Theorem frgra2v 30759

Description: Any graph with two (different) vertices is not a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
frgra2v	|- ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E )

Proof of Theorem frgra2v

Dummy variables k l x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. A =/= A
2		usgraedgrn 23472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { A , B } USGrph E /\ { A , A } e. ran E ) -> A =/= A )
3	2	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { A , A } e. ran E -> A =/= A ) )
4	1, 3	mtoi 178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { A , B } USGrph E -> -. { A , A } e. ran E )
5	4	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { A , A } e. ran E )
6	5	intnanrd 908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { A , A } e. ran E /\ { A , B } e. ran E ) )
7		prex 4645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , A } e. _V
8		prex 4645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , B } e. _V
9	7, 8	prss 4138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { A , A } e. ran E /\ { A , B } e. ran E ) <-> { { A , A } , { A , B } } C_ ran E )
10	6, 9	sylnib 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { { A , A } , { A , B } } C_ ran E )
11		neirr 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. B =/= B
12		usgraedgrn 23472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { A , B } USGrph E /\ { B , B } e. ran E ) -> B =/= B )
13	12	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { B , B } e. ran E -> B =/= B ) )
14	11, 13	mtoi 178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { A , B } USGrph E -> -. { B , B } e. ran E )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { B , B } e. ran E )
16	15	intnand 907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { B , A } e. ran E /\ { B , B } e. ran E ) )
17		prex 4645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , A } e. _V
18		prex 4645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , B } e. _V
19	17, 18	prss 4138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { B , A } e. ran E /\ { B , B } e. ran E ) <-> { { B , A } , { B , B } } C_ ran E )
20	16, 19	sylnib 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { { B , A } , { B , B } } C_ ran E )
21		ioran 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) <-> ( -. { { A , A } , { A , B } } C_ ran E /\ -. { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
22	10, 20, 21	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
23		preq1 4065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> { x , A } = { A , A } )
24		preq1 4065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> { x , B } = { A , B } )
25	23, 24	preq12d 4073	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> { { x , A } , { x , B } } = { { A , A } , { A , B } } )
26	25	sseq1d 3494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> { { A , A } , { A , B } } C_ ran E ) )
27		preq1 4065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> { x , A } = { B , A } )
28		preq1 4065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> { x , B } = { B , B } )
29	27, 28	preq12d 4073	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> { { x , A } , { x , B } } = { { B , A } , { B , B } } )
30	29	sseq1d 3494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
31	26, 30	rexprg 4037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) ) )
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) ) )
33	22, 32	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
34		reurex 3043	. . . . . . . . . 10 |- ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E -> E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
35	33, 34	nsyl 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
36	35	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
37		rexnal 2854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E )
38	37	bicomi 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
40		difprsn1 4121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
41	40	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
42	41	rexeqdv 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
43		preq2 4066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = B -> { x , l } = { x , B } )
44	43	preq2d 4072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = B -> { { x , A } , { x , l } } = { { x , A } , { x , B } } )
45	44	sseq1d 3494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = B -> ( { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
46	45	reubidv 3011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
47	46	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = B -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
48	47	rexsng 4024	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Y -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
49	48	ad3antlr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
50	39, 42, 49	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
51		rexnal 2854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E )
52	51	bicomi 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E )
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
54		difprsn2 4122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
55	54	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
56	55	rexeqdv 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
57		preq2 4066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = A -> { x , l } = { x , A } )
58	57	preq2d 4072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = A -> { { x , B } , { x , l } } = { { x , B } , { x , A } } )
59	58	sseq1d 3494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = A -> ( { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
60	59	reubidv 3011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
61	60	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = A -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
62	61	rexsng 4024	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. X -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
63	62	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
64	53, 56, 63	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
65	50, 64	orbi12d 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) <-> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) ) )
66	36, 65	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
67		sneq 3998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> { k } = { A } )
68	67	difeq2d 3585	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { A } ) )
69		preq2 4066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = A -> { x , k } = { x , A } )
70	69	preq1d 4071	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = A -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , A } , { x , l } } )
71	70	sseq1d 3494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
72	71	reubidv 3011	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
73	68, 72	raleqbidv 3037	. . . . . . . . . 10 |- ( k = A -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
74	73	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
75		sneq 3998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = B -> { k } = { B } )
76	75	difeq2d 3585	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = B -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { B } ) )
77		preq2 4066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = B -> { x , k } = { x , B } )
78	77	preq1d 4071	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = B -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , B } , { x , l } } )
79	78	sseq1d 3494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = B -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
80	79	reubidv 3011	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
81	76, 80	raleqbidv 3037	. . . . . . . . . 10 |- ( k = B -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
82	81	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( k = B -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
83	74, 82	rexprg 4037	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
84	83	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
85	66, 84	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
86		rexnal 2854	. . . . . 6 |- ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
87	85, 86	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
88	87	intnand 907	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) )
89		usgrav 23442	. . . . . 6 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) )
90	89	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) )
91		isfrgra 30750	. . . . 5 |- ( ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) -> ( { A , B } FriendGrph E <-> ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
92	90, 91	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } FriendGrph E <-> ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
93	88, 92	mtbird 301	. . 3 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { A , B } FriendGrph E )
94	93	expcom 435	. 2 |- ( { A , B } USGrph E -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E ) )
95		frisusgra 30752	. . . 4 |- ( { A , B } FriendGrph E -> { A , B } USGrph E )
96	95	con3i 135	. . 3 |- ( -. { A , B } USGrph E -> -. { A , B } FriendGrph E )
97	96	a1d 25	. 2 |- ( -. { A , B } USGrph E -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E ) )
98	94, 97	pm2.61i 164	1 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   E!wreu 2801   _Vcvv 3078   \ cdif 3436   C_ wss 3439   {csn 3988   {cpr 3990   class class class wbr 4403   ran crn 4952   USGrph cusg 23436   FriendGrph cfrgra 30748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-hash 12224  df-usgra 23438  df-frgra 30749

This theorem is referenced by:  1to2vfriswmgra  30766  frgraregord013  30879