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Theorem frg2woteqm 25729
Description: There is a (simple) path of length 2 from one vertex to another vertex in a friendship graph if and only if there is a (simple) path of length 2 from the other vertex back to the first vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
frg2woteqm  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  (
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  Q  =  P ) )

Proof of Theorem frg2woteqm
Dummy variables  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlkonotv 25547 . . . 4  |-  ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V
) ) )
2 2wlkonotv 25547 . . . 4  |-  ( <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V
) ) )
31, 2anim12i 568 . . 3  |-  ( (
<. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V
) ) ) )
4 frisusgra 25662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
54adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  V USGrph  E )
6 simprr3 1055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  A  e.  V )
7 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  P  e.  V )
8 simprr1 1053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  B  e.  V )
96, 7, 83jca 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V )
)
10 usg2wlkonot 25553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V )
)  ->  ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <-> 
( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E ) ) )
115, 9, 10syl2anr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E ) ) )
12 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
)
13 usg2wlkonot 25553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A )  <-> 
( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) ) )
145, 12, 13syl2anr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A )  <->  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) ) )
1511, 14anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  <->  ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
16 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  V FriendGrph  E )
1716adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  ->  V FriendGrph  E )
188adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  ->  B  e.  V )
196adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  ->  A  e.  V )
20 necom 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
2120biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =/=  B  ->  B  =/=  A )
2221ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  ->  B  =/=  A )
2318, 19, 223jca 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( B  e.  V  /\  A  e.  V  /\  B  =/=  A
) )
24 frgraeu 25724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  V  /\  B  =/= 
A )  ->  E! p ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E ) ) )
2517, 23, 24sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  ->  E! p ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E ) )
26 preq2 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  q  ->  { B ,  p }  =  { B ,  q }
)
2726eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  q  ->  ( { B ,  p }  e.  ran  E  <->  { B ,  q }  e.  ran  E ) )
28 preq1 4022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  q  ->  { p ,  A }  =  {
q ,  A }
)
2928eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  q  ->  ( { p ,  A }  e.  ran  E  <->  { q ,  A }  e.  ran  E ) )
3027, 29anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  q  ->  (
( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) ) )
3130eu4 2324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! p ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( E. p
( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q ) ) )
32 preq2 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( p  =  P  ->  { B ,  p }  =  { B ,  P }
)
33 prcom 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { B ,  P }  =  { P ,  B }
3432, 33syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  =  P  ->  { B ,  p }  =  { P ,  B }
)
3534eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  P  ->  ( { B ,  p }  e.  ran  E  <->  { P ,  B }  e.  ran  E ) )
36 preq1 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( p  =  P  ->  { p ,  A }  =  { P ,  A }
)
37 prcom 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { P ,  A }  =  { A ,  P }
3836, 37syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  =  P  ->  { p ,  A }  =  { A ,  P }
)
3938eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  P  ->  ( { p ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  P }  e.  ran  E ) )
4035, 39anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  P  ->  (
( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { P ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  P }  e.  ran  E ) ) )
41 ancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( { P ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  P }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E ) )
4240, 41syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  P  ->  (
( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E ) ) )
43 preq2 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( q  =  Q  ->  { B ,  q }  =  { B ,  Q }
)
4443eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  =  Q  ->  ( { B ,  q }  e.  ran  E  <->  { B ,  Q }  e.  ran  E ) )
45 preq1 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( q  =  Q  ->  { q ,  A }  =  { Q ,  A }
)
4645eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  =  Q  ->  ( { q ,  A }  e.  ran  E  <->  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )
4744, 46anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( q  =  Q  ->  (
( { B , 
q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) ) )
4842, 47bi2anan9 881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  =  P  /\  q  =  Q )  ->  ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  {
p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
49 eqeq12 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  =  P  /\  q  =  Q )  ->  ( p  =  q  <-> 
P  =  Q ) )
50 eqcom 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  =  Q  <->  Q  =  P )
5149, 50syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  =  P  /\  q  =  Q )  ->  ( p  =  q  <-> 
Q  =  P ) )
5248, 51imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  =  P  /\  q  =  Q )  ->  ( ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  <->  ( (
( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
5352spc2gv 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  V  /\  Q  e.  V )  ->  ( A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  (
( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
5453expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  e.  V  ->  ( P  e.  V  ->  ( A. p A. q
( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  {
p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  (
( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) ) )
55543ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( P  e.  V  ->  ( A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  (
( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) ) )
5655adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V
) )  ->  ( P  e.  V  ->  ( A. p A. q
( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  {
p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  (
( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) ) )
5756impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  ( A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  ( (
( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
5857adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  (
( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
5958com12 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  ( (
( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
6059adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. p ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  {
p ,  A }  e.  ran  E )  /\  A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q ) )  ->  (
( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V
) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
6131, 60sylbi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E! p ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( (
( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
6225, 61mpcom 37 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) )
6315, 62sylbid 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  Q  =  P )
)
6463ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  A  =/=  B )  ->  (
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  Q  =  P ) ) )
6564com23 81 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  (
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) ) )
6665ex 435 . . . . . 6  |-  ( P  e.  V  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) ) ) )
67663ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) ) ) )
6867adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) ) ) )
6968imp 430 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  (
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) ) )
703, 69mpcom 37 . 2  |-  ( (
<. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) )
7170com12 32 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  (
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  Q  =  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   E!weu 2276    =/= wne 2599   _Vcvv 3022   {cpr 3943   <.cotp 3949   class class class wbr 4366   ran crn 4797  (class class class)co 6249   USGrph cusg 24999   2WalksOnOt c2wlkonot 25525   FriendGrph cfrgra 25658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-ot 3950  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-hash 12466  df-word 12612  df-usgra 25002  df-wlk 25178  df-wlkon 25184  df-2wlkonot 25528  df-frgra 25659
This theorem is referenced by:  frg2woteq  25730
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