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Theorem frg2wot1 30655
Description: In a friendship graph, there is exactly one walk of length 2 between two different vertices as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
frg2wot1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1 )

Proof of Theorem frg2wot1
Dummy variables  c 
d  f  p  t  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frg2wotn0 30654 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/) )
2 frisusgra 30589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
3 usgrav 23275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
54anim1i 568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) )
653adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) )
7 el2wlkonot 30393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  d  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
9 el2wlkonot 30393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  c  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
106, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
118, 10anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  d  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  = 
<. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) ) )
12 frg2woteu 30653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
13 oteq2 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  y  ->  <. A ,  x ,  B >.  = 
<. A ,  y ,  B >. )
1413eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  y  ->  ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
1514reu4 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <-> 
( E. x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) ) )
16 oteq2 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  =  c  ->  <. A ,  x ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. )
1716eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  c  ->  ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
1817anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  c  ->  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
19 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
<. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  c  ->  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
21 equequ1 1736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  c  ->  (
x  =  y  <->  c  =  y ) )
22 equcom 1732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( c  =  y  <->  y  =  c )
2321, 22syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  c  ->  (
x  =  y  <->  y  =  c ) )
2420, 23imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  c  ->  (
( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  y  =  c ) ) )
25 oteq2 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  d  ->  <. A , 
y ,  B >.  = 
<. A ,  d ,  B >. )
2625eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  =  d  ->  ( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  d  ->  (
( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
28 equequ1 1736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  d  ->  (
y  =  c  <->  d  =  c ) )
2927, 28imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
y  =  c )  <-> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
d  =  c ) ) )
3024, 29rspc2va 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
d  =  c ) )
31 oteq2 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( d  =  c  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. )
3230, 31syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) )
3332ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3433com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  ->  (
( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  ->  ( ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E. x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3615, 35sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  ->  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3712, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) ) )
3837impl 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) )
39 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
40 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  (
t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
4139, 40bi2anan9 868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
42 eqeq12 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( w  =  t  <->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) )
4341, 42imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )  <->  ( ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
4438, 43syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
4544ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) ) )
4645com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4847com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4948rexlimdva 2846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5049com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( E. d  e.  V  ( w  = 
<. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5150adantrd 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  (
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( E. d  e.  V  ( w  = 
<. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5251rexlimdva 2846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( E. c  e.  V  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5352com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  ( E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) ) )
5453imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
5554com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) )
5611, 55sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
5756pm2.43d 48 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) )
5857alrimivv 1686 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  A. w A. t ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
)
59 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( w  =  t  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6059mo4 2317 . . . . 5  |-  ( E* w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  A. w A. t ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
)
6158, 60sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E* w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
62 n0moeu 3655 . . . 4  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/)  ->  ( E* w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6361, 62syl5ib 219 . . 3  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/)  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
641, 63mpcom 36 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
65 ovex 6121 . . 3  |-  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  e.  _V
66 euhash1 12177 . . 3  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  e.  _V  ->  ( ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1  <->  E! w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6765, 66mp1i 12 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( # `
 ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1  <->  E! w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6864, 67mpbird 232 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E!weu 2253   E*wmo 2254    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   E!wreu 2722   _Vcvv 2977   (/)c0 3642   <.cotp 3890   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0cc0 9287   1c1 9288   2c2 10376   #chash 12108   USGrph cusg 23269   Walks cwalk 23410   2WalksOnOt c2wlkonot 30379   FriendGrph cfrgra 30585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-ot 3891  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-hash 12109  df-word 12234  df-usgra 23271  df-wlk 23420  df-wlkon 23426  df-2wlkonot 30382  df-frgra 30586
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