Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frg2woteqm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frg2woteqm 25866
 Description: There is a (simple) path of length 2 from one vertex to another vertex in a friendship graph if and only if there is a (simple) path of length 2 from the other vertex back to the first vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
frg2woteqm FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt

Proof of Theorem frg2woteqm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlkonotv 25684 . . . 4 2WalksOnOt
2 2wlkonotv 25684 . . . 4 2WalksOnOt
31, 2anim12i 576 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt
4 frisusgra 25799 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph USGrph
54adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph USGrph
6 simprr3 1080 . . . . . . . . . . . . 13
7 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13
8 simprr1 1078 . . . . . . . . . . . . 13
96, 7, 83jca 1210 . . . . . . . . . . . 12
10 usg2wlkonot 25690 . . . . . . . . . . . 12 USGrph 2WalksOnOt
115, 9, 10syl2anr 486 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph 2WalksOnOt
12 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12
13 usg2wlkonot 25690 . . . . . . . . . . . 12 USGrph 2WalksOnOt
145, 12, 13syl2anr 486 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph 2WalksOnOt
1511, 14anbi12d 725 . . . . . . . . . 10 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
16 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph FriendGrph
1716adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph FriendGrph
188adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph
196adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph
20 necom 2696 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14
2221ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph
2318, 19, 223jca 1210 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph
24 frgraeu 25861 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph
2517, 23, 24sylc 61 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph
26 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14
28 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14
3027, 29anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . 13
3130eu4 2367 . . . . . . . . . . . 12
32 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3432, 33syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3534eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
36 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
37 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3836, 37syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3938eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4035, 39anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
41 ancom 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4240, 41syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
43 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4443eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
45 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4645eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4744, 46anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4842, 47bi2anan9 890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
49 eqeq12 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
50 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5149, 50syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5248, 51imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5352spc2gv 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5453expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55543ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5655adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 FriendGrph
5958com12 31 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph
6131, 60sylbi 200 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph
6225, 61mpcom 36 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
6315, 62sylbid 223 . . . . . . . . 9 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6463ex 441 . . . . . . . 8 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6564com23 80 . . . . . . 7 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
6665ex 441 . . . . . 6 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
67663ad2ant2 1052 . . . . 5 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
6867adantl 473 . . . 4 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
6968imp 436 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
703, 69mpcom 36 . 2 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
7170com12 31 1 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007  wal 1450   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  weu 2319   wne 2641  cvv 3031  cpr 3961  cotp 3967   class class class wbr 4395   crn 4840  (class class class)co 6308   USGrph cusg 25136   2WalksOnOt c2wlkonot 25662   FriendGrph cfrgra 25795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-usgra 25139  df-wlk 25315  df-wlkon 25321  df-2wlkonot 25665  df-frgra 25796 This theorem is referenced by:  frg2woteq  25867
 Copyright terms: Public domain W3C validator