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Theorem frg2wot1 25785
 Description: In a friendship graph, there is exactly one walk of length 2 between two different vertices as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
frg2wot1 FriendGrph 2WalksOnOt

Proof of Theorem frg2wot1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frg2wotn0 25784 . . 3 FriendGrph 2WalksOnOt
2 frisusgra 25720 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph USGrph
3 usgrav 25065 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph
54anim1i 572 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph
653adant3 1028 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
7 el2wlkonot 25597 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt Walks
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 FriendGrph 2WalksOnOt Walks
9 el2wlkonot 25597 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt Walks
106, 9syl 17 . . . . . . . . 9 FriendGrph 2WalksOnOt Walks
118, 10anbi12d 717 . . . . . . . 8 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt Walks Walks
12 frg2woteu 25783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 FriendGrph 2WalksOnOt
13 oteq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1413eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2WalksOnOt 2WalksOnOt
1514reu4 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
16 oteq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1716eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2WalksOnOt 2WalksOnOt
1817anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
19 ancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
2018, 19syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
21 equequ1 1867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22 equcom 1862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2321, 22syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2420, 23imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
25 oteq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2625eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2WalksOnOt 2WalksOnOt
2726anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
28 equequ1 1867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2927, 28imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
3024, 29rspc2va 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
31 oteq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3230, 31syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
3332ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
3433com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
3534adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
3615, 35sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
3712, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
3837impl 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
39 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2WalksOnOt 2WalksOnOt
40 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2WalksOnOt 2WalksOnOt
4139, 40bi2anan9 884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
42 eqeq12 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4341, 42imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
4438, 43syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
4544ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
4645com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
4746adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Walks FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
4847com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 FriendGrph Walks 2WalksOnOt 2WalksOnOt
4948rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . . . . 14 FriendGrph Walks 2WalksOnOt 2WalksOnOt
5049com23 81 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph Walks 2WalksOnOt 2WalksOnOt
5150adantrd 470 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph Walks Walks 2WalksOnOt 2WalksOnOt
5251rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph Walks Walks 2WalksOnOt 2WalksOnOt
5352com13 83 . . . . . . . . . 10 Walks Walks FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
5453imp 431 . . . . . . . . 9 Walks Walks FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
5554com12 32 . . . . . . . 8 FriendGrph Walks Walks 2WalksOnOt 2WalksOnOt
5611, 55sylbid 219 . . . . . . 7 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
5756pm2.43d 50 . . . . . 6 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
5857alrimivv 1774 . . . . 5 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
59 eleq1 2517 . . . . . 6 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6059mo4 2346 . . . . 5 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6158, 60sylibr 216 . . . 4 FriendGrph 2WalksOnOt
62 n0moeu 3745 . . . 4 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6361, 62syl5ib 223 . . 3 2WalksOnOt FriendGrph 2WalksOnOt
641, 63mpcom 37 . 2 FriendGrph 2WalksOnOt
65 ovex 6318 . . 3 2WalksOnOt
66 euhash1 12594 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6765, 66mp1i 13 . 2 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6864, 67mpbird 236 1 FriendGrph 2WalksOnOt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985  wal 1442   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  weu 2299  wmo 2300   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  wreu 2739  cvv 3045  c0 3731  cotp 3976   class class class wbr 4402  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc0 9539  c1 9540  c2 10659  chash 12515   USGrph cusg 25057   Walks cwalk 25226   2WalksOnOt c2wlkonot 25583   FriendGrph cfrgra 25716 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-usgra 25060  df-wlk 25236  df-wlkon 25242  df-2wlkonot 25586  df-frgra 25717 This theorem is referenced by:  frg2spot1  25786
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