

Proof of Theorem frgra2v

Dummy variables k l x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. A =/= A
2		usgraedgrn 24502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { A , B } USGrph E /\ { A , A } e. ran E ) -> A =/= A )
3	2	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { A , A } e. ran E -> A =/= A ) )
4	1, 3	mtoi 178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { A , B } USGrph E -> -. { A , A } e. ran E )
5	4	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { A , A } e. ran E )
6	5	intnanrd 915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { A , A } e. ran E /\ { A , B } e. ran E ) )
7		prex 4604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , A } e. _V
8		prex 4604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , B } e. _V
9	7, 8	prss 4098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { A , A } e. ran E /\ { A , B } e. ran E ) <-> { { A , A } , { A , B } } C_ ran E )
10	6, 9	sylnib 302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { { A , A } , { A , B } } C_ ran E )
11		neirr 2586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. B =/= B
12		usgraedgrn 24502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { A , B } USGrph E /\ { B , B } e. ran E ) -> B =/= B )
13	12	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { B , B } e. ran E -> B =/= B ) )
14	11, 13	mtoi 178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { A , B } USGrph E -> -. { B , B } e. ran E )
15	14	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { B , B } e. ran E )
16	15	intnand 914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { B , A } e. ran E /\ { B , B } e. ran E ) )
17		prex 4604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , A } e. _V
18		prex 4604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , B } e. _V
19	17, 18	prss 4098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { B , A } e. ran E /\ { B , B } e. ran E ) <-> { { B , A } , { B , B } } C_ ran E )
20	16, 19	sylnib 302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { { B , A } , { B , B } } C_ ran E )
21		ioran 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) <-> ( -. { { A , A } , { A , B } } C_ ran E /\ -. { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
22	10, 20, 21	sylanbrc 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
23		preq1 4023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> { x , A } = { A , A } )
24		preq1 4023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> { x , B } = { A , B } )
25	23, 24	preq12d 4031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> { { x , A } , { x , B } } = { { A , A } , { A , B } } )
26	25	sseq1d 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> { { A , A } , { A , B } } C_ ran E ) )
27		preq1 4023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> { x , A } = { B , A } )
28		preq1 4023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> { x , B } = { B , B } )
29	27, 28	preq12d 4031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> { { x , A } , { x , B } } = { { B , A } , { B , B } } )
30	29	sseq1d 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
31	26, 30	rexprg 3994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) ) )
32	31	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) ) )
33	22, 32	mtbird 299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
34		reurex 2999	. . . . . . . . . 10 |- ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E -> E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
35	33, 34	nsyl 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
36	35	orcd 390	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
37		rexnal 2830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E )
38	37	bicomi 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
40		difprsn1 4080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
41	40	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
42	41	rexeqdv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
43		preq2 4024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = B -> { x , l } = { x , B } )
44	43	preq2d 4030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = B -> { { x , A } , { x , l } } = { { x , A } , { x , B } } )
45	44	sseq1d 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = B -> ( { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
46	45	reubidv 2967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
47	46	notbid 292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = B -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
48	47	rexsng 3980	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Y -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
49	48	ad3antlr 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
50	39, 42, 49	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
51		rexnal 2830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E )
52	51	bicomi 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E )
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
54		difprsn2 4081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
55	54	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
56	55	rexeqdv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
57		preq2 4024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = A -> { x , l } = { x , A } )
58	57	preq2d 4030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = A -> { { x , B } , { x , l } } = { { x , B } , { x , A } } )
59	58	sseq1d 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = A -> ( { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
60	59	reubidv 2967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
61	60	notbid 292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = A -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
62	61	rexsng 3980	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. X -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
63	62	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
64	53, 56, 63	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
65	50, 64	orbi12d 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) <-> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) ) )
66	36, 65	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
67		sneq 3954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> { k } = { A } )
68	67	difeq2d 3536	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { A } ) )
69		preq2 4024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = A -> { x , k } = { x , A } )
70	69	preq1d 4029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = A -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , A } , { x , l } } )
71	70	sseq1d 3444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
72	71	reubidv 2967	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
73	68, 72	raleqbidv 2993	. . . . . . . . . 10 |- ( k = A -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
74	73	notbid 292	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
75		sneq 3954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = B -> { k } = { B } )
76	75	difeq2d 3536	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = B -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { B } ) )
77		preq2 4024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = B -> { x , k } = { x , B } )
78	77	preq1d 4029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = B -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , B } , { x , l } } )
79	78	sseq1d 3444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = B -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
80	79	reubidv 2967	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
81	76, 80	raleqbidv 2993	. . . . . . . . . 10 |- ( k = B -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
82	81	notbid 292	. . . . . . . . 9 |- ( k = B -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
83	74, 82	rexprg 3994	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
84	83	ad2antrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
85	66, 84	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
86		rexnal 2830	. . . . . 6 |- ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
87	85, 86	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
88	87	intnand 914	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) )
89		usgrav 24459	. . . . . 6 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) )
90	89	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) )
91		isfrgra 25111	. . . . 5 |- ( ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) -> ( { A , B } FriendGrph E <-> ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
92	90, 91	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } FriendGrph E <-> ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
93	88, 92	mtbird 299	. . 3 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { A , B } FriendGrph E )
94	93	expcom 433	. 2 |- ( { A , B } USGrph E -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E ) )
95		frisusgra 25113	. . . 4 |- ( { A , B } FriendGrph E -> { A , B } USGrph E )
96	95	con3i 135	. . 3 |- ( -. { A , B } USGrph E -> -. { A , B } FriendGrph E )
97	96	a1d 25	. 2 |- ( -. { A , B } USGrph E -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E ) )
98	94, 97	pm2.61i 164	1 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   E!wreu 2734   _Vcvv 3034   \ cdif 3386   C_ wss 3389   {csn 3944   {cpr 3946   class class class wbr 4367   ran crn 4914   USGrph cusg 24451   FriendGrph cfrgra 25109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-hash 12308  df-usgra 24454  df-frgra 25110

This theorem is referenced by:  1to2vfriswmgra  25127  frgraregord013  25239