MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frfnom Unicode version

Theorem frfnom 6333
Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfnom  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om

Proof of Theorem frfnom
StepHypRef Expression
1 rdgfun 6315 . . 3  |-  Fun  rec ( F ,  A )
2 funres 5150 . . 3  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  ->  Fun  ( rec ( F ,  A )  |`  om )
)
31, 2ax-mp 10 . 2  |-  Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )
4 dmres 4883 . . 3  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A
) )
5 rdgdmlim 6316 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
6 limomss 4552 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
75, 6ax-mp 10 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
8 df-ss 3089 . . . 4  |-  ( om  C_  dom  rec ( F ,  A )  <->  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om )
97, 8mpbi 201 . . 3  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om
104, 9eqtri 2273 . 2  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  om
11 df-fn 4603 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om )  Fn  om  <->  ( Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  /\  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  om )  =  om ) )
123, 10, 11mpbir2an 891 1  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    i^i cin 3077    C_ wss 3078   Lim wlim 4286   omcom 4547   dom cdm 4580    |` cres 4582   Fun wfun 4586    Fn wfn 4587   reccrdg 6308
This theorem is referenced by:  frsucmptn  6337  seqomlem2  6349  seqomlem3  6350  seqomlem4  6351  unblem4  6997  dffi3  7068  inf0  7206  inf3lem6  7218  alephfplem4  7618  alephfp  7619  infpssrlem3  7815  itunifn  7927  hsmexlem5  7940  axdclem2  8031  wunex2  8240  wuncval2  8249  peano5nni  9629  1nn  9637  peano2nn  9638  om2uzrani  10893  om2uzf1oi  10894  uzrdglem  10898  uzrdgfni  10899  uzrdg0i  10900  hashkf  11217  hashgval2  11238  dftrpred2  23390  trpredpred  23399  trpredex  23408  neibastop2lem  25475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309
  Copyright terms: Public domain W3C validator