Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpcpbl Structured version   Unicode version

Theorem frgpcpbl 16756
 Description: Compatibility of the group operation with the free group equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpval.m freeGrp
frgpval.b freeMnd
frgpval.r ~FG
frgpcpbl.p
Assertion
Ref Expression
frgpcpbl

Proof of Theorem frgpcpbl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3 Word Word
2 frgpval.r . . 3 ~FG
3 eqid 2443 . . 3
4 eqid 2443 . . 3 Word splice Word splice
5 eqid 2443 . . 3 Word Word Word splice Word Word Word splice
6 eqid 2443 . . 3 Word Word Word Word Word splice ..^ Word splice Word Word Word Word Word splice ..^ Word splice
71, 2, 3, 4, 5, 6efgcpbl2 16754 . 2 concat concat
81, 2efger 16715 . . . . . 6 Word
98a1i 11 . . . . 5 Word
10 simpl 457 . . . . 5
119, 10ercl 7324 . . . 4 Word
121efgrcl 16712 . . . . . . 7 Word Word Word
1311, 12syl 16 . . . . . 6 Word Word
1413simprd 463 . . . . 5 Word Word
1513simpld 459 . . . . . . 7
16 2on 7140 . . . . . . 7
17 xpexg 6587 . . . . . . 7
1815, 16, 17sylancl 662 . . . . . 6
19 frgpval.b . . . . . . 7 freeMnd
20 eqid 2443 . . . . . . 7
2119, 20frmdbas 15999 . . . . . 6 Word
2218, 21syl 16 . . . . 5 Word
2314, 22eqtr4d 2487 . . . 4 Word
2411, 23eleqtrd 2533 . . 3
25 simpr 461 . . . . 5
269, 25ercl 7324 . . . 4 Word
2726, 23eleqtrd 2533 . . 3
28 frgpcpbl.p . . . 4
2919, 20, 28frmdadd 16002 . . 3 concat
3024, 27, 29syl2anc 661 . 2 concat
319, 10ercl2 7326 . . . 4 Word
3231, 23eleqtrd 2533 . . 3
339, 25ercl2 7326 . . . 4 Word
3433, 23eleqtrd 2533 . . 3
3519, 20, 28frmdadd 16002 . . 3 concat
3632, 34, 35syl2anc 661 . 2 concat
377, 30, 363brtr4d 4467 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  crab 2797  cvv 3095   cdif 3458  c0 3770  csn 4014  cop 4020  cotp 4022  ciun 4315   class class class wbr 4437   cmpt 4495   cid 4780  con0 4868   cxp 4987   crn 4990  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283  c1o 7125  c2o 7126   wer 7310  cc0 9495  c1 9496   cmin 9810  cfz 11683  ..^cfzo 11806  chash 12387  Word cword 12516   concat cconcat 12518   splice csplice 12521  cs2 12788  cbs 14614   cplusg 14679  freeMndcfrmd 15994   ~FG cefg 16703  freeGrpcfrgp 16704 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-s1 12527  df-substr 12528  df-splice 12529  df-s2 12795  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-plusg 14692  df-frmd 15996  df-efg 16706 This theorem is referenced by:  frgp0  16757  frgpadd  16760
 Copyright terms: Public domain W3C validator