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Theorem frfi 7766
Description: A partial order is well-founded on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfi  |-  ( ( R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Fr  A )

Proof of Theorem frfi
Dummy variables  u  v  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poeq2 4804 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R  Po  x  <->  R  Po  (/) ) )
2 freq2 4850 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R  Fr  x  <->  R  Fr  (/) ) )
31, 2imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <->  ( R  Po  (/)  ->  R  Fr  (/) ) ) )
4 poeq2 4804 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  Po  x  <->  R  Po  y ) )
5 freq2 4850 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  Fr  x  <->  R  Fr  y ) )
64, 5imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <-> 
( R  Po  y  ->  R  Fr  y ) ) )
7 poeq2 4804 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Po  x 
<->  R  Po  ( y  u.  { w }
) ) )
8 freq2 4850 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Fr  x 
<->  R  Fr  ( y  u.  { w }
) ) )
97, 8imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( ( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Fr  ( y  u.  { w } ) ) ) )
10 poeq2 4804 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( R  Po  x  <->  R  Po  A ) )
11 freq2 4850 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( R  Fr  x  <->  R  Fr  A ) )
1210, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( R  Po  x  ->  R  Fr  x )  <-> 
( R  Po  A  ->  R  Fr  A ) ) )
13 fr0 4858 . . . 4  |-  R  Fr  (/)
1413a1i 11 . . 3  |-  ( R  Po  (/)  ->  R  Fr  (/) )
15 ssun1 3667 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( y  u.  {
w } )
16 poss 4802 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Po  y )
)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( R  Po  ( y  u. 
{ w } )  ->  R  Po  y
)
1817imim1i 58 . . . . 5  |-  ( ( R  Po  y  ->  R  Fr  y )  ->  ( R  Po  (
y  u.  { w } )  ->  R  Fr  y ) )
19 uncom 3648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  u.  { w }
)  =  ( { w }  u.  y
)
2019sseq2i 3529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  <-> 
x  C_  ( {
w }  u.  y
) )
21 ssundif 3910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( { w }  u.  y )  <->  ( x  \  { w } )  C_  y
)
2220, 21bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  <-> 
( x  \  {
w } )  C_  y )
2322anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  ( y  u.  { w } )  /\  x  =/=  (/) )  <->  ( (
x  \  { w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )
24 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  (
v R w  <->  z R w ) )
2524cbvrexv 3089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. v  e.  x  v R w  <->  E. z  e.  x  z R w )
26 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  R  Fr  y )
27 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( x  \  { w } ) 
C_  y )
28 poss 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Po  x )
)
2928impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  x  C_  (
y  u.  { w } ) )  ->  R  Po  x )
3022, 29sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  ( x  \  { w } ) 
C_  y )  ->  R  Po  x )
3130ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  R  Po  x
)
32 simpr1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  e.  x )
33 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z R w )
34 poirr 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Po  x  /\  w  e.  x )  ->  -.  w R w )
35343ad2antr3 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  -.  w R w )
36 nbrne2 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z R w  /\  -.  w R w )  ->  z  =/=  w
)
3733, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  =/=  w )
38 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( x  \  { w } )  <-> 
( z  e.  x  /\  z  =/=  w
) )
3932, 37, 38sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  e.  ( x  \  { w } ) )
4031, 39sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  z  e.  ( x  \  { w } ) )
41 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( x  \  { w } )  ->  ( x  \  { w } )  =/=  (/) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( x  \  { w } )  =/=  (/) )
43 difss 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
\  { w }
)  C_  x
44 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
45 difexg 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  { w } )  e.  _V )
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
\  { w }
)  e.  _V
47 fri 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  \  { w } )  e.  _V  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  ( x  \  { w } )  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  (
x  \  { w } ) A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )
4846, 47mpanl1 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  (
x  \  { w } )  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  ( x  \  { w } ) A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )
49 ssrexv 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { w } )  C_  x  ->  ( E. u  e.  ( x  \  {
w } ) A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u ) )
5043, 48, 49mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  (
x  \  { w } )  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u )
5126, 27, 42, 50syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )
52 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  z  ->  (
v R u  <->  z R u ) )
5352notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  z  ->  ( -.  v R u  <->  -.  z R u ) )
5453rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( x  \  { w } )  ->  ( A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u  ->  -.  z R u ) )
5539, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  -.  z R u ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  -.  z R u ) )
57 simplr2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  z R w )
58 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  R  Po  x )
59 simplr1 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  z  e.  x )
60 simplr3 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  w  e.  x )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  u  e.  x )
62 potr 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  x  /\  u  e.  x
) )  ->  (
( z R w  /\  w R u )  ->  z R u ) )
6358, 59, 60, 61, 62syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  (
( z R w  /\  w R u )  ->  z R u ) )
6457, 63mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  (
w R u  -> 
z R u ) )
6564con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( -.  z R u  ->  -.  w R u ) )
66 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  w  e. 
_V
67 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  w  ->  (
v R u  <->  w R u ) )
6867notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  w  ->  ( -.  v R u  <->  -.  w R u ) )
6966, 68ralsn 4066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. v  e.  { w }  -.  v R u  <->  -.  w R u )
7065, 69syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( -.  z R u  ->  A. v  e.  { w }  -.  v R u ) )
7156, 70syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  A. v  e.  { w }  -.  v R u ) )
72 ralun 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  /\  A. v  e.  { w }  -.  v R u )  ->  A. v  e.  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  -.  v R u )
7372ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  ( A. v  e.  { w }  -.  v R u  ->  A. v  e.  ( ( x  \  { w } )  u.  { w }
)  -.  v R u ) )
7471, 73sylcom 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  A. v  e.  ( ( x  \  { w } )  u.  { w }
)  -.  v R u ) )
75 difsnid 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  x  ->  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  =  x )
7675raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  x  ->  ( A. v  e.  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
7760, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
( x  \  {
w } )  u. 
{ w } )  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
7874, 77sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  /\  u  e.  x )  ->  ( A. v  e.  (
x  \  { w } )  -.  v R u  ->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
7978reximdva 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Po  x  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
8031, 79sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  ( E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  { w } )  -.  v R u  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
8151, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  /\  R  Fr  y )  /\  ( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  z R w  /\  w  e.  x )
)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u )
82813exp2 1214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( z  e.  x  ->  ( z R w  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) ) )
8382rexlimdv 2953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( E. z  e.  x  z R w  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
8425, 83syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( E. v  e.  x  v R w  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
85 ralnex 2910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v  e.  x  -.  v R w  <->  -.  E. v  e.  x  v R w )
86 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  w  ->  (
v R u  <->  v R w ) )
8786notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  w  ->  ( -.  v R u  <->  -.  v R w ) )
8887ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  w  ->  ( A. v  e.  x  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R w ) )
8988rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  x  /\  A. v  e.  x  -.  v R w )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u )
9089expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v  e.  x  -.  v R w  ->  (
w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9185, 90sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. v  e.  x  v R w  ->  (
w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9284, 91pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
93 difsn 4161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  w  e.  x  -> 
( x  \  {
w } )  =  x )
9450expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( (
x  \  { w } )  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u ) )
95 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( ( x 
\  { w }
)  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) ) )
96 raleq 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u  <->  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9796rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u  <->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
9895, 97imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  \  { w } )  =  x  ->  ( ( ( x  \  { w } )  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  ( x  \  {
w } )  -.  v R u )  <-> 
( x  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
9994, 98syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( (
x  \  { w } )  =  x  ->  ( x  =/=  (/)  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
10099com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Fr  y  /\  ( x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
x  \  { w } )  =  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
101100adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
x  \  { w } )  C_  y
)  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
x  \  { w } )  =  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) ) )
102101impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( ( x 
\  { w }
)  =  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
10393, 102syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( -.  w  e.  x  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
10492, 103pm2.61d 158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Po  (
y  u.  { w } )  /\  R  Fr  y )  /\  (
( x  \  {
w } )  C_  y  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u )
105104ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  (
( ( x  \  { w } ) 
C_  y  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
10623, 105syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  (
( x  C_  (
y  u.  { w } )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
107106alrimiv 1695 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  A. x
( ( x  C_  ( y  u.  {
w } )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
108 df-fr 4838 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  ( y  u. 
{ w } )  <->  A. x ( ( x 
C_  ( y  u. 
{ w } )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  A. v  e.  x  -.  v R u ) )
109107, 108sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( R  Po  ( y  u.  { w }
)  /\  R  Fr  y )  ->  R  Fr  ( y  u.  {
w } ) )
110109ex 434 . . . . 5  |-  ( R  Po  ( y  u. 
{ w } )  ->  ( R  Fr  y  ->  R  Fr  (
y  u.  { w } ) ) )
11118, 110sylcom 29 . . . 4  |-  ( ( R  Po  y  ->  R  Fr  y )  ->  ( R  Po  (
y  u.  { w } )  ->  R  Fr  ( y  u.  {
w } ) ) )
112111a1i 11 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( R  Po  y  ->  R  Fr  y )  ->  ( R  Po  ( y  u.  {
w } )  ->  R  Fr  ( y  u.  { w } ) ) ) )
1133, 6, 9, 12, 14, 112findcard2 7761 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( R  Po  A  ->  R  Fr  A ) )
114113impcom 430 1  |-  ( ( R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Fr  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447    Po wpo 4798    Fr wfr 4835   Fincfn 7517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6686  df-1o 7131  df-er 7312  df-en 7518  df-fin 7521
This theorem is referenced by:  fimax2g  7767  wofi  7770  isfin1-3  8767
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