MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frfnom Structured version   Unicode version

Theorem frfnom 7101
Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfnom  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om

Proof of Theorem frfnom
StepHypRef Expression
1 rdgfun 7083 . . 3  |-  Fun  rec ( F ,  A )
2 funres 5627 . . 3  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  ->  Fun  ( rec ( F ,  A )  |`  om )
)
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )
4 dmres 5294 . . 3  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A
) )
5 rdgdmlim 7084 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
6 limomss 6690 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
8 df-ss 3490 . . . 4  |-  ( om  C_  dom  rec ( F ,  A )  <->  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om )
97, 8mpbi 208 . . 3  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om
104, 9eqtri 2496 . 2  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  om
11 df-fn 5591 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om )  Fn  om  <->  ( Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  /\  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  om )  =  om ) )
123, 10, 11mpbir2an 918 1  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    i^i cin 3475    C_ wss 3476   Lim wlim 4879   dom cdm 4999    |` cres 5001   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   omcom 6685   reccrdg 7076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077
This theorem is referenced by:  frsucmptn  7105  seqomlem2  7117  seqomlem3  7118  seqomlem4  7119  unblem4  7776  dffi3  7892  inf0  8039  inf3lem6  8051  alephfplem4  8489  alephfp  8490  infpssrlem3  8686  itunifn  8798  hsmexlem5  8811  axdclem2  8901  wunex2  9117  wuncval2  9126  peano5nni  10540  1nn  10548  peano2nn  10549  om2uzrani  12032  om2uzf1oi  12033  uzrdglem  12037  uzrdgfni  12038  uzrdg0i  12039  hashkf  12376  hashgval2  12415  dftrpred2  29155  trpredpred  29164  trpredex  29173  neibastop2lem  30008
  Copyright terms: Public domain W3C validator