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Theorem frg2woteq 30824
 Description: There is a (simple) path of length 2 from one vertex to another vertex in a friendship graph if and only if there is a (simple) path of length 2 from the other vertex back to the first vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
frg2woteq FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt

Proof of Theorem frg2woteq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlkonot3v 30565 . . . 4 2WalksOnOt
21adantr 465 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt
3 el2wlkonot 30559 . . . . . 6 2WalksOnOt Walks
4 pm3.22 449 . . . . . . . 8
54anim2i 569 . . . . . . 7
6 el2wlkonot 30559 . . . . . . 7 2WalksOnOt Walks
75, 6syl 16 . . . . . 6 2WalksOnOt Walks
83, 7anbi12d 710 . . . . 5 2WalksOnOt 2WalksOnOt Walks Walks
983adant3 1008 . . . 4 2WalksOnOt 2WalksOnOt Walks Walks
1053adant3 1008 . . . . . . . . . . . . 13
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
13 el2wlkonotot 30563 . . . . . . . . . . . 12 2WalksOnOt Walks
1413bicomd 201 . . . . . . . . . . 11 Walks 2WalksOnOt
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . 10 Walks 2WalksOnOt
16 3simpa 985 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
19 el2wlkonotot 30563 . . . . . . . . . . . . . . 15 2WalksOnOt Walks
2019bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . 14 Walks 2WalksOnOt
2118, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Walks 2WalksOnOt
22 frg2woteqm 30823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
23 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2423fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
28 ot1stg 6704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2927, 28mp3an2 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
32 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
35 ot3rdg 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3934, 38eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4026, 31, 393eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
41 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
42 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4342fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4443ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
46 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
47 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
49 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5046, 48, 493jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5251adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
53 ot1stg 6704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
55 ot3rdg 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5958eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6261eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6362fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6459, 63eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6545, 54, 643eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6640, 41, 653jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6766ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6822, 67syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6968expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7069com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
7170ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
7271ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
73723ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
7574imp31 432 . . . . . . . . . . . . 13 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
7621, 75sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12 Walks 2WalksOnOt FriendGrph
7776expimpd 603 . . . . . . . . . . 11 Walks 2WalksOnOt FriendGrph
7877com23 78 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt Walks FriendGrph
7915, 78sylbid 215 . . . . . . . . 9 Walks Walks FriendGrph
8079expimpd 603 . . . . . . . 8 Walks Walks FriendGrph
8180rexlimdva 2947 . . . . . . 7 Walks Walks FriendGrph
8281com23 78 . . . . . 6 Walks Walks FriendGrph
8382rexlimdva 2947 . . . . 5 Walks Walks FriendGrph
8483impd 431 . . . 4 Walks Walks FriendGrph
859, 84sylbid 215 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
862, 85mpcom 36 . 2 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
8786com12 31 1 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370  wex 1587   wcel 1758   wne 2648  wrex 2800  cvv 3078  cotp 3996   class class class wbr 4403   cxp 4949  cfv 5529  (class class class)co 6203  c1st 6688  c2nd 6689  cc0 9397  c1 9398  c2 10486  chash 12224   Walks cwalk 23584   2WalksOnOt c2wlkonot 30545   FriendGrph cfrgra 30751 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-hash 12225  df-word 12351  df-usgra 23445  df-wlk 23594  df-wlkon 23600  df-2wlkonot 30548  df-frgra 30752 This theorem is referenced by: (None)
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