MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupf Structured version   Unicode version

Theorem frgpupf 16263
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
frgpup.n  |-  N  =  ( invg `  H )
frgpup.t  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
frgpup.h  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
frgpup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
frgpup.a  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
frgpup.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
frgpup.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
frgpup.g  |-  G  =  (freeGrp `  I )
frgpup.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
frgpup.e  |-  E  =  ran  ( g  e.  W  |->  <. [ g ]  .~  ,  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) ) >. )
Assertion
Ref Expression
frgpupf  |-  ( ph  ->  E : X --> B )
Distinct variable groups:    y, g,
z    g, H    y, F, z    y, N, z    B, g, y, z    T, g    .~ , g    ph, g, y, z    y, I, z   
g, W
Allowed substitution hints:    .~ ( y, z)    T( y, z)    E( y, z, g)    F( g)    G( y, z, g)    H( y, z)    I( g)    N( g)    V( y, z, g)    W( y, z)    X( y, z, g)

Proof of Theorem frgpupf
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . . . 4  |-  E  =  ran  ( g  e.  W  |->  <. [ g ]  .~  ,  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) ) >. )
2 frgpup.h . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
3 grpmnd 15543 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  Grp  ->  H  e.  Mnd )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
54adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  W )  ->  H  e.  Mnd )
6 frgpup.w . . . . . . . 8  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
7 fviss 5746 . . . . . . . 8  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  C_ Word  ( I  X.  2o )
86, 7eqsstri 3383 . . . . . . 7  |-  W  C_ Word  ( I  X.  2o )
98sseli 3349 . . . . . 6  |-  ( g  e.  W  ->  g  e. Word  ( I  X.  2o ) )
10 frgpup.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  H
)
11 frgpup.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  H )
12 frgpup.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
13 frgpup.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
14 frgpup.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
1510, 11, 12, 2, 13, 14frgpuptf 16260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T : ( I  X.  2o ) --> B )
16 wrdco 12455 . . . . . 6  |-  ( ( g  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  T : ( I  X.  2o ) --> B )  -> 
( T  o.  g
)  e. Word  B )
179, 15, 16syl2anr 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  W )  ->  ( T  o.  g )  e. Word  B )
1810gsumwcl 15511 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  ( T  o.  g
)  e. Word  B )  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  e.  B
)
195, 17, 18syl2anc 656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  W )  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  e.  B
)
20 frgpup.r . . . . . 6  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
216, 20efger 16208 . . . . 5  |-  .~  Er  W
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  .~  Er  W )
23 fvex 5698 . . . . . 6  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  e.  _V
246, 23eqeltri 2511 . . . . 5  |-  W  e. 
_V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
26 coeq2 4994 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  ( T  o.  g )  =  ( T  o.  h ) )
2726oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  h
) ) )
2810, 11, 12, 2, 13, 14, 6, 20frgpuplem 16262 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  .~  h )  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  h
) ) )
291, 19, 22, 25, 27, 28qliftfund 7182 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  E )
301, 19, 22, 25qliftf 7184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Fun  E  <->  E :
( W /.  .~  )
--> B ) )
3129, 30mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E : ( W /.  .~  ) --> B )
32 frgpup.g . . . . . . 7  |-  G  =  (freeGrp `  I )
33 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  =  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )
3432, 33, 20frgpval 16248 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  G  =  ( (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  /.s 
.~  ) )
3513, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( (freeMnd `  ( I  X.  2o ) )  /.s  .~  )
)
36 2on 6924 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  On
37 xpexg 6506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
3813, 36, 37sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I  X.  2o )  e.  _V )
39 wrdexg 12240 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( I  X.  2o )  e. 
_V )
40 fvi 5745 . . . . . . . 8  |-  (Word  (
I  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
4138, 39, 403syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
426, 41syl5eq 2485 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
43 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )  =  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )
4433, 43frmdbas 15523 . . . . . . 7  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  ->  ( Base `  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
4538, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
4642, 45eqtr4d 2476 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  =  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) ) )
47 fvex 5698 . . . . . . 7  |-  ( ~FG  `  I
)  e.  _V
4820, 47eqeltri 2511 . . . . . 6  |-  .~  e.  _V
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .~  e.  _V )
50 fvex 5698 . . . . . 6  |-  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  e.  _V
5150a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) )  e. 
_V )
5235, 46, 49, 51divsbas 14479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W /.  .~  )  =  ( Base `  G ) )
53 frgpup.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
5452, 53syl6reqr 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( W /.  .~  ) )
5554feq2d 5544 . 2  |-  ( ph  ->  ( E : X --> B 
<->  E : ( W /.  .~  ) --> B ) )
5631, 55mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E : X --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   ifcif 3788   <.cop 3880    e. cmpt 4347    _I cid 4627   Oncon0 4715    X. cxp 4834   ran crn 4837    o. ccom 4840   Fun wfun 5409   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   2oc2o 6910    Er wer 7094   [cec 7095   /.cqs 7096  Word cword 12217   Basecbs 14170    gsumg cgsu 14375    /.s cqus 14439   Mndcmnd 15405   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407  freeMndcfrmd 15518   ~FG cefg 16196  freeGrpcfrgp 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-ot 3883  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-s1 12228  df-substr 12229  df-splice 12230  df-s2 12471  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-imas 14442  df-divs 14443  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-frmd 15520  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-efg 16199  df-frgp 16200
This theorem is referenced by:  frgpupval  16264  frgpup1  16265
  Copyright terms: Public domain W3C validator