MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgra2v Structured version   Unicode version

Theorem frgra2v 24772
Description: Any graph with two (different) vertices is not a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgra2v  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )

Proof of Theorem frgra2v
Dummy variables  k 
l  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neirr 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  A  =/=  A
2 usgraedgrn 24154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { A ,  B } USGrph  E  /\  { A ,  A }  e.  ran  E )  ->  A  =/=  A )
32ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( { A ,  A }  e.  ran  E  ->  A  =/=  A
) )
41, 3mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  -.  { A ,  A }  e.  ran  E )
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { A ,  A }  e.  ran  E )
65intnanrd 915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { A ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) )
7 prex 4689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { A ,  A }  e.  _V
8 prex 4689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { A ,  B }  e.  _V
97, 8prss 4181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { A ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  <->  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E )
106, 9sylnib 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E
)
11 neirr 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  B  =/=  B
12 usgraedgrn 24154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { A ,  B } USGrph  E  /\  { B ,  B }  e.  ran  E )  ->  B  =/=  B )
1312ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( { B ,  B }  e.  ran  E  ->  B  =/=  B
) )
1411, 13mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  -.  { B ,  B }  e.  ran  E )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { B ,  B }  e.  ran  E )
1615intnand 914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  B }  e.  ran  E ) )
17 prex 4689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { B ,  A }  e.  _V
18 prex 4689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { B ,  B }  e.  _V
1917, 18prss 4181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  B }  e.  ran  E )  <->  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E )
2016, 19sylnib 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
)
21 ioran 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E )  <->  ( -.  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  /\  -.  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
) )
2210, 20, 21sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
) )
23 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  { x ,  A }  =  { A ,  A }
)
24 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  { x ,  B }  =  { A ,  B }
)
2523, 24preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  =  { { A ,  A } ,  { A ,  B } } )
2625sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E ) )
27 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  { x ,  A }  =  { B ,  A }
)
28 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  { x ,  B }  =  { B ,  B }
)
2927, 28preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  =  { { B ,  A } ,  { B ,  B } } )
3029sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E ) )
3126, 30rexprg 4077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( E. x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E ) ) )
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { { A ,  A } ,  { A ,  B } }  C_  ran  E  \/  { { B ,  A } ,  { B ,  B } }  C_  ran  E
) ) )
3322, 32mtbird 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  E. x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E )
34 reurex 3078 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  ->  E. x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E )
3533, 34nsyl 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
)
3635orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  \/  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
37 rexnal 2912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
3837bicomi 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } )  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E )
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
)  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
40 difprsn1 4163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A ,  B }  \  { A } )  =  { B }
)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  \  { A } )  =  { B }
)
4241rexeqdv 3065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  { B }  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
43 preq2 4107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  B  ->  { x ,  l }  =  { x ,  B } )
4443preq2d 4113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  B  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  B } } )
4544sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  B  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
4645reubidv 3046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E ) )
4746notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  B  ->  ( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
4847rexsng 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Y  ->  ( E. l  e.  { B }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) )
4948ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  { B }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) )
5039, 42, 493bitrd 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
51 rexnal 2912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
5251bicomi 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } )  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E )
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
)  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
54 difprsn2 4164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A ,  B }  \  { B } )  =  { A }
)
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  \  { B } )  =  { A }
)
5655rexeqdv 3065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } )  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E. l  e.  { A }  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
57 preq2 4107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  A  ->  { x ,  l }  =  { x ,  A } )
5857preq2d 4113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  A  ->  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  A } } )
5958sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  A  ->  ( { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6059reubidv 3046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6160notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  A  ->  ( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6261rexsng 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  X  ->  ( E. l  e.  { A }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) )
6362ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. l  e.  { A }  -.  E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) )
6453, 56, 633bitrd 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
6550, 64orbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E  \/  -.  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E ) ) )
6636, 65mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) )
67 sneq 4037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
6867difeq2d 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  ( { A ,  B }  \  { k } )  =  ( { A ,  B }  \  { A } ) )
69 preq2 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  { x ,  k }  =  { x ,  A } )
7069preq1d 4112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }
)
7170sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  A  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
7271reubidv 3046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) )
7368, 72raleqbidv 3072 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  A  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
7473notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
75 sneq 4037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  B  ->  { k }  =  { B } )
7675difeq2d 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  B  ->  ( { A ,  B }  \  { k } )  =  ( { A ,  B }  \  { B } ) )
77 preq2 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  B  ->  { x ,  k }  =  { x ,  B } )
7877preq1d 4112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  B  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }
)
7978sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  B  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
8079reubidv 3046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) )
8176, 80raleqbidv 3072 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  B  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B }
) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
8281notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  B  ->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
8374, 82rexprg 4077 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( E. k  e. 
{ A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) ) )
8483ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( E. k  e.  { A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  ( -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  \/  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E ) ) )
8566, 84mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  E. k  e.  { A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
86 rexnal 2912 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  { A ,  B }  -.  A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  -.  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
8785, 86sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )
8887intnand 914 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  ( { A ,  B } USGrph  E  /\  A. k  e. 
{ A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e. 
{ A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
89 usgrav 24111 . . . . . 6  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( { A ,  B }  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
9089adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
91 isfrgra 24763 . . . . 5  |-  ( ( { A ,  B }  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( { A ,  B } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B } USGrph  E  /\  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
9290, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B } USGrph  E  /\  A. k  e.  { A ,  B } A. l  e.  ( { A ,  B }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B }  { { x ,  k } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
9388, 92mtbird 301 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B )  /\  { A ,  B } USGrph  E )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
9493expcom 435 . 2  |-  ( { A ,  B } USGrph  E  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B
)  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E ) )
95 frisusgra 24765 . . . 4  |-  ( { A ,  B } FriendGrph  E  ->  { A ,  B } USGrph  E )
9695con3i 135 . . 3  |-  ( -. 
{ A ,  B } USGrph  E  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
9796a1d 25 . 2  |-  ( -. 
{ A ,  B } USGrph  E  ->  ( (
( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E ) )
9894, 97pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   ran crn 5000   USGrph cusg 24103   FriendGrph cfrgra 24761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-hash 12375  df-usgra 24106  df-frgra 24762
This theorem is referenced by:  1to2vfriswmgra  24779  frgraregord013  24892
  Copyright terms: Public domain W3C validator