Theorem frgra2v 25776

Description: Any graph with two (different) vertices is not a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
frgra2v	|- ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E )

Proof of Theorem frgra2v

Dummy variables k l x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. A =/= A
2		usgraedgrn 25157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { A , B } USGrph E /\ { A , A } e. ran E ) -> A =/= A )
3	2	ex 440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { A , A } e. ran E -> A =/= A ) )
4	1, 3	mtoi 183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { A , B } USGrph E -> -. { A , A } e. ran E )
5	4	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { A , A } e. ran E )
6	5	intnanrd 933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { A , A } e. ran E /\ { A , B } e. ran E ) )
7		prex 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , A } e. _V
8		prex 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , B } e. _V
9	7, 8	prss 4139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { A , A } e. ran E /\ { A , B } e. ran E ) <-> { { A , A } , { A , B } } C_ ran E )
10	6, 9	sylnib 310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { { A , A } , { A , B } } C_ ran E )
11		neirr 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. B =/= B
12		usgraedgrn 25157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { A , B } USGrph E /\ { B , B } e. ran E ) -> B =/= B )
13	12	ex 440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { B , B } e. ran E -> B =/= B ) )
14	11, 13	mtoi 183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { A , B } USGrph E -> -. { B , B } e. ran E )
15	14	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { B , B } e. ran E )
16	15	intnand 932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { B , A } e. ran E /\ { B , B } e. ran E ) )
17		prex 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , A } e. _V
18		prex 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , B } e. _V
19	17, 18	prss 4139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { B , A } e. ran E /\ { B , B } e. ran E ) <-> { { B , A } , { B , B } } C_ ran E )
20	16, 19	sylnib 310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { { B , A } , { B , B } } C_ ran E )
21		ioran 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) <-> ( -. { { A , A } , { A , B } } C_ ran E /\ -. { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
22	10, 20, 21	sylanbrc 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
23		preq1 4064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> { x , A } = { A , A } )
24		preq1 4064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> { x , B } = { A , B } )
25	23, 24	preq12d 4072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> { { x , A } , { x , B } } = { { A , A } , { A , B } } )
26	25	sseq1d 3471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> { { A , A } , { A , B } } C_ ran E ) )
27		preq1 4064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> { x , A } = { B , A } )
28		preq1 4064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> { x , B } = { B , B } )
29	27, 28	preq12d 4072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> { { x , A } , { x , B } } = { { B , A } , { B , B } } )
30	29	sseq1d 3471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) )
31	26, 30	rexprg 4034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) ) )
32	31	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ ran E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ ran E ) ) )
33	22, 32	mtbird 307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
34		reurex 3021	. . . . . . . . . 10 |- ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E -> E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
35	33, 34	nsyl 126	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E )
36	35	orcd 398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
37		rexnal 2848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E )
38	37	bicomi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
40		difprsn1 4121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
41	40	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
42	41	rexeqdv 3006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
43		preq2 4065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = B -> { x , l } = { x , B } )
44	43	preq2d 4071	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = B -> { { x , A } , { x , l } } = { { x , A } , { x , B } } )
45	44	sseq1d 3471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = B -> ( { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
46	45	reubidv 2987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
47	46	notbid 300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = B -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
48	47	rexsng 4019	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Y -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
49	48	ad3antlr 742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
50	39, 42, 49	3bitrd 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E ) )
51		rexnal 2848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E )
52	51	bicomi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E )
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
54		difprsn2 4122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
55	54	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
56	55	rexeqdv 3006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
57		preq2 4065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = A -> { x , l } = { x , A } )
58	57	preq2d 4071	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = A -> { { x , B } , { x , l } } = { { x , B } , { x , A } } )
59	58	sseq1d 3471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = A -> ( { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
60	59	reubidv 2987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
61	60	notbid 300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = A -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
62	61	rexsng 4019	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. X -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
63	62	ad3antrrr 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
64	53, 56, 63	3bitrd 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) )
65	50, 64	orbi12d 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) <-> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ ran E \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ ran E ) ) )
66	36, 65	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
67		sneq 3990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> { k } = { A } )
68	67	difeq2d 3563	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { A } ) )
69		preq2 4065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = A -> { x , k } = { x , A } )
70	69	preq1d 4070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = A -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , A } , { x , l } } )
71	70	sseq1d 3471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
72	71	reubidv 2987	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
73	68, 72	raleqbidv 3013	. . . . . . . . . 10 |- ( k = A -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
74	73	notbid 300	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E ) )
75		sneq 3990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = B -> { k } = { B } )
76	75	difeq2d 3563	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = B -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { B } ) )
77		preq2 4065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = B -> { x , k } = { x , B } )
78	77	preq1d 4070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = B -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , B } , { x , l } } )
79	78	sseq1d 3471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = B -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
80	79	reubidv 2987	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
81	76, 80	raleqbidv 3013	. . . . . . . . . 10 |- ( k = B -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
82	81	notbid 300	. . . . . . . . 9 |- ( k = B -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) )
83	74, 82	rexprg 4034	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
84	83	ad2antrr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ ran E \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
85	66, 84	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
86		rexnal 2848	. . . . . 6 |- ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E <-> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
87	85, 86	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E )
88	87	intnand 932	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) )
89		usgrav 25114	. . . . . 6 |- ( { A , B } USGrph E -> ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) )
90	89	adantl 472	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) )
91		isfrgra 25767	. . . . 5 |- ( ( { A , B } e. _V /\ E e. _V ) -> ( { A , B } FriendGrph E <-> ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> ( { A , B } FriendGrph E <-> ( { A , B } USGrph E /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ ran E ) ) )
93	88, 92	mtbird 307	. . 3 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) /\ { A , B } USGrph E ) -> -. { A , B } FriendGrph E )
94	93	expcom 441	. 2 |- ( { A , B } USGrph E -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E ) )
95		frisusgra 25769	. . . 4 |- ( { A , B } FriendGrph E -> { A , B } USGrph E )
96	95	con3i 142	. . 3 |- ( -. { A , B } USGrph E -> -. { A , B } FriendGrph E )
97	96	a1d 26	. 2 |- ( -. { A , B } USGrph E -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E ) )
98	94, 97	pm2.61i 169	1 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y ) /\ A =/= B ) -> -. { A , B } FriendGrph E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   E!wreu 2751   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   C_ wss 3416   {csn 3980   {cpr 3982   class class class wbr 4416   ran crn 4854   USGrph cusg 25106   FriendGrph cfrgra 25765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-hash 12548  df-usgra 25109  df-frgra 25766

This theorem is referenced by:  1to2vfriswmgra  25783  frgraregord013  25895