MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpuptf Structured version   Unicode version

Theorem frgpuptf 16928
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
frgpup.n  |-  N  =  ( invg `  H )
frgpup.t  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
frgpup.h  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
frgpup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
frgpup.a  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
Assertion
Ref Expression
frgpuptf  |-  ( ph  ->  T : ( I  X.  2o ) --> B )
Distinct variable groups:    y, z, F    y, N, z    y, B, z    ph, y, z   
y, I, z
Allowed substitution hints:    T( y, z)    H( y, z)    V( y, z)

Proof of Theorem frgpuptf
StepHypRef Expression
1 frgpup.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
21ffvelrnda 5950 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  y )  e.  B )
32adantrr 714 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  -> 
( F `  y
)  e.  B )
4 frgpup.h . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
54adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  H  e.  Grp )
6 frgpup.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  H
)
7 frgpup.n . . . . . 6  |-  N  =  ( invg `  H )
86, 7grpinvcl 16235 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( F `  y )  e.  B )  -> 
( N `  ( F `  y )
)  e.  B )
95, 3, 8syl2anc 659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  -> 
( N `  ( F `  y )
)  e.  B )
103, 9ifcld 3917 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) )  e.  B )
1110ralrimivva 2817 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) )  e.  B )
12 frgpup.t . . 3  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
1312fmpt2 6788 . 2  |-  ( A. y  e.  I  A. z  e.  2o  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) )  e.  B  <->  T :
( I  X.  2o )
--> B )
1411, 13sylib 196 1  |-  ( ph  ->  T : ( I  X.  2o ) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2746   (/)c0 3728   ifcif 3874    X. cxp 4928   -->wf 5509   ` cfv 5513    |-> cmpt2 6220   2oc2o 7064   Basecbs 14657   Grpcgrp 16193   invgcminusg 16194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-0g 14872  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-grp 16197  df-minusg 16198
This theorem is referenced by:  frgpuplem  16930  frgpupf  16931  frgpup1  16933  frgpup2  16934  frgpup3lem  16935
  Copyright terms: Public domain W3C validator