MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frfnom Structured version   Unicode version

Theorem frfnom 6890
Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfnom  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om

Proof of Theorem frfnom
StepHypRef Expression
1 rdgfun 6872 . . 3  |-  Fun  rec ( F ,  A )
2 funres 5457 . . 3  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  ->  Fun  ( rec ( F ,  A )  |`  om )
)
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )
4 dmres 5131 . . 3  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A
) )
5 rdgdmlim 6873 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
6 limomss 6481 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
8 df-ss 3342 . . . 4  |-  ( om  C_  dom  rec ( F ,  A )  <->  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om )
97, 8mpbi 208 . . 3  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om
104, 9eqtri 2463 . 2  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  om
11 df-fn 5421 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om )  Fn  om  <->  ( Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  /\  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  om )  =  om ) )
123, 10, 11mpbir2an 911 1  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    i^i cin 3327    C_ wss 3328   Lim wlim 4720   dom cdm 4840    |` cres 4842   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   omcom 6476   reccrdg 6865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866
This theorem is referenced by:  frsucmptn  6894  seqomlem2  6906  seqomlem3  6907  seqomlem4  6908  unblem4  7567  dffi3  7681  inf0  7827  inf3lem6  7839  alephfplem4  8277  alephfp  8278  infpssrlem3  8474  itunifn  8586  hsmexlem5  8599  axdclem2  8689  wunex2  8905  wuncval2  8914  peano5nni  10325  1nn  10333  peano2nn  10334  om2uzrani  11775  om2uzf1oi  11776  uzrdglem  11780  uzrdgfni  11781  uzrdg0i  11782  hashkf  12105  hashgval2  12141  dftrpred2  27683  trpredpred  27692  trpredex  27701  neibastop2lem  28581
  Copyright terms: Public domain W3C validator