Theorem frgra2v 24772

Description: Any graph with two (different) vertices is not a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
frgra2v	|- ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E )

Proof of Theorem frgra2v

Dummy variables k l x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. A =/= A
2		usgraedgrn 24154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { A , B } USGrph E /\ { A , A } e. ran E ) -> A =/= A )
3	2	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { A , A } e. ran E -> A =/= A ) )
4	1, 3	mtoi 178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { A , B } USGrph E -> -. { A , A } e. ran E )
5	4	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { A , A } e. ran E )
6	5	intnanrd 915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { A , A } e. ran E /\ { A , B } e. ran E ) )
7		prex 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , A } e. _V
8		prex 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , B } e. _V
9	7, 8	prss 4181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { A , A } e. ran E /\ { A , B } e. ran E ) <-> { { A , A } , { A , B } } C_ ran E )
10	6, 9	sylnib 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { { A , A } , { A , B } } C_ ran E )
11		neirr 2671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. B =/= B
12		usgraedgrn 24154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { A , B } USGrph E /\ { B , B } e. ran E ) -> B =/= B )
13	12	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { B , B } e. ran E -> B =/= B ) )
14	11, 13	mtoi 178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { A , B } USGrph E -> -. { B , B } e. ran E )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { B , B } e. ran E )
16	15	intnand 914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { B , A } e. ran E /\ { B , B } e. ran E ) )
17		prex 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , A } e. _V
18		prex 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , B } e. _V
19	17, 18	prss 4181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { B , A } e. ran E /\ { B , B } e. ran E ) <-> { { B , A } , { B , B } } C_ ran E )
20	16, 19	sylnib 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { { B , A } , { B , B } } C_ ran E )
21		ioran 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) <-> ( -. { { A , A } , { A , B } } C_ ran E /\ -. { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
22	10, 20, 21	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
23		preq1 4106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> { x , A } = { A , A } )
24		preq1 4106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> { x , B } = { A , B } )
25	23, 24	preq12d 4114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> { { x , A } , { x , B } } = { { A , A } , { A , B } } )
26	25	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> { { A , A } , { A , B } } C_ ran E ) )
27		preq1 4106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> { x , A } = { B , A } )
28		preq1 4106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> { x , B } = { B , B } )
29	27, 28	preq12d 4114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> { { x , A } , { x , B } } = { { B , A } , { B , B } } )
30	29	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
31	26, 30	rexprg 4077	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) ) )
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) ) )
33	22, 32	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
34		reurex 3078	. . . . . . . . . 10 |- ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E -> E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
35	33, 34	nsyl 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
36	35	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
37		rexnal 2912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E )
38	37	bicomi 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
40		difprsn1 4163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
41	40	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
42	41	rexeqdv 3065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
43		preq2 4107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = B -> { x , l } = { x , B } )
44	43	preq2d 4113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = B -> { { x , A } , { x , l } } = { { x , A } , { x , B } } )
45	44	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = B -> ( { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
46	45	reubidv 3046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
47	46	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = B -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
48	47	rexsng 4063	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Y -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
49	48	ad3antlr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
50	39, 42, 49	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
51		rexnal 2912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E )
52	51	bicomi 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E )
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
54		difprsn2 4164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
55	54	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
56	55	rexeqdv 3065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
57		preq2 4107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = A -> { x , l } = { x , A } )
58	57	preq2d 4113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = A -> { { x , B } , { x , l } } = { { x , B } , { x , A } } )
59	58	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = A -> ( { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
60	59	reubidv 3046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
61	60	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = A -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
62	61	rexsng 4063	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. X -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
63	62	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
64	53, 56, 63	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
65	50, 64	orbi12d 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) <-> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) ) )
66	36, 65	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
67		sneq 4037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> { k } = { A } )
68	67	difeq2d 3622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { A } ) )
69		preq2 4107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = A -> { x , k } = { x , A } )
70	69	preq1d 4112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = A -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , A } , { x , l } } )
71	70	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
72	71	reubidv 3046	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
73	68, 72	raleqbidv 3072	. . . . . . . . . 10 |- ( k = A -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
74	73	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
75		sneq 4037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = B -> { k } = { B } )
76	75	difeq2d 3622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = B -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { B } ) )
77		preq2 4107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = B -> { x , k } = { x , B } )
78	77	preq1d 4112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = B -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , B } , { x , l } } )
79	78	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = B -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
80	79	reubidv 3046	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
81	76, 80	raleqbidv 3072	. . . . . . . . . 10 |- ( k = B -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
82	81	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( k = B -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
83	74, 82	rexprg 4077	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
84	83	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
85	66, 84	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
86		rexnal 2912	. . . . . 6 |- ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
87	85, 86	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
88	87	intnand 914	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) )
89		usgrav 24111	. . . . . 6 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) )
90	89	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) )
91		isfrgra 24763	. . . . 5 |- ( ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) -> ( { A , B } FriendGrph E <-> ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
92	90, 91	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } FriendGrph E <-> ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
93	88, 92	mtbird 301	. . 3 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { A , B } FriendGrph E )
94	93	expcom 435	. 2 |- ( { A , B } USGrph E -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E ) )
95		frisusgra 24765	. . . 4 |- ( { A , B } FriendGrph E -> { A , B } USGrph E )
96	95	con3i 135	. . 3 |- ( -. { A , B } USGrph E -> -. { A , B } FriendGrph E )
97	96	a1d 25	. 2 |- ( -. { A , B } USGrph E -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E ) )
98	94, 97	pm2.61i 164	1 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   ran crn 5000   USGrph cusg 24103   FriendGrph cfrgra 24761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-hash 12375  df-usgra 24106  df-frgra 24762

This theorem is referenced by:  1to2vfriswmgra  24779  frgraregord013  24892