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Theorem fresaunres2 5739
Description: From the union of two functions that agree on the domain overlap, either component can be recovered by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fresaunres2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  u.  G
)  |`  B )  =  G )

Proof of Theorem fresaunres2
StepHypRef Expression
1 ffn 5713 . . . 4  |-  ( F : A --> C  ->  F  Fn  A )
2 ffn 5713 . . . 4  |-  ( G : B --> C  ->  G  Fn  B )
3 id 22 . . . 4  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B
) ) )
4 resasplit 5737 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1268 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
65reseq1d 5261 . 2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  u.  G
)  |`  B )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  |`  B ) )
7 resundir 5276 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  |`  B )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  u.  (
( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) )  |`  B ) )
8 inss2 3705 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
9 resabs2 5292 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  B  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  =  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  =  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )
11 resundir 5276 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  |`  B )  =  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) )
1210, 11uneq12i 3642 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  u.  (
( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) )  |`  B ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) ) )
13 dmres 5282 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )
14 dmres 5282 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( F  |`  ( A  \  B ) )  =  ( ( A  \  B )  i^i  dom  F )
1514ineq2i 3683 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  dom  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  =  ( B  i^i  (
( A  \  B
)  i^i  dom  F ) )
16 disjdif 3888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
1716ineq1i 3682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  ( A 
\  B ) )  i^i  dom  F )  =  ( (/)  i^i  dom  F )
18 inass 3694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  ( A 
\  B ) )  i^i  dom  F )  =  ( B  i^i  ( ( A  \  B )  i^i  dom  F ) )
19 inss1 3704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i 
dom  F )  C_  (/)
20 0ss 3813 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  ( (/) 
i^i  dom  F )
2119, 20eqssi 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  i^i 
dom  F )  =  (/)
2217, 18, 213eqtr3i 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  ( ( A 
\  B )  i^i 
dom  F ) )  =  (/)
2315, 22eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  dom  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  =  (/)
2413, 23eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  dom  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/)
25 relres 5289 . . . . . . . . 9  |-  Rel  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )
26 reldm0 5209 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  ->  ( ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  |`  B )  =  (/)  <->  dom  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  |`  B )  =  (/) ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/)  <->  dom  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/) )
2824, 27mpbir 209 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/)
29 difss 3617 . . . . . . . 8  |-  ( B 
\  A )  C_  B
30 resabs2 5292 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B )  =  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B )  =  ( G  |`  ( B  \  A ) )
3228, 31uneq12i 3642 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) )  =  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
3332uneq2i 3641 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  |`  B )  u.  ( ( G  |`  ( B  \  A
) )  |`  B ) ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )
34 simp3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )
3534uneq1d 3643 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
36 uncom 3634 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( B  \  A ) )  u.  (/) )
37 un0 3809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  |`  ( B  \  A ) )  u.  (/) )  =  ( G  |`  ( B  \  A ) )
3836, 37eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  ( G  |`  ( B  \  A
) )
3938uneq2i 3641 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
40 resundi 5275 . . . . . . . . 9  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
41 incom 3677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
4241uneq1i 3640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B 
\  A ) )
43 inundif 3894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
4442, 43eqtri 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
4544reseq2i 5259 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  ( G  |`  B )
46 fnresdm 5672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  B  ->  ( G  |`  B )  =  G )
472, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : B --> C  -> 
( G  |`  B )  =  G )
4847adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( G  |`  B )  =  G )
4945, 48syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  G )
5040, 49syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( ( G  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  G )
5139, 50syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( ( G  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( (/) 
u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  G )
52513adant3 1014 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  G )
5335, 52eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  G )
5433, 53syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) ) )  =  G )
5512, 54syl5eq 2507 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  |`  B ) )  =  G )
567, 55syl5eq 2507 . 2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  |`  B )  =  G )
576, 56eqtrd 2495 1  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  u.  G
)  |`  B )  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   dom cdm 4988    |` cres 4990   Rel wrel 4993    Fn wfn 5565   -->wf 5566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-xp 4994  df-rel 4995  df-dm 4998  df-res 5000  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574
This theorem is referenced by:  fresaunres1  5740  mapunen  7679  ptuncnv  20474  cvmliftlem10  29003  elmapresaunres2  30944
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