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Theorem frg2wot1 25785
Description: In a friendship graph, there is exactly one walk of length 2 between two different vertices as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
frg2wot1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1 )

Proof of Theorem frg2wot1
Dummy variables  c 
d  f  p  t  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frg2wotn0 25784 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/) )
2 frisusgra 25720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
3 usgrav 25065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
54anim1i 572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) )
653adant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) )
7 el2wlkonot 25597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  d  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
9 el2wlkonot 25597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  c  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
106, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
118, 10anbi12d 717 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0
)  /\  d  =  ( p `  1
)  /\  B  =  ( p `  2
) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  = 
<. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) ) )
12 frg2woteu 25783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
13 oteq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  y  ->  <. A ,  x ,  B >.  = 
<. A ,  y ,  B >. )
1413eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  y  ->  ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
1514reu4 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <-> 
( E. x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) ) )
16 oteq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  =  c  ->  <. A ,  x ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. )
1716eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  c  ->  ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
1817anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  c  ->  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
19 ancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
<. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
2018, 19syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  c  ->  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
21 equequ1 1867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  c  ->  (
x  =  y  <->  c  =  y ) )
22 equcom 1862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( c  =  y  <->  y  =  c )
2321, 22syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  c  ->  (
x  =  y  <->  y  =  c ) )
2420, 23imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  c  ->  (
( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  y  =  c ) ) )
25 oteq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  d  ->  <. A , 
y ,  B >.  = 
<. A ,  d ,  B >. )
2625eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  =  d  ->  ( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
2726anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  d  ->  (
( <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
28 equequ1 1867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  d  ->  (
y  =  c  <->  d  =  c ) )
2927, 28imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( <. A , 
y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
y  =  c )  <-> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
d  =  c ) ) )
3024, 29rspc2va 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  -> 
d  =  c ) )
31 oteq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( d  =  c  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. )
3230, 31syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) )
3332ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3433com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y )  ->  (
( c  e.  V  /\  d  e.  V
)  ->  ( ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3534adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E. x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  y ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  x  =  y ) )  -> 
( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3615, 35sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E! x  e.  V  <. A ,  x ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  ->  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
3712, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( ( <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) ) )
3837impl 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) )
39 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
40 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  (
t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  <. A , 
c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
4139, 40bi2anan9 884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  <->  ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) ) )
42 eqeq12 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( w  =  t  <->  <. A ,  d ,  B >.  =  <. A ,  c ,  B >. ) )
4341, 42imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )  <->  ( ( <. A ,  d ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  <. A ,  c ,  B >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  <. A , 
d ,  B >.  = 
<. A ,  c ,  B >. ) ) )
4438, 43syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\  t  =  <. A , 
c ,  B >. )  ->  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
4544ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) ) )
4645com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  ->  (
( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4746adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4847com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  /\  d  e.  V )  ->  (
( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
4948rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  ->  ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5049com23 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  -> 
( E. d  e.  V  ( w  = 
<. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5150adantrd 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  /\  c  e.  V )  ->  (
( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( E. d  e.  V  ( w  = 
<. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5251rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( E. c  e.  V  (
t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) ) )
5352com13 83 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A , 
d ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  ( E. c  e.  V  ( t  =  <. A ,  c ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) ) )
5453imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
5554com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( E. d  e.  V  ( w  =  <. A ,  d ,  B >.  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  d  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) )  /\  E. c  e.  V  ( t  =  <. A , 
c ,  B >.  /\ 
E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  c  =  ( p `  1 )  /\  B  =  ( p `  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
) )
5611, 55sylbid 219 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) ) )
5756pm2.43d 50 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t ) )
5857alrimivv 1774 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  A. w A. t ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
)
59 eleq1 2517 . . . . . 6  |-  ( w  =  t  ->  (
w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6059mo4 2346 . . . . 5  |-  ( E* w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  A. w A. t ( ( w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  /\  t  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  ->  w  =  t )
)
6158, 60sylibr 216 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E* w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
62 n0moeu 3745 . . . 4  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/)  ->  ( E* w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  <->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6361, 62syl5ib 223 . . 3  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  =/=  (/)  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
641, 63mpcom 37 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  E! w  w  e.  ( A
( V 2WalksOnOt  E ) B ) )
65 ovex 6318 . . 3  |-  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  e.  _V
66 euhash1 12594 . . 3  |-  ( ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B )  e.  _V  ->  ( ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1  <->  E! w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6765, 66mp1i 13 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( # `
 ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1  <->  E! w  w  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) ) )
6864, 67mpbird 236 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  A  =/=  B
)  ->  ( # `  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) B ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   E!weu 2299   E*wmo 2300    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   E!wreu 2739   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   <.cotp 3976   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   0cc0 9539   1c1 9540   2c2 10659   #chash 12515   USGrph cusg 25057   Walks cwalk 25226   2WalksOnOt c2wlkonot 25583   FriendGrph cfrgra 25716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-usgra 25060  df-wlk 25236  df-wlkon 25242  df-2wlkonot 25586  df-frgra 25717
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