Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fresaun Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fresaun 5766
 Description: The union of two functions which agree on their common domain is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fresaun

Proof of Theorem fresaun
StepHypRef Expression
1 simp1 1030 . . . 4
2 inss1 3643 . . . 4
3 fssres 5761 . . . 4
41, 2, 3sylancl 675 . . 3
5 difss 3549 . . . . 5
6 fssres 5761 . . . . 5
71, 5, 6sylancl 675 . . . 4
8 simp2 1031 . . . . 5
9 difss 3549 . . . . 5
10 fssres 5761 . . . . 5
118, 9, 10sylancl 675 . . . 4
12 indifdir 3690 . . . . . 6
13 disjdif 3830 . . . . . . 7
1413difeq1i 3536 . . . . . 6
15 0dif 3771 . . . . . 6
1612, 14, 153eqtri 2497 . . . . 5
1716a1i 11 . . . 4
18 fun2 5759 . . . 4
197, 11, 17, 18syl21anc 1291 . . 3
20 indi 3680 . . . . 5
21 inass 3633 . . . . . . 7
22 disjdif 3830 . . . . . . . 8
2322ineq2i 3622 . . . . . . 7
24 in0 3763 . . . . . . 7
2521, 23, 243eqtri 2497 . . . . . 6
26 incom 3616 . . . . . . . 8
2726ineq1i 3621 . . . . . . 7
28 inass 3633 . . . . . . . 8
2913ineq2i 3622 . . . . . . . 8
30 in0 3763 . . . . . . . 8
3128, 29, 303eqtri 2497 . . . . . . 7
3227, 31eqtri 2493 . . . . . 6
3325, 32uneq12i 3577 . . . . 5
34 un0 3762 . . . . 5
3520, 33, 343eqtri 2497 . . . 4
3635a1i 11 . . 3
37 fun2 5759 . . 3
384, 19, 36, 37syl21anc 1291 . 2
39 ffn 5739 . . . . 5
40 ffn 5739 . . . . 5
41 id 22 . . . . 5
42 resasplit 5765 . . . . 5
4339, 40, 41, 42syl3an 1334 . . . 4
4443feq1d 5724 . . 3
45 un12 3583 . . . . 5
4626uneq1i 3575 . . . . . . 7
47 inundif 3836 . . . . . . 7
4846, 47eqtri 2493 . . . . . 6
4948uneq2i 3576 . . . . 5
50 undif1 3833 . . . . 5
5145, 49, 503eqtri 2497 . . . 4
5251feq2i 5731 . . 3
5344, 52syl6rbbr 272 . 2
5438, 53mpbid 215 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 1007   wceq 1452   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722   cres 4841   wfn 5584  wf 5585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593 This theorem is referenced by:  cvmliftlem10  30089  elmapresaun  35684
 Copyright terms: Public domain W3C validator