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Theorem frfi 7820
Description: A partial order is well-founded on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfi  |-  ( ( R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Fr  A )

Proof of Theorem frfi
Dummy variables  u  v  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poeq2 4776 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R  Po  x  <->  R  Po  (/) ) )
2 freq2 4822 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R  Fr  x  <->  R  Fr  (/) ) )
31, 2imbi12d 322 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <->  ( R  Po  (/)  ->  R  Fr  (/) ) ) )
4 poeq2 4776 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  Po  x  <->  R  Po  y ) )
5 freq2 4822 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  Fr  x  <->  R  Fr  y ) )
64, 5imbi12d 322 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <-> 
( R  Po  y  ->  R  Fr  y ) ) )
7 poeq2 4776 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Po  x 
<->  R  Po  ( y  u.  { w }
) ) )
8 freq2 4822 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Fr  x 
<->  R  Fr  ( y  u.  { w }
) ) )
97, 8imbi12d 322 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( ( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Fr  ( y  u.  { w } ) ) ) )
10 poeq2 4776 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( R  Po  x  <->  R  Po  A ) )
11 freq2 4822 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( R  Fr  x  <->  R  Fr  A ) )
1210, 11imbi12d 322 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <-> 
( R  Po  A  ->  R  Fr  A ) ) )
13 fr0 4830 . . . 4  |-  R  Fr  (/)
1413a1i 11 . . 3  |-  ( R  Po  (/)  ->  R  Fr  (/) )
15 ssun1 3630 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( y  u.  {
w } )
16 poss 4774 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Po  y )
)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( R  Po  ( y  u. 
{ w } )  ->  R  Po  y
)
1817imim1i 61 . . . . 5  |-  ( ( R  Po  y  ->  R  Fr  y )  ->  ( R  Po  (
y  u.  { w } )  ->  R  Fr  y ) )
19 uncom 3611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  u.  { w }
)  =  ( { w }  u.  y
)
2019sseq2i 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  <-> 
x  C_  ( {
w }  u.  y
) )
21 ssundif 3880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( { w }  u.  y )  <->  ( x  \  { w } )  C_  y
)
2220, 21bitri 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  <-> 
( x  \  {
w } )  C_  y )
2322anbi1i 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  ( y  u.  { w } )  /\  x  =/=  (/) )  <->  ( (
x  \  { w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )
24 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  (
v R w  <->  z R w ) )
2524cbvrexv 3057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. v  e.  x  v R w  <->  E. z  e.  x  z R w )
26 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  R  Fr  y )
27 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( x  \  { w } ) 
C_  y )
28 poss 4774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Po  x )
)
2928impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  x  C_  (
y  u.  { w } ) )  ->  R  Po  x )
3022, 29sylan2br 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  ( x  \  { w } ) 
C_  y )  ->  R  Po  x )
3130ad2ant2r 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  R  Po  x
)
32 simpr1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  e.  x )
33 simpr2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z R w )
34 poirr 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Po  x  /\  w  e.  x )  ->  -.  w R w )
35343ad2antr3 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  -.  w R w )
36 nbrne2 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z R w  /\  -.  w R w )  ->  z  =/=  w
)
3733, 35, 36syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  =/=  w )
38 eldifsn 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( x  \  { w } )  <-> 
( z  e.  x  /\  z  =/=  w
) )
3932, 37, 38sylanbrc 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  e.  ( x  \  { w } ) )
4031, 39sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  e.  ( x  \  { w } ) )
41 ne0i 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( x  \  { w } )  ->  ( x  \  { w } )  =/=  (/) )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( x  \  { w } )  =/=  (/) )
43 difss 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
\  { w }
)  C_  x
44 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
45 difexg 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  { w } )  e.  _V )
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
\  { w }
)  e.  _V
47 fri 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  \  { w } )  e.  _V  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  ( x  \  { w } )  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  (
x  \  { w } ) A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )
4846, 47mpanl1 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  (
x  \  { w } )  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  ( x  \  { w } ) A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )
49 ssrexv 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { w } )  C_  x  ->  ( E. u  e.  ( x  \  {
w } ) A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u ) )
5043, 48, 49mpsyl 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  (
x  \  { w } )  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u )
5126, 27, 42, 50syl12anc 1263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )
52 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  z  ->  (
v R u  <->  z R u ) )
5352notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  z  ->  ( -.  v R u  <->  -.  z R u ) )
5453rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( x  \  { w } )  ->  ( A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u  ->  -.  z R u ) )
5539, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  -.  z R u ) )
5655adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  -.  z R u ) )
57 simplr2 1049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  z R w )
58 simpll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  R  Po  x )
59 simplr1 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  z  e.  x )
60 simplr3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  w  e.  x )
61 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  u  e.  x )
62 potr 4784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  x  /\  u  e.  x
) )  ->  (
( z R w  /\  w R u )  ->  z R u ) )
6358, 59, 60, 61, 62syl13anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  (
( z R w  /\  w R u )  ->  z R u ) )
6457, 63mpand 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  (
w R u  -> 
z R u ) )
6564con3d 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( -.  z R u  ->  -.  w R u ) )
66 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  w  e. 
_V
67 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  w  ->  (
v R u  <->  w R u ) )
6867notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  w  ->  ( -.  v R u  <->  -.  w R u ) )
6966, 68ralsn 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. v  e.  { w }  -.  v R u  <->  -.  w R u )
7065, 69syl6ibr 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( -.  z R u  ->  A. v  e.  { w }  -.  v R u ) )
7156, 70syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  A. v  e.  { w }  -.  v R u ) )
72 ralun 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  /\  A. v  e.  { w }  -.  v R u )  ->  A. v  e.  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  -.  v R u )
7372ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  ( A. v  e.  { w }  -.  v R u  ->  A. v  e.  ( ( x  \  { w } )  u.  { w }
)  -.  v R u ) )
7471, 73sylcom 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  A. v  e.  ( ( x  \  { w } )  u.  { w }
)  -.  v R u ) )
75 difsnid 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  x  ->  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  =  x )
7675raleqdv 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  x  ->  ( A. v  e.  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
7760, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
7874, 77sylibd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
7978reximdva 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
8031, 79sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
8151, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u )
82813exp2 1224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( z  e.  x  ->  ( z R w  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) ) )
8382rexlimdv 2916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( E. z  e.  x  z R w  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
8425, 83syl5bi 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( E. v  e.  x  v R w  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
85 ralnex 2872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v  e.  x  -.  v R w  <->  -.  E. v  e.  x  v R w )
86 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  w  ->  (
v R u  <->  v R w ) )
8786notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  w  ->  ( -.  v R u  <->  -.  v R w ) )
8887ralbidv 2865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  w  ->  ( A. v  e.  x  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R w ) )
8988rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  x  /\  A. v  e.  x  -.  v R w )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u )
9089expcom 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v  e.  x  -.  v R w  ->  (
w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9185, 90sylbir 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. v  e.  x  v R w  ->  (
w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9284, 91pm2.61d1 163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
93 difsn 4132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  w  e.  x  -> 
( x  \  {
w } )  =  x )
9450expr 619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( (
x  \  { w } )  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u ) )
95 neeq1 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( ( x 
\  { w }
)  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) ) )
96 raleq 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9796rexbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u  <->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9895, 97imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( ( ( x  \  { w } )  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )  <-> 
( x  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
9994, 98syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( (
x  \  { w } )  =  x  ->  ( x  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
10099com23 82 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
x  \  { w } )  =  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
101100adantll 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
x  \  { w } )  =  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
102101impr 624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( ( x 
\  { w }
)  =  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
10393, 102syl5 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( -.  w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
10492, 103pm2.61d 162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u )
105104ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  (
( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
10623, 105syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  (
( x  C_  (
y  u.  { w } )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
107106alrimiv 1764 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  A. x
( ( x  C_  ( y  u.  {
w } )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
108 df-fr 4810 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  ( y  u. 
{ w } )  <->  A. x ( ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
109107, 108sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  R  Fr  ( y  u.  {
w } ) )
110109ex 436 . . . . 5  |-  ( R  Po  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Fr  y  ->  R  Fr  (
y  u.  { w } ) ) )
11118, 110sylcom 31 . . . 4  |-  ( ( R  Po  y  ->  R  Fr  y )  ->  ( R  Po  (
y  u.  { w } )  ->  R  Fr  ( y  u.  {
w } ) ) )
112111a1i 11 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( R  Po  y  ->  R  Fr  y )  ->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Fr  ( y  u.  { w } ) ) ) )
1133, 6, 9, 12, 14, 112findcard2 7815 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( R  Po  A  ->  R  Fr  A ) )
114113impcom 432 1  |-  ( ( R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Fr  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983   A.wal 1436    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   class class class wbr 4421    Po wpo 4770    Fr wfr 4807   Fincfn 7575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-om 6705  df-1o 7188  df-er 7369  df-en 7576  df-fin 7579
This theorem is referenced by:  fimax2g  7821  wofi  7824  fimin2g  8017  isfin1-3  8818
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