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Theorem frg2wot1 24849
Description: In a friendship graph, there is exactly one walk of length 2 between two different vertices as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
frg2wot1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1 )

Proof of Theorem frg2wot1
Dummy variables  c 
d  f  p  t  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frg2wotn0 24848 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/) )
2 frisusgra 24783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
3 usgrav 24129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
54anim1i 568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) )
653adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) )
7 el2wlkonot 24660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  d  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
9 el2wlkonot 24660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  c  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
106, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
118, 10anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  d  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  = 
<. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) ) )
12 frg2woteu 24847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
13 oteq2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  y  ->  <. A ,  x ,  B >.  = 
<. A ,  y ,  B >. )
1413eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  y  ->  ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
1514reu4 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <-> 
( E. x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) ) )
16 oteq2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  =  c  ->  <. A ,  x ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. )
1716eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  c  ->  ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
1817anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  c  ->  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
19 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
<. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  c  ->  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
21 equequ1 1747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  c  ->  (
x  =  y  <->  c  =  y ) )
22 equcom 1743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( c  =  y  <->  y  =  c )
2321, 22syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  c  ->  (
x  =  y  <->  y  =  c ) )
2420, 23imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  c  ->  (
( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  y  =  c ) ) )
25 oteq2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  d  ->  <. A , 
y ,  B >.  = 
<. A ,  d ,  B >. )
2625eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  =  d  ->  ( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  d  ->  (
( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
28 equequ1 1747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  d  ->  (
y  =  c  <->  d  =  c ) )
2927, 28imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
y  =  c )  <-> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
d  =  c ) ) )
3024, 29rspc2va 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
d  =  c ) )
31 oteq2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( d  =  c  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. )
3230, 31syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) )
3332ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3433com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  ->  (
( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  ->  ( ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E. x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3615, 35sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  ->  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3712, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) ) )
3837impl 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) )
39 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
40 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  (
t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
4139, 40bi2anan9 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
42 eqeq12 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( w  =  t  <->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) )
4341, 42imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )  <->  ( ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
4438, 43syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
4544ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) ) )
4645com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4847com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4948rexlimdva 2959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5049com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( E. d  e.  V  ( w  = 
<. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5150adantrd 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  (
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( E. d  e.  V  ( w  = 
<. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5251rexlimdva 2959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( E. c  e.  V  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5352com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  ( E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) ) )
5453imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
5554com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) )
5611, 55sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
5756pm2.43d 48 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) )
5857alrimivv 1696 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  A. w A. t ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
)
59 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( w  =  t  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6059mo4 2339 . . . . 5  |-  ( E* w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  A. w A. t ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
)
6158, 60sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E* w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
62 n0moeu 3803 . . . 4  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/)  ->  ( E* w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6361, 62syl5ib 219 . . 3  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/)  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
641, 63mpcom 36 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
65 ovex 6319 . . 3  |-  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  e.  _V
66 euhash1 12455 . . 3  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  e.  _V  ->  ( ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1  <->  E! w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6765, 66mp1i 12 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( # `
 ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1  <->  E! w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6864, 67mpbird 232 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E!weu 2275   E*wmo 2276    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   E!wreu 2819   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   <.cotp 4040   class class class wbr 4452   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   0cc0 9502   1c1 9503   2c2 10595   #chash 12383   USGrph cusg 24121   Walks cwalk 24289   2WalksOnOt c2wlkonot 24646   FriendGrph cfrgra 24779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-hash 12384  df-word 12518  df-usgra 24124  df-wlk 24299  df-wlkon 24305  df-2wlkonot 24649  df-frgra 24780
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