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Theorem frg2wot1 25768
Description: In a friendship graph, there is exactly one walk of length 2 between two different vertices as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
frg2wot1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1 )

Proof of Theorem frg2wot1
Dummy variables  c 
d  f  p  t  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frg2wotn0 25767 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/) )
2 frisusgra 25703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
3 usgrav 25049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
54anim1i 570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) )
653adant3 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) )
7 el2wlkonot 25580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  d  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
9 el2wlkonot 25580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  c  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
106, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
118, 10anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  d  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  = 
<. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) ) )
12 frg2woteu 25766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
13 oteq2 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  y  ->  <. A ,  x ,  B >.  = 
<. A ,  y ,  B >. )
1413eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  y  ->  ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
1514reu4 3265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <-> 
( E. x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) ) )
16 oteq2 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  =  c  ->  <. A ,  x ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. )
1716eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  c  ->  ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
1817anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  c  ->  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
19 ancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
<. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
2018, 19syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  c  ->  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
21 equequ1 1848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  c  ->  (
x  =  y  <->  c  =  y ) )
22 equcom 1844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( c  =  y  <->  y  =  c )
2321, 22syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  c  ->  (
x  =  y  <->  y  =  c ) )
2420, 23imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  c  ->  (
( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  y  =  c ) ) )
25 oteq2 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  d  ->  <. A , 
y ,  B >.  = 
<. A ,  d ,  B >. )
2625eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  =  d  ->  ( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
2726anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  d  ->  (
( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
28 equequ1 1848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  d  ->  (
y  =  c  <->  d  =  c ) )
2927, 28imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
y  =  c )  <-> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
d  =  c ) ) )
3024, 29rspc2va 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
d  =  c ) )
31 oteq2 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( d  =  c  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. )
3230, 31syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) )
3332ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3433com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  ->  (
( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  ->  ( ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3534adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E. x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3615, 35sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  ->  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3712, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) ) )
3837impl 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) )
39 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
40 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  (
t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
4139, 40bi2anan9 881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
42 eqeq12 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( w  =  t  <->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) )
4341, 42imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )  <->  ( ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
4438, 43syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
4544ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) ) )
4645com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4746adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4847com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4948rexlimdva 2917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5049com23 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( E. d  e.  V  ( w  = 
<. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5150adantrd 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  (
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( E. d  e.  V  ( w  = 
<. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5251rexlimdva 2917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( E. c  e.  V  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5352com13 83 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  ( E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) ) )
5453imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
5554com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) )
5611, 55sylbid 218 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
5756pm2.43d 50 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) )
5857alrimivv 1764 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  A. w A. t ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
)
59 eleq1 2494 . . . . . 6  |-  ( w  =  t  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6059mo4 2313 . . . . 5  |-  ( E* w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  A. w A. t ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
)
6158, 60sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E* w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
62 n0moeu 3775 . . . 4  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/)  ->  ( E* w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6361, 62syl5ib 222 . . 3  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/)  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
641, 63mpcom 37 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
65 ovex 6329 . . 3  |-  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  e.  _V
66 euhash1 12591 . . 3  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  e.  _V  ->  ( ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1  <->  E! w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6765, 66mp1i 13 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( # `
 ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1  <->  E! w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6864, 67mpbird 235 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868   E!weu 2265   E*wmo 2266    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   E!wreu 2777   _Vcvv 3081   (/)c0 3761   <.cotp 4004   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   0cc0 9539   1c1 9540   2c2 10659   #chash 12514   USGrph cusg 25041   Walks cwalk 25209   2WalksOnOt c2wlkonot 25566   FriendGrph cfrgra 25699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-ot 4005  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12515  df-word 12654  df-usgra 25044  df-wlk 25219  df-wlkon 25225  df-2wlkonot 25569  df-frgra 25700
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