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Theorem frg2woteqm 30652
Description: There is a (simple) path of length 2 from one vertex to another vertex in a friendship graph if and only if there is a (simple) path of length 2 from the other vertex back to the first vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
frg2woteqm  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  (
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  Q  =  P ) )

Proof of Theorem frg2woteqm
Dummy variables  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlkonotv 30396 . . . 4  |-  ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V
) ) )
2 2wlkonotv 30396 . . . 4  |-  ( <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V
) ) )
31, 2anim12i 566 . . 3  |-  ( (
<. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V
) ) ) )
4 frisusgra 30584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  V USGrph  E )
6 simprr3 1038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  A  e.  V )
7 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  P  e.  V )
8 simprr1 1036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  B  e.  V )
96, 7, 83jca 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V )
)
10 usg2wlkonot 30402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V )
)  ->  ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <-> 
( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E ) ) )
115, 9, 10syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E ) ) )
12 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
)
13 usg2wlkonot 30402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A )  <-> 
( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) ) )
145, 12, 13syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A )  <->  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) ) )
1511, 14anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  <->  ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
16 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  V FriendGrph  E )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  ->  V FriendGrph  E )
188adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  ->  B  e.  V )
196adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  ->  A  e.  V )
20 necom 2693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
2120biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =/=  B  ->  B  =/=  A )
2221ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  ->  B  =/=  A )
2318, 19, 223jca 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( B  e.  V  /\  A  e.  V  /\  B  =/=  A
) )
24 frgraeu 30647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  V  /\  B  =/= 
A )  ->  E! p ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E ) ) )
2517, 23, 24sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  ->  E! p ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E ) )
26 preq2 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  q  ->  { B ,  p }  =  { B ,  q }
)
2726eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  q  ->  ( { B ,  p }  e.  ran  E  <->  { B ,  q }  e.  ran  E ) )
28 preq1 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  q  ->  { p ,  A }  =  {
q ,  A }
)
2928eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  q  ->  ( { p ,  A }  e.  ran  E  <->  { q ,  A }  e.  ran  E ) )
3027, 29anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  q  ->  (
( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) ) )
3130eu4 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! p ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( E. p
( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q ) ) )
32 preq2 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( p  =  P  ->  { B ,  p }  =  { B ,  P }
)
33 prcom 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { B ,  P }  =  { P ,  B }
3432, 33syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  =  P  ->  { B ,  p }  =  { P ,  B }
)
3534eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  P  ->  ( { B ,  p }  e.  ran  E  <->  { P ,  B }  e.  ran  E ) )
36 preq1 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( p  =  P  ->  { p ,  A }  =  { P ,  A }
)
37 prcom 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { P ,  A }  =  { A ,  P }
3836, 37syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  =  P  ->  { p ,  A }  =  { A ,  P }
)
3938eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  P  ->  ( { p ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  P }  e.  ran  E ) )
4035, 39anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  P  ->  (
( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { P ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  P }  e.  ran  E ) ) )
41 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( { P ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  P }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E ) )
4240, 41syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  P  ->  (
( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E ) ) )
43 preq2 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( q  =  Q  ->  { B ,  q }  =  { B ,  Q }
)
4443eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  =  Q  ->  ( { B ,  q }  e.  ran  E  <->  { B ,  Q }  e.  ran  E ) )
45 preq1 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( q  =  Q  ->  { q ,  A }  =  { Q ,  A }
)
4645eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  =  Q  ->  ( { q ,  A }  e.  ran  E  <->  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )
4744, 46anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( q  =  Q  ->  (
( { B , 
q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) ) )
4842, 47bi2anan9 868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  =  P  /\  q  =  Q )  ->  ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  {
p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
49 eqeq12 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  =  P  /\  q  =  Q )  ->  ( p  =  q  <-> 
P  =  Q ) )
50 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  =  Q  <->  Q  =  P )
5149, 50syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  =  P  /\  q  =  Q )  ->  ( p  =  q  <-> 
Q  =  P ) )
5248, 51imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  =  P  /\  q  =  Q )  ->  ( ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  <->  ( (
( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
5352spc2gv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  V  /\  Q  e.  V )  ->  ( A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  (
( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
5453expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  e.  V  ->  ( P  e.  V  ->  ( A. p A. q
( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  {
p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  (
( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) ) )
55543ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( P  e.  V  ->  ( A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  (
( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) ) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V
) )  ->  ( P  e.  V  ->  ( A. p A. q
( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  {
p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  (
( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) ) )
5756impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  ( A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  ( (
( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  (
( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
5958com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q )  ->  ( (
( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. p ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  {
p ,  A }  e.  ran  E )  /\  A. p A. q ( ( ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  q }  e.  ran  E  /\  { q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  p  =  q ) )  ->  (
( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V
) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
6131, 60sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E! p ( { B ,  p }  e.  ran  E  /\  { p ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( (
( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) ) )
6225, 61mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( ( ( { A ,  P }  e.  ran  E  /\  { P ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  Q }  e.  ran  E  /\  { Q ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  Q  =  P ) )
6315, 62sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B ) )  -> 
( ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  Q  =  P )
)
6463ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  A  =/=  B )  ->  (
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  Q  =  P ) ) )
6564com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  (
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) ) )
6665ex 434 . . . . . 6  |-  ( P  e.  V  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) ) ) )
67663ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) ) ) )
6867adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( ( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) ) ) )
6968imp 429 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  P  e.  V  /\  B  e.  V )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( B  e.  V  /\  Q  e.  V  /\  A  e.  V )
) )  ->  (
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) ) )
703, 69mpcom 36 . 2  |-  ( (
<. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  Q  =  P ) )
7170com12 31 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  A  =/= 
B )  ->  (
( <. A ,  P ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. B ,  Q ,  A >.  e.  ( B ( V 2WalksOnOt  E ) A ) )  ->  Q  =  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E!weu 2253    =/= wne 2606   _Vcvv 2972   {cpr 3879   <.cotp 3885   class class class wbr 4292   ran crn 4841  (class class class)co 6091   USGrph cusg 23264   2WalksOnOt c2wlkonot 30374   FriendGrph cfrgra 30580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-ot 3886  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-word 12229  df-usgra 23266  df-wlk 23415  df-wlkon 23421  df-2wlkonot 30377  df-frgra 30581
This theorem is referenced by:  frg2woteq  30653
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