MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frfnom Structured version   Unicode version

Theorem frfnom 7160
Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfnom  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om

Proof of Theorem frfnom
StepHypRef Expression
1 rdgfun 7142 . . 3  |-  Fun  rec ( F ,  A )
2 funres 5640 . . 3  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  ->  Fun  ( rec ( F ,  A )  |`  om )
)
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )
4 dmres 5145 . . 3  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A
) )
5 rdgdmlim 7143 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
6 limomss 6711 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
8 df-ss 3456 . . . 4  |-  ( om  C_  dom  rec ( F ,  A )  <->  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om )
97, 8mpbi 211 . . 3  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om
104, 9eqtri 2458 . 2  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  om
11 df-fn 5604 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om )  Fn  om  <->  ( Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  /\  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  om )  =  om ) )
123, 10, 11mpbir2an 928 1  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    i^i cin 3441    C_ wss 3442   dom cdm 4854    |` cres 4856   Lim wlim 5443   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   omcom 6706   reccrdg 7135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136
This theorem is referenced by:  frsucmptn  7164  seqomlem2  7176  seqomlem3  7177  seqomlem4  7178  unblem4  7832  dffi3  7951  inf0  8126  inf3lem6  8138  alephfplem4  8536  alephfp  8537  infpssrlem3  8733  itunifn  8845  hsmexlem5  8858  axdclem2  8948  wunex2  9162  wuncval2  9171  peano5nni  10612  1nn  10620  peano2nn  10621  om2uzrani  12163  om2uzf1oi  12164  uzrdglem  12168  uzrdgfni  12169  uzrdg0i  12170  hashkf  12514  hashgval2  12554  dftrpred2  30247  trpredpred  30256  trpredex  30265  neibastop2lem  30801
  Copyright terms: Public domain W3C validator