Theorem frgra2v 24864

Description: Any graph with two (different) vertices is not a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
frgra2v	|- ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E )

Proof of Theorem frgra2v

Dummy variables k l x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. A =/= A
2		usgraedgrn 24246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { A , B } USGrph E /\ { A , A } e. ran E ) -> A =/= A )
3	2	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { A , A } e. ran E -> A =/= A ) )
4	1, 3	mtoi 178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { A , B } USGrph E -> -. { A , A } e. ran E )
5	4	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { A , A } e. ran E )
6	5	intnanrd 915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { A , A } e. ran E /\ { A , B } e. ran E ) )
7		prex 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , A } e. _V
8		prex 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , B } e. _V
9	7, 8	prss 4165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { A , A } e. ran E /\ { A , B } e. ran E ) <-> { { A , A } , { A , B } } C_ ran E )
10	6, 9	sylnib 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { { A , A } , { A , B } } C_ ran E )
11		neirr 2645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. B =/= B
12		usgraedgrn 24246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { A , B } USGrph E /\ { B , B } e. ran E ) -> B =/= B )
13	12	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { B , B } e. ran E -> B =/= B ) )
14	11, 13	mtoi 178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { A , B } USGrph E -> -. { B , B } e. ran E )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { B , B } e. ran E )
16	15	intnand 914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { B , A } e. ran E /\ { B , B } e. ran E ) )
17		prex 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , A } e. _V
18		prex 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , B } e. _V
19	17, 18	prss 4165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { B , A } e. ran E /\ { B , B } e. ran E ) <-> { { B , A } , { B , B } } C_ ran E )
20	16, 19	sylnib 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { { B , A } , { B , B } } C_ ran E )
21		ioran 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) <-> ( -. { { A , A } , { A , B } } C_ ran E /\ -. { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
22	10, 20, 21	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
23		preq1 4090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> { x , A } = { A , A } )
24		preq1 4090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> { x , B } = { A , B } )
25	23, 24	preq12d 4098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> { { x , A } , { x , B } } = { { A , A } , { A , B } } )
26	25	sseq1d 3513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> { { A , A } , { A , B } } C_ ran E ) )
27		preq1 4090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> { x , A } = { B , A } )
28		preq1 4090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> { x , B } = { B , B } )
29	27, 28	preq12d 4098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> { { x , A } , { x , B } } = { { B , A } , { B , B } } )
30	29	sseq1d 3513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
31	26, 30	rexprg 4060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) ) )
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) ) )
33	22, 32	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
34		reurex 3058	. . . . . . . . . 10 |- ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E -> E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
35	33, 34	nsyl 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
36	35	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
37		rexnal 2889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E )
38	37	bicomi 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
40		difprsn1 4147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
41	40	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
42	41	rexeqdv 3045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
43		preq2 4091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = B -> { x , l } = { x , B } )
44	43	preq2d 4097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = B -> { { x , A } , { x , l } } = { { x , A } , { x , B } } )
45	44	sseq1d 3513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = B -> ( { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
46	45	reubidv 3026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
47	46	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = B -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
48	47	rexsng 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Y -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
49	48	ad3antlr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
50	39, 42, 49	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
51		rexnal 2889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E )
52	51	bicomi 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E )
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
54		difprsn2 4148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
55	54	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
56	55	rexeqdv 3045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
57		preq2 4091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = A -> { x , l } = { x , A } )
58	57	preq2d 4097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = A -> { { x , B } , { x , l } } = { { x , B } , { x , A } } )
59	58	sseq1d 3513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = A -> ( { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
60	59	reubidv 3026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
61	60	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = A -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
62	61	rexsng 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. X -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
63	62	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
64	53, 56, 63	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
65	50, 64	orbi12d 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) <-> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) ) )
66	36, 65	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
67		sneq 4020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> { k } = { A } )
68	67	difeq2d 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { A } ) )
69		preq2 4091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = A -> { x , k } = { x , A } )
70	69	preq1d 4096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = A -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , A } , { x , l } } )
71	70	sseq1d 3513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
72	71	reubidv 3026	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
73	68, 72	raleqbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( k = A -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
74	73	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
75		sneq 4020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = B -> { k } = { B } )
76	75	difeq2d 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = B -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { B } ) )
77		preq2 4091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = B -> { x , k } = { x , B } )
78	77	preq1d 4096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = B -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , B } , { x , l } } )
79	78	sseq1d 3513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = B -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
80	79	reubidv 3026	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
81	76, 80	raleqbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( k = B -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
82	81	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( k = B -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
83	74, 82	rexprg 4060	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
84	83	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
85	66, 84	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
86		rexnal 2889	. . . . . 6 |- ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
87	85, 86	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
88	87	intnand 914	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) )
89		usgrav 24203	. . . . . 6 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) )
90	89	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) )
91		isfrgra 24855	. . . . 5 |- ( ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) -> ( { A , B } FriendGrph E <-> ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
92	90, 91	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } FriendGrph E <-> ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
93	88, 92	mtbird 301	. . 3 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { A , B } FriendGrph E )
94	93	expcom 435	. 2 |- ( { A , B } USGrph E -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E ) )
95		frisusgra 24857	. . . 4 |- ( { A , B } FriendGrph E -> { A , B } USGrph E )
96	95	con3i 135	. . 3 |- ( -. { A , B } USGrph E -> -. { A , B } FriendGrph E )
97	96	a1d 25	. 2 |- ( -. { A , B } USGrph E -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E ) )
98	94, 97	pm2.61i 164	1 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1381   e. wcel 1802   =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   E!wreu 2793   _Vcvv 3093   \ cdif 3455   C_ wss 3458   {csn 4010   {cpr 4012   class class class wbr 4433   ran crn 4986   USGrph cusg 24195   FriendGrph cfrgra 24853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-hash 12380  df-usgra 24198  df-frgra 24854

This theorem is referenced by:  1to2vfriswmgra  24871  frgraregord013  24983