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Theorem fresaunres2 5604
Description: From the union of two functions that agree on the domain overlap, either component can be recovered by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fresaunres2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  u.  G
)  |`  B )  =  G )

Proof of Theorem fresaunres2
StepHypRef Expression
1 ffn 5580 . . . 4  |-  ( F : A --> C  ->  F  Fn  A )
2 ffn 5580 . . . 4  |-  ( G : B --> C  ->  G  Fn  B )
3 id 22 . . . 4  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B
) ) )
4 resasplit 5602 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1260 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
65reseq1d 5130 . 2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  u.  G
)  |`  B )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  |`  B ) )
7 resundir 5146 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  |`  B )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  u.  (
( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) )  |`  B ) )
8 inss2 3592 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
9 resabs2 5161 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  B  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  =  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  =  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )
11 resundir 5146 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  |`  B )  =  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) )
1210, 11uneq12i 3529 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  u.  (
( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) )  |`  B ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) ) )
13 dmres 5152 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )
14 dmres 5152 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( F  |`  ( A  \  B ) )  =  ( ( A  \  B )  i^i  dom  F )
1514ineq2i 3570 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  dom  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  =  ( B  i^i  (
( A  \  B
)  i^i  dom  F ) )
16 disjdif 3772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
1716ineq1i 3569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  ( A 
\  B ) )  i^i  dom  F )  =  ( (/)  i^i  dom  F )
18 inass 3581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  ( A 
\  B ) )  i^i  dom  F )  =  ( B  i^i  ( ( A  \  B )  i^i  dom  F ) )
19 inss1 3591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i 
dom  F )  C_  (/)
20 0ss 3687 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  ( (/) 
i^i  dom  F )
2119, 20eqssi 3393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  i^i 
dom  F )  =  (/)
2217, 18, 213eqtr3i 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  ( ( A 
\  B )  i^i 
dom  F ) )  =  (/)
2315, 22eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  dom  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  =  (/)
2413, 23eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  dom  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/)
25 relres 5159 . . . . . . . . 9  |-  Rel  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )
26 reldm0 5078 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  ->  ( ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  |`  B )  =  (/)  <->  dom  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  |`  B )  =  (/) ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/)  <->  dom  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/) )
2824, 27mpbir 209 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/)
29 difss 3504 . . . . . . . 8  |-  ( B 
\  A )  C_  B
30 resabs2 5161 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B )  =  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B )  =  ( G  |`  ( B  \  A ) )
3228, 31uneq12i 3529 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) )  =  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
3332uneq2i 3528 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  |`  B )  u.  ( ( G  |`  ( B  \  A
) )  |`  B ) ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )
34 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )
3534uneq1d 3530 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
36 uncom 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( B  \  A ) )  u.  (/) )
37 un0 3683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  |`  ( B  \  A ) )  u.  (/) )  =  ( G  |`  ( B  \  A ) )
3836, 37eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  ( G  |`  ( B  \  A
) )
3938uneq2i 3528 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
40 resundi 5145 . . . . . . . . 9  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
41 incom 3564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
4241uneq1i 3527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B 
\  A ) )
43 inundif 3778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
4442, 43eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
4544reseq2i 5128 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  ( G  |`  B )
46 fnresdm 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  B  ->  ( G  |`  B )  =  G )
472, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : B --> C  -> 
( G  |`  B )  =  G )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( G  |`  B )  =  G )
4945, 48syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  G )
5040, 49syl5eqr 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( ( G  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  G )
5139, 50syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( ( G  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( (/) 
u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  G )
52513adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  G )
5335, 52eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  G )
5433, 53syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) ) )  =  G )
5512, 54syl5eq 2487 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  |`  B ) )  =  G )
567, 55syl5eq 2487 . 2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  |`  B )  =  G )
576, 56eqtrd 2475 1  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  u.  G
)  |`  B )  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    \ cdif 3346    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   dom cdm 4861    |` cres 4863   Rel wrel 4866    Fn wfn 5434   -->wf 5435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-br 4314  df-opab 4372  df-xp 4867  df-rel 4868  df-dm 4871  df-res 4873  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443
This theorem is referenced by:  fresaunres1  5605  mapunen  7501  ptuncnv  19402  cvmliftlem10  27205  elmapresaunres2  29136
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