Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgp0 Structured version   Unicode version

Theorem frgp0 16757
 Description: The free group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m freeGrp
frgp0.r ~FG
Assertion
Ref Expression
frgp0

Proof of Theorem frgp0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgp0.m . . 3 freeGrp
2 eqid 2443 . . 3 freeMnd freeMnd
3 frgp0.r . . 3 ~FG
41, 2, 3frgpval 16755 . 2 freeMnd s
5 2on 7140 . . . . 5
6 xpexg 6587 . . . . 5
75, 6mpan2 671 . . . 4
8 eqid 2443 . . . . 5 freeMnd freeMnd
92, 8frmdbas 15999 . . . 4 freeMnd Word
107, 9syl 16 . . 3 freeMnd Word
1110eqcomd 2451 . 2 Word freeMnd
12 eqidd 2444 . 2 freeMnd freeMnd
13 eqid 2443 . . . 4 Word Word
1413, 3efger 16715 . . 3 Word
15 wrdexg 12539 . . . . 5 Word
16 fvi 5915 . . . . 5 Word Word Word
177, 15, 163syl 20 . . . 4 Word Word
18 ereq2 7321 . . . 4 Word Word Word Word
1917, 18syl 16 . . 3 Word Word
2014, 19mpbii 211 . 2 Word
21 fvex 5866 . . 3 freeMnd
2221a1i 11 . 2 freeMnd
23 eqid 2443 . . . 4 freeMnd freeMnd
241, 2, 3, 23frgpcpbl 16756 . . 3 freeMnd freeMnd
2524a1i 11 . 2 freeMnd freeMnd
262frmdmnd 16006 . . . . . 6 freeMnd
277, 26syl 16 . . . . 5 freeMnd
28273ad2ant1 1018 . . . 4 Word Word freeMnd
29 simp2 998 . . . . 5 Word Word Word
30113ad2ant1 1018 . . . . 5 Word Word Word freeMnd
3129, 30eleqtrd 2533 . . . 4 Word Word freeMnd
32 simp3 999 . . . . 5 Word Word Word
3332, 30eleqtrd 2533 . . . 4 Word Word freeMnd
348, 23mndcl 15908 . . . 4 freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
3528, 31, 33, 34syl3anc 1229 . . 3 Word Word freeMnd freeMnd
3635, 30eleqtrrd 2534 . 2 Word Word freeMnd Word
3720adantr 465 . . . 4 Word Word Word Word
3827adantr 465 . . . . . 6 Word Word Word freeMnd
39353adant3r3 1208 . . . . . 6 Word Word Word freeMnd freeMnd
40 simpr3 1005 . . . . . . 7 Word Word Word Word
4111adantr 465 . . . . . . 7 Word Word Word Word freeMnd
4240, 41eleqtrd 2533 . . . . . 6 Word Word Word freeMnd
438, 23mndcl 15908 . . . . . 6 freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
4438, 39, 42, 43syl3anc 1229 . . . . 5 Word Word Word freeMnd freeMnd freeMnd
4544, 41eleqtrrd 2534 . . . 4 Word Word Word freeMnd freeMnd Word
4637, 45erref 7333 . . 3 Word Word Word freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
47313adant3r3 1208 . . . 4 Word Word Word freeMnd
48333adant3r3 1208 . . . 4 Word Word Word freeMnd
498, 23mndass 15909 . . . 4 freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
5038, 47, 48, 42, 49syl13anc 1231 . . 3 Word Word Word freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
5146, 50breqtrd 4461 . 2 Word Word Word freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
52 wrd0 12547 . . 3 Word
5352a1i 11 . 2 Word
5452, 11syl5eleq 2537 . . . . . 6 freeMnd
5554adantr 465 . . . . 5 Word freeMnd
5611eleq2d 2513 . . . . . 6 Word freeMnd
5756biimpa 484 . . . . 5 Word freeMnd
582, 8, 23frmdadd 16002 . . . . 5 freeMnd freeMnd freeMnd concat
5955, 57, 58syl2anc 661 . . . 4 Word freeMnd concat
60 ccatlid 12585 . . . . 5 Word concat
6160adantl 466 . . . 4 Word concat
6259, 61eqtrd 2484 . . 3 Word freeMnd
6320adantr 465 . . . 4 Word Word
64 simpr 461 . . . 4 Word Word
6563, 64erref 7333 . . 3 Word
6662, 65eqbrtrd 4457 . 2 Word freeMnd
67 revcl 12717 . . . 4 Word reverse Word
6867adantl 466 . . 3 Word reverse Word
69 eqid 2443 . . . . 5
7069efgmf 16710 . . . 4
7170a1i 11 . . 3 Word
72 wrdco 12779 . . 3 reverse Word reverse Word
7368, 71, 72syl2anc 661 . 2 Word reverse Word
7411adantr 465 . . . . 5 Word Word freeMnd
7573, 74eleqtrd 2533 . . . 4 Word reverse freeMnd
762, 8, 23frmdadd 16002 . . . 4 reverse freeMnd freeMnd reverse freeMnd reverse concat
7775, 57, 76syl2anc 661 . . 3 Word reverse freeMnd reverse concat
7817eleq2d 2513 . . . . 5 Word Word
7978biimpar 485 . . . 4 Word Word
80 eqid 2443 . . . . 5 Word splice Word splice
8113, 3, 69, 80efginvrel1 16725 . . . 4 Word reverse concat
8279, 81syl 16 . . 3 Word reverse concat
8377, 82eqbrtrd 4457 . 2 Word reverse freeMnd
844, 11, 12, 20, 22, 25, 36, 51, 53, 66, 73, 83qusgrp2 16167 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095   cdif 3458  c0 3770  cop 4020  cotp 4022   class class class wbr 4437   cmpt 4495   cid 4780  con0 4868   cxp 4987   ccom 4993  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283  c1o 7125  c2o 7126   wer 7310  cec 7311  cc0 9495  cfz 11683  chash 12387  Word cword 12516   concat cconcat 12518   splice csplice 12521  reversecreverse 12522  cs2 12788  cbs 14614   cplusg 14679  c0g 14819  cmnd 15898  freeMndcfrmd 15994  cgrp 16032   ~FG cefg 16703  freeGrpcfrgp 16704 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-s1 12527  df-substr 12528  df-splice 12529  df-reverse 12530  df-s2 12795  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-0g 14821  df-imas 14887  df-qus 14888  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-frmd 15996  df-grp 16036  df-efg 16706  df-frgp 16707 This theorem is referenced by:  frgpgrp  16759  frgpinv  16761  frgpmhm  16762
 Copyright terms: Public domain W3C validator