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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fresaun | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The union of two functions which agree on their common domain is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) |
Ref | Expression |
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fresaun |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp1 1008 |
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2 | inss1 3652 |
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3 | fssres 5749 |
. . . 4
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4 | 1, 2, 3 | sylancl 668 |
. . 3
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5 | difss 3560 |
. . . . 5
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6 | fssres 5749 |
. . . . 5
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7 | 1, 5, 6 | sylancl 668 |
. . . 4
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8 | simp2 1009 |
. . . . 5
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9 | difss 3560 |
. . . . 5
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10 | fssres 5749 |
. . . . 5
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11 | 8, 9, 10 | sylancl 668 |
. . . 4
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12 | indifdir 3699 |
. . . . . 6
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13 | disjdif 3839 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | difeq1i 3547 |
. . . . . 6
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15 | 0dif 3838 |
. . . . . 6
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16 | 12, 14, 15 | 3eqtri 2477 |
. . . . 5
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17 | 16 | a1i 11 |
. . . 4
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18 | fun2 5747 |
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19 | 7, 11, 17, 18 | syl21anc 1267 |
. . 3
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20 | indi 3689 |
. . . . 5
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21 | inass 3642 |
. . . . . . 7
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22 | disjdif 3839 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | ineq2i 3631 |
. . . . . . 7
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24 | in0 3760 |
. . . . . . 7
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25 | 21, 23, 24 | 3eqtri 2477 |
. . . . . 6
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26 | incom 3625 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | ineq1i 3630 |
. . . . . . 7
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28 | inass 3642 |
. . . . . . . 8
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29 | 13 | ineq2i 3631 |
. . . . . . . 8
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30 | in0 3760 |
. . . . . . . 8
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31 | 28, 29, 30 | 3eqtri 2477 |
. . . . . . 7
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32 | 27, 31 | eqtri 2473 |
. . . . . 6
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33 | 25, 32 | uneq12i 3586 |
. . . . 5
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34 | un0 3759 |
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35 | 20, 33, 34 | 3eqtri 2477 |
. . . 4
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36 | 35 | a1i 11 |
. . 3
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37 | fun2 5747 |
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38 | 4, 19, 36, 37 | syl21anc 1267 |
. 2
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39 | ffn 5728 |
. . . . 5
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40 | ffn 5728 |
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41 | id 22 |
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42 | resasplit 5753 |
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43 | 39, 40, 41, 42 | syl3an 1310 |
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44 | 43 | feq1d 5714 |
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45 | un12 3592 |
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46 | 26 | uneq1i 3584 |
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47 | inundif 3845 |
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48 | 46, 47 | eqtri 2473 |
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49 | 48 | uneq2i 3585 |
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50 | undif1 3842 |
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51 | 45, 49, 50 | 3eqtri 2477 |
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52 | 51 | feq2i 5721 |
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53 | 44, 52 | syl6rbbr 268 |
. 2
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54 | 38, 53 | mpbid 214 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pr 4639 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-ral 2742 df-rex 2743 df-rab 2746 df-v 3047 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-nul 3732 df-if 3882 df-sn 3969 df-pr 3971 df-op 3975 df-br 4403 df-opab 4462 df-id 4749 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 |
This theorem is referenced by: cvmliftlem10 30017 elmapresaun 35613 |
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