Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege91 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frege91 36621
Description: Every result of an application of a procedure  R to an object  X follows that  X in the  R-sequence. Proposition 91 of [Frege1879] p. 68. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege91.x  |-  X  e.  U
frege91.y  |-  Y  e.  V
frege91.r  |-  R  e.  W
Assertion
Ref Expression
frege91  |-  ( X R Y  ->  X
( t+ `  R ) Y )

Proof of Theorem frege91
Dummy variables  f 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege91.y . . . . 5  |-  Y  e.  V
21frege63c 36593 . . . 4  |-  ( [. Y  /  a ]. X R a  ->  ( R hereditary  f  ->  ( A. a ( X R a  ->  a  e.  f )  ->  [. Y  /  a ]. a  e.  f ) ) )
3 sbcbr2g 4451 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  V  ->  ( [. Y  /  a ]. X R a  <->  X R [_ Y  /  a ]_ a ) )
4 csbvarg 3796 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  V  ->  [_ Y  /  a ]_ a  =  Y )
54breq2d 4407 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  V  ->  ( X R [_ Y  / 
a ]_ a  <->  X R Y ) )
63, 5bitrd 261 . . . . 5  |-  ( Y  e.  V  ->  ( [. Y  /  a ]. X R a  <->  X R Y ) )
71, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( [. Y  /  a ]. X R a  <->  X R Y )
8 sbcel1v 3314 . . . . . 6  |-  ( [. Y  /  a ]. a  e.  f  <->  Y  e.  f
)
98imbi2i 319 . . . . 5  |-  ( ( A. a ( X R a  ->  a  e.  f )  ->  [. Y  /  a ]. a  e.  f )  <->  ( A. a ( X R a  ->  a  e.  f )  ->  Y  e.  f ) )
109imbi2i 319 . . . 4  |-  ( ( R hereditary  f  ->  ( A. a ( X R a  ->  a  e.  f )  ->  [. Y  /  a ]. a  e.  f ) )  <->  ( R hereditary  f  ->  ( A. a
( X R a  ->  a  e.  f )  ->  Y  e.  f ) ) )
112, 7, 103imtr3i 273 . . 3  |-  ( X R Y  ->  ( R hereditary  f  ->  ( A. a ( X R a  ->  a  e.  f )  ->  Y  e.  f ) ) )
1211alrimiv 1781 . 2  |-  ( X R Y  ->  A. f
( R hereditary  f  ->  ( A. a ( X R a  ->  a  e.  f )  ->  Y  e.  f ) ) )
13 frege91.x . . 3  |-  X  e.  U
14 frege91.r . . 3  |-  R  e.  W
1513, 1, 14frege90 36620 . 2  |-  ( ( X R Y  ->  A. f ( R hereditary  f  -> 
( A. a ( X R a  -> 
a  e.  f )  ->  Y  e.  f ) ) )  -> 
( X R Y  ->  X ( t+ `  R ) Y ) )
1612, 15ax-mp 5 1  |-  ( X R Y  ->  X
( t+ `  R ) Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189   A.wal 1450    e. wcel 1904   [.wsbc 3255   [_csb 3349   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   t+ctcl 13124   hereditary whe 36438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-frege1 36457  ax-frege2 36458  ax-frege8 36476  ax-frege52a 36524  ax-frege58b 36568
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-ifp 984  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-trcl 13126  df-relexp 13161  df-he 36439
This theorem is referenced by:  frege92  36622
  Copyright terms: Public domain W3C validator