Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frgpup3 17506
 Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup3.g freeGrp
frgpup3.b
frgpup3.u varFGrp
Assertion
Ref Expression
frgpup3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem frgpup3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup3.b . . 3
2 eqid 2471 . . 3
3 eqid 2471 . . 3
4 simp1 1030 . . 3
5 simp2 1031 . . 3
6 simp3 1032 . . 3
7 eqid 2471 . . 3 Word Word
8 eqid 2471 . . 3 ~FG ~FG
9 frgpup3.g . . 3 freeGrp
10 eqid 2471 . . 3
11 eqid 2471 . . 3 Word ~FG g Word ~FG g
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11frgpup1 17503 . 2 Word ~FG g
134adantr 472 . . . . 5
145adantr 472 . . . . 5
156adantr 472 . . . . 5
16 frgpup3.u . . . . 5 varFGrp
17 simpr 468 . . . . 5
181, 2, 3, 13, 14, 15, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17frgpup2 17504 . . . 4 Word ~FG g
1918mpteq2dva 4482 . . 3 Word ~FG g
2010, 1ghmf 16965 . . . . 5 Word ~FG g Word ~FG g
2112, 20syl 17 . . . 4 Word ~FG g
228, 16, 9, 10vrgpf 17496 . . . . 5
235, 22syl 17 . . . 4
24 fcompt 6075 . . . 4 Word ~FG g Word ~FG g Word ~FG g
2521, 23, 24syl2anc 673 . . 3 Word ~FG g Word ~FG g
266feqmptd 5932 . . 3
2719, 25, 263eqtr4d 2515 . 2 Word ~FG g
284adantr 472 . . . . 5
295adantr 472 . . . . 5
306adantr 472 . . . . 5
31 simprl 772 . . . . 5
32 simprr 774 . . . . 5
331, 2, 3, 28, 29, 30, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 31, 32frgpup3lem 17505 . . . 4 Word ~FG g
3433expr 626 . . 3 Word ~FG g
3534ralrimiva 2809 . 2 Word ~FG g
36 coeq1 4997 . . . 4 Word ~FG g Word ~FG g
3736eqeq1d 2473 . . 3 Word ~FG g Word ~FG g
3837eqreu 3218 . 2 Word ~FG g Word ~FG g Word ~FG g
3912, 27, 35, 38syl3anc 1292 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wreu 2758  c0 3722  cif 3872  cop 3965   cmpt 4454   cid 4749   cxp 4837   crn 4840   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c2o 7194  cec 7379  Word cword 12703  cbs 15199   g cgsu 15417  cgrp 16747  cminusg 16748   cghm 16958   ~FG cefg 17434  freeGrpcfrgp 17435  varFGrpcvrgp 17436 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-imas 15485  df-qus 15487  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-frmd 16711  df-vrmd 16712  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-ghm 16959  df-efg 17437  df-frgp 17438  df-vrgp 17439 This theorem is referenced by:  0frgp  17507  frgpcyg  19221
 Copyright terms: Public domain W3C validator