Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpinv Structured version   Unicode version

Theorem frgpinv 16655
 Description: The inverse of an element of the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpinv.n
frgpinv.m
Assertion
Ref Expression
frgpinv reverse
Distinct variable groups:   ,,   , ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem frgpinv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpadd.w . . . . . . . . 9 Word
2 fviss 5932 . . . . . . . . 9 Word Word
31, 2eqsstri 3539 . . . . . . . 8 Word
43sseli 3505 . . . . . . 7 Word
5 revcl 12715 . . . . . . 7 Word reverse Word
64, 5syl 16 . . . . . 6 reverse Word
7 frgpinv.m . . . . . . 7
87efgmf 16604 . . . . . 6
9 wrdco 12777 . . . . . 6 reverse Word reverse Word
106, 8, 9sylancl 662 . . . . 5 reverse Word
111efgrcl 16606 . . . . . 6 Word
1211simprd 463 . . . . 5 Word
1310, 12eleqtrrd 2558 . . . 4 reverse
14 frgpadd.g . . . . 5 freeGrp
15 frgpadd.r . . . . 5 ~FG
16 eqid 2467 . . . . 5
171, 14, 15, 16frgpadd 16654 . . . 4 reverse reverse concat reverse
1813, 17mpdan 668 . . 3 reverse concat reverse
191, 15efger 16609 . . . . 5
2019a1i 11 . . . 4
21 eqid 2467 . . . . 5 splice splice
221, 15, 7, 21efginvrel2 16618 . . . 4 concat reverse
2320, 22erthi 7370 . . 3 concat reverse
2414, 15frgp0 16651 . . . . . 6
2524adantr 465 . . . . 5 Word
2611, 25syl 16 . . . 4
2726simprd 463 . . 3
2818, 23, 273eqtrd 2512 . 2 reverse
2926simpld 459 . . 3
30 eqid 2467 . . . 4
3114, 15, 1, 30frgpeccl 16652 . . 3
3214, 15, 1, 30frgpeccl 16652 . . . 4 reverse reverse
3313, 32syl 16 . . 3 reverse
34 eqid 2467 . . . 4
35 frgpinv.n . . . 4
3630, 16, 34, 35grpinvid1 15970 . . 3 reverse reverse reverse
3729, 31, 33, 36syl3anc 1228 . 2 reverse reverse
3828, 37mpbird 232 1 reverse
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118   cdif 3478  c0 3790  cop 4039  cotp 4041   cmpt 4511   cid 4796   cxp 5003   ccom 5009  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  c1o 7135  c2o 7136   wer 7320  cec 7321  cc0 9504  cfz 11684  chash 12385  Word cword 12515   concat cconcat 12517   splice csplice 12520  reversecreverse 12521  cs2 12786  cbs 14507   cplusg 14572  c0g 14712  cgrp 15925  cminusg 15926   ~FG cefg 16597  freeGrpcfrgp 16598 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-reverse 12529  df-s2 12793  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-0g 14714  df-imas 14780  df-qus 14781  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-frmd 15889  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-efg 16600  df-frgp 16601 This theorem is referenced by:  vrgpinv  16660
 Copyright terms: Public domain W3C validator