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Theorem frg2wot1 25259
Description: In a friendship graph, there is exactly one walk of length 2 between two different vertices as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
frg2wot1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1 )

Proof of Theorem frg2wot1
Dummy variables  c 
d  f  p  t  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frg2wotn0 25258 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/) )
2 frisusgra 25194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
3 usgrav 24540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
54anim1i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) )
653adant3 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) )
7 el2wlkonot 25071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  d  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
9 el2wlkonot 25071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  c  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
106, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
118, 10anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  d  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  = 
<. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) ) )
12 frg2woteu 25257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
13 oteq2 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  y  ->  <. A ,  x ,  B >.  = 
<. A ,  y ,  B >. )
1413eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  y  ->  ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
1514reu4 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <-> 
( E. x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) ) )
16 oteq2 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  =  c  ->  <. A ,  x ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. )
1716eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  c  ->  ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
1817anbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  c  ->  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
19 ancom 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
<. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  c  ->  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
21 equequ1 1803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  c  ->  (
x  =  y  <->  c  =  y ) )
22 equcom 1799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( c  =  y  <->  y  =  c )
2321, 22syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  c  ->  (
x  =  y  <->  y  =  c ) )
2420, 23imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  c  ->  (
( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  y  =  c ) ) )
25 oteq2 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  d  ->  <. A , 
y ,  B >.  = 
<. A ,  d ,  B >. )
2625eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  =  d  ->  ( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
2726anbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  d  ->  (
( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
28 equequ1 1803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  d  ->  (
y  =  c  <->  d  =  c ) )
2927, 28imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
y  =  c )  <-> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
d  =  c ) ) )
3024, 29rspc2va 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
d  =  c ) )
31 oteq2 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( d  =  c  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. )
3230, 31syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) )
3332ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3433com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  ->  (
( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  ->  ( ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3534adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E. x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3615, 35sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  ->  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3712, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) ) )
3837impl 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) )
39 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
40 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  (
t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
4139, 40bi2anan9 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
42 eqeq12 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( w  =  t  <->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) )
4341, 42imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )  <->  ( ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
4438, 43syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
4544ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) ) )
4645com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4746adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4847com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4948rexlimdva 2946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5049com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( E. d  e.  V  ( w  = 
<. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5150adantrd 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  (
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( E. d  e.  V  ( w  = 
<. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5251rexlimdva 2946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( E. c  e.  V  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5352com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  ( E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) ) )
5453imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
5554com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) )
5611, 55sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
5756pm2.43d 48 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) )
5857alrimivv 1725 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  A. w A. t ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
)
59 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( w  =  t  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6059mo4 2335 . . . . 5  |-  ( E* w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  A. w A. t ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
)
6158, 60sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E* w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
62 n0moeu 3797 . . . 4  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/)  ->  ( E* w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6361, 62syl5ib 219 . . 3  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/)  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
641, 63mpcom 36 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
65 ovex 6298 . . 3  |-  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  e.  _V
66 euhash1 12464 . . 3  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  e.  _V  ->  ( ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1  <->  E! w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6765, 66mp1i 12 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( # `
 ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1  <->  E! w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6864, 67mpbird 232 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   E!weu 2284   E*wmo 2285    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   E!wreu 2806   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   <.cotp 4024   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482   2c2 10581   #chash 12387   USGrph cusg 24532   Walks cwalk 24700   2WalksOnOt c2wlkonot 25057   FriendGrph cfrgra 25190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-usgra 24535  df-wlk 24710  df-wlkon 24716  df-2wlkonot 25060  df-frgra 25191
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