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Theorem frfi 7816
Description: A partial order is well-founded on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfi  |-  ( ( R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Fr  A )

Proof of Theorem frfi
Dummy variables  u  v  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poeq2 4759 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R  Po  x  <->  R  Po  (/) ) )
2 freq2 4805 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R  Fr  x  <->  R  Fr  (/) ) )
31, 2imbi12d 322 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <->  ( R  Po  (/)  ->  R  Fr  (/) ) ) )
4 poeq2 4759 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  Po  x  <->  R  Po  y ) )
5 freq2 4805 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  Fr  x  <->  R  Fr  y ) )
64, 5imbi12d 322 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <-> 
( R  Po  y  ->  R  Fr  y ) ) )
7 poeq2 4759 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Po  x 
<->  R  Po  ( y  u.  { w }
) ) )
8 freq2 4805 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Fr  x 
<->  R  Fr  ( y  u.  { w }
) ) )
97, 8imbi12d 322 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( ( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Fr  ( y  u.  { w } ) ) ) )
10 poeq2 4759 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( R  Po  x  <->  R  Po  A ) )
11 freq2 4805 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( R  Fr  x  <->  R  Fr  A ) )
1210, 11imbi12d 322 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <-> 
( R  Po  A  ->  R  Fr  A ) ) )
13 fr0 4813 . . . 4  |-  R  Fr  (/)
1413a1i 11 . . 3  |-  ( R  Po  (/)  ->  R  Fr  (/) )
15 ssun1 3597 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( y  u.  {
w } )
16 poss 4757 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Po  y )
)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( R  Po  ( y  u. 
{ w } )  ->  R  Po  y
)
1817imim1i 60 . . . . 5  |-  ( ( R  Po  y  ->  R  Fr  y )  ->  ( R  Po  (
y  u.  { w } )  ->  R  Fr  y ) )
19 uncom 3578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  u.  { w }
)  =  ( { w }  u.  y
)
2019sseq2i 3457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  <-> 
x  C_  ( {
w }  u.  y
) )
21 ssundif 3851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( { w }  u.  y )  <->  ( x  \  { w } )  C_  y
)
2220, 21bitri 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  <-> 
( x  \  {
w } )  C_  y )
2322anbi1i 701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  ( y  u.  { w } )  /\  x  =/=  (/) )  <->  ( (
x  \  { w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )
24 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  (
v R w  <->  z R w ) )
2524cbvrexv 3020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. v  e.  x  v R w  <->  E. z  e.  x  z R w )
26 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  R  Fr  y )
27 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( x  \  { w } ) 
C_  y )
28 poss 4757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Po  x )
)
2928impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  x  C_  (
y  u.  { w } ) )  ->  R  Po  x )
3022, 29sylan2br 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  ( x  \  { w } ) 
C_  y )  ->  R  Po  x )
3130ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  R  Po  x
)
32 simpr1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  e.  x )
33 simpr2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z R w )
34 poirr 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Po  x  /\  w  e.  x )  ->  -.  w R w )
35343ad2antr3 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  -.  w R w )
36 nbrne2 4421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z R w  /\  -.  w R w )  ->  z  =/=  w
)
3733, 35, 36syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  =/=  w )
38 eldifsn 4097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( x  \  { w } )  <-> 
( z  e.  x  /\  z  =/=  w
) )
3932, 37, 38sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  e.  ( x  \  { w } ) )
4031, 39sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  e.  ( x  \  { w } ) )
41 ne0i 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( x  \  { w } )  ->  ( x  \  { w } )  =/=  (/) )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( x  \  { w } )  =/=  (/) )
43 difss 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
\  { w }
)  C_  x
44 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
45 difexg 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  { w } )  e.  _V )
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
\  { w }
)  e.  _V
47 fri 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  \  { w } )  e.  _V  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  ( x  \  { w } )  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  (
x  \  { w } ) A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )
4846, 47mpanl1 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  (
x  \  { w } )  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  ( x  \  { w } ) A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )
49 ssrexv 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { w } )  C_  x  ->  ( E. u  e.  ( x  \  {
w } ) A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u ) )
5043, 48, 49mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  (
x  \  { w } )  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u )
5126, 27, 42, 50syl12anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )
52 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  z  ->  (
v R u  <->  z R u ) )
5352notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  z  ->  ( -.  v R u  <->  -.  z R u ) )
5453rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( x  \  { w } )  ->  ( A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u  ->  -.  z R u ) )
5539, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  -.  z R u ) )
5655adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  -.  z R u ) )
57 simplr2 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  z R w )
58 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  R  Po  x )
59 simplr1 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  z  e.  x )
60 simplr3 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  w  e.  x )
61 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  u  e.  x )
62 potr 4767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  x  /\  u  e.  x
) )  ->  (
( z R w  /\  w R u )  ->  z R u ) )
6358, 59, 60, 61, 62syl13anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  (
( z R w  /\  w R u )  ->  z R u ) )
6457, 63mpand 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  (
w R u  -> 
z R u ) )
6564con3d 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( -.  z R u  ->  -.  w R u ) )
66 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  w  e. 
_V
67 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  w  ->  (
v R u  <->  w R u ) )
6867notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  w  ->  ( -.  v R u  <->  -.  w R u ) )
6966, 68ralsn 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. v  e.  { w }  -.  v R u  <->  -.  w R u )
7065, 69syl6ibr 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( -.  z R u  ->  A. v  e.  { w }  -.  v R u ) )
7156, 70syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  A. v  e.  { w }  -.  v R u ) )
72 ralun 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  /\  A. v  e.  { w }  -.  v R u )  ->  A. v  e.  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  -.  v R u )
7372ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  ( A. v  e.  { w }  -.  v R u  ->  A. v  e.  ( ( x  \  { w } )  u.  { w }
)  -.  v R u ) )
7471, 73sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  A. v  e.  ( ( x  \  { w } )  u.  { w }
)  -.  v R u ) )
75 difsnid 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  x  ->  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  =  x )
7675raleqdv 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  x  ->  ( A. v  e.  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
7760, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
7874, 77sylibd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
7978reximdva 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
8031, 79sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
8151, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u )
82813exp2 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( z  e.  x  ->  ( z R w  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) ) )
8382rexlimdv 2877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( E. z  e.  x  z R w  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
8425, 83syl5bi 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( E. v  e.  x  v R w  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
85 ralnex 2834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v  e.  x  -.  v R w  <->  -.  E. v  e.  x  v R w )
86 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  w  ->  (
v R u  <->  v R w ) )
8786notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  w  ->  ( -.  v R u  <->  -.  v R w ) )
8887ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  w  ->  ( A. v  e.  x  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R w ) )
8988rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  x  /\  A. v  e.  x  -.  v R w )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u )
9089expcom 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v  e.  x  -.  v R w  ->  (
w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9185, 90sylbir 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. v  e.  x  v R w  ->  (
w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9284, 91pm2.61d1 163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
93 difsn 4106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  w  e.  x  -> 
( x  \  {
w } )  =  x )
9450expr 620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( (
x  \  { w } )  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u ) )
95 neeq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( ( x 
\  { w }
)  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) ) )
96 raleq 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9796rexbidv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u  <->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9895, 97imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( ( ( x  \  { w } )  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )  <-> 
( x  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
9994, 98syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( (
x  \  { w } )  =  x  ->  ( x  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
10099com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
x  \  { w } )  =  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
101100adantll 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
x  \  { w } )  =  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
102101impr 625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( ( x 
\  { w }
)  =  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
10393, 102syl5 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( -.  w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
10492, 103pm2.61d 162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u )
105104ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  (
( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
10623, 105syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  (
( x  C_  (
y  u.  { w } )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
107106alrimiv 1773 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  A. x
( ( x  C_  ( y  u.  {
w } )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
108 df-fr 4793 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  ( y  u. 
{ w } )  <->  A. x ( ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
109107, 108sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  R  Fr  ( y  u.  {
w } ) )
110109ex 436 . . . . 5  |-  ( R  Po  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Fr  y  ->  R  Fr  (
y  u.  { w } ) ) )
11118, 110sylcom 30 . . . 4  |-  ( ( R  Po  y  ->  R  Fr  y )  ->  ( R  Po  (
y  u.  { w } )  ->  R  Fr  ( y  u.  {
w } ) ) )
112111a1i 11 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( R  Po  y  ->  R  Fr  y )  ->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Fr  ( y  u.  { w } ) ) ) )
1133, 6, 9, 12, 14, 112findcard2 7811 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( R  Po  A  ->  R  Fr  A ) )
114113impcom 432 1  |-  ( ( R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Fr  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   class class class wbr 4402    Po wpo 4753    Fr wfr 4790   Fincfn 7569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573
This theorem is referenced by:  fimax2g  7817  wofi  7820  fimin2g  8013  isfin1-3  8816
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