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Theorem fresaun 5746
Description: The union of two functions which agree on their common domain is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fresaun  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )

Proof of Theorem fresaun
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  F : A --> C )
2 inss1 3703 . . . 4  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
3 fssres 5741 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  A )  -> 
( F  |`  ( A  i^i  B ) ) : ( A  i^i  B ) --> C )
41, 2, 3sylancl 662 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) : ( A  i^i  B ) --> C )
5 difss 3616 . . . . 5  |-  ( A 
\  B )  C_  A
6 fssres 5741 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> C  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( F  |`  ( A  \  B ) ) : ( A  \  B ) --> C )
71, 5, 6sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  \  B ) ) : ( A  \  B
) --> C )
8 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  G : B --> C )
9 difss 3616 . . . . 5  |-  ( B 
\  A )  C_  B
10 fssres 5741 . . . . 5  |-  ( ( G : B --> C  /\  ( B  \  A ) 
C_  B )  -> 
( G  |`  ( B  \  A ) ) : ( B  \  A ) --> C )
118, 9, 10sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( G  |`  ( B  \  A ) ) : ( B  \  A
) --> C )
12 indifdir 3739 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  B )  i^i  ( B  \  A ) )  =  ( ( A  i^i  ( B  \  A ) )  \  ( B  i^i  ( B  \  A ) ) )
13 disjdif 3886 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
1413difeq1i 3603 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  ( B 
\  A ) ) 
\  ( B  i^i  ( B  \  A ) ) )  =  (
(/)  \  ( B  i^i  ( B  \  A
) ) )
15 0dif 3885 . . . . . 6  |-  ( (/)  \  ( B  i^i  ( B  \  A ) ) )  =  (/)
1612, 14, 153eqtri 2476 . . . . 5  |-  ( ( A  \  B )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( A  \  B
)  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )
18 fun2 5739 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) ) : ( A 
\  B ) --> C  /\  ( G  |`  ( B  \  A ) ) : ( B 
\  A ) --> C )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) : ( ( A  \  B )  u.  ( B  \  A ) ) --> C )
197, 11, 17, 18syl21anc 1228 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) : ( ( A  \  B
)  u.  ( B 
\  A ) ) --> C )
20 indi 3729 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  ( ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B
) )  u.  (
( A  i^i  B
)  i^i  ( B  \  A ) ) )
21 inass 3693 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  ( A  i^i  ( B  i^i  ( A  \  B ) ) )
22 disjdif 3886 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
2322ineq2i 3682 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( B  i^i  ( A  \  B ) ) )  =  ( A  i^i  (/) )
24 in0 3797 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (/)
2521, 23, 243eqtri 2476 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
26 incom 3676 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
2726ineq1i 3681 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( B  \  A ) )  =  ( ( B  i^i  A )  i^i  ( B 
\  A ) )
28 inass 3693 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  A )  i^i  ( B  \  A ) )  =  ( B  i^i  ( A  i^i  ( B  \  A ) ) )
2913ineq2i 3682 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( A  i^i  ( B  \  A ) ) )  =  ( B  i^i  (/) )
30 in0 3797 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  (/) )  =  (/)
3128, 29, 303eqtri 2476 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  A )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
3227, 31eqtri 2472 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
3325, 32uneq12i 3641 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  ( A  \  B ) )  u.  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( B 
\  A ) ) )  =  ( (/)  u.  (/) )
34 un0 3796 . . . . 5  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
3520, 33, 343eqtri 2476 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  (/)
3635a1i 11 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  ( ( A  \  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  (/) )
37 fun2 5739 . . 3  |-  ( ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) : ( A  i^i  B ) --> C  /\  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) : ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) --> C )  /\  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  \  B )  u.  ( B  \  A ) ) )  =  (/) )  -> 
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( A  \  B )  u.  ( B  \  A ) ) ) --> C )
384, 19, 36, 37syl21anc 1228 . 2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) ) --> C )
39 ffn 5721 . . . . 5  |-  ( F : A --> C  ->  F  Fn  A )
40 ffn 5721 . . . . 5  |-  ( G : B --> C  ->  G  Fn  B )
41 id 22 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B
) ) )
42 resasplit 5745 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
4339, 40, 41, 42syl3an 1271 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
4443feq1d 5707 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  u.  G
) : ( A  u.  B ) --> C  <-> 
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
45 un12 3647 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  ( ( A  \  B )  u.  (
( A  i^i  B
)  u.  ( B 
\  A ) ) )
4626uneq1i 3639 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B 
\  A ) )
47 inundif 3892 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
4846, 47eqtri 2472 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
4948uneq2i 3640 . . . . 5  |-  ( ( A  \  B )  u.  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  ( ( A  \  B )  u.  B
)
50 undif1 3889 . . . . 5  |-  ( ( A  \  B )  u.  B )  =  ( A  u.  B
)
5145, 49, 503eqtri 2476 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  ( A  u.  B
)
5251feq2i 5714 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) ) --> C  <-> 
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( A  u.  B ) --> C )
5344, 52syl6rbbr 264 . 2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( A  \  B )  u.  ( B  \  A ) ) ) --> C  <->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
5438, 53mpbid 210 1  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1383    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770    |` cres 4991    Fn wfn 5573   -->wf 5574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582
This theorem is referenced by:  cvmliftlem10  28612  elmapresaun  30679
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