Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege131d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frege131d 36350
 Description: If is a function and contains all elements of and all elements before or after those elements of in the transitive closure of , then the image under of is a subclass of . Similar to Proposition 131 of [Frege1879] p. 85. Compare with frege131 36584. (Contributed by RP, 17-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege131d.f
frege131d.a
frege131d.fun
Assertion
Ref Expression
frege131d

Proof of Theorem frege131d
StepHypRef Expression
1 frege131d.f . . . . 5
2 trclfvlb 13065 . . . . 5
3 imass1 5202 . . . . 5
41, 2, 33syl 18 . . . 4
5 ssun2 3597 . . . . 5
6 ssun2 3597 . . . . 5
75, 6sstri 3440 . . . 4
84, 7syl6ss 3443 . . 3
9 trclfvdecomr 36314 . . . . . . . . . . . 12
101, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11
1110cnveqd 5009 . . . . . . . . . 10
12 cnvun 5240 . . . . . . . . . . 11
13 cnvco 5019 . . . . . . . . . . . 12
1413uneq2i 3584 . . . . . . . . . . 11
1512, 14eqtri 2472 . . . . . . . . . 10
1611, 15syl6eq 2500 . . . . . . . . 9
1716coeq2d 4996 . . . . . . . 8
18 coundi 5335 . . . . . . . . 9
19 frege131d.fun . . . . . . . . . . 11
20 funcocnv2 5836 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10
22 coass 5353 . . . . . . . . . . . 12
2322eqcomi 2459 . . . . . . . . . . 11
2421coeq1d 4995 . . . . . . . . . . 11
2523, 24syl5eq 2496 . . . . . . . . . 10
2621, 25uneq12d 3588 . . . . . . . . 9
2718, 26syl5eq 2496 . . . . . . . 8
2817, 27eqtrd 2484 . . . . . . 7
2928imaeq1d 5166 . . . . . 6
30 imaundir 5248 . . . . . 6
3129, 30syl6eq 2500 . . . . 5
32 resss 5127 . . . . . . . . 9
33 imass1 5202 . . . . . . . . 9
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8
35 imai 5179 . . . . . . . 8
3634, 35sseqtri 3463 . . . . . . 7
37 imaco 5339 . . . . . . . 8
38 imass1 5202 . . . . . . . . . 10
3932, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9
40 imai 5179 . . . . . . . . 9
4139, 40sseqtri 3463 . . . . . . . 8
4237, 41eqsstri 3461 . . . . . . 7
43 unss12 3605 . . . . . . 7
4436, 42, 43mp2an 677 . . . . . 6
45 ssun1 3596 . . . . . . 7
46 unass 3590 . . . . . . 7
4745, 46sseqtri 3463 . . . . . 6
4844, 47sstri 3440 . . . . 5
4931, 48syl6eqss 3481 . . . 4
50 coss1 4989 . . . . . . . 8
511, 2, 503syl 18 . . . . . . 7
52 trclfvcotrg 13073 . . . . . . 7
5351, 52syl6ss 3443 . . . . . 6
54 imass1 5202 . . . . . 6
5553, 54syl 17 . . . . 5
5655, 7syl6ss 3443 . . . 4
5749, 56unssd 3609 . . 3
588, 57unssd 3609 . 2
59 frege131d.a . . . 4
6059imaeq2d 5167 . . 3
61 imaundi 5247 . . . 4
62 imaundi 5247 . . . . . 6
63 imaco 5339 . . . . . . . 8
6463eqcomi 2459 . . . . . . 7
65 imaco 5339 . . . . . . . 8
6665eqcomi 2459 . . . . . . 7
6764, 66uneq12i 3585 . . . . . 6
6862, 67eqtri 2472 . . . . 5
6968uneq2i 3584 . . . 4
7061, 69eqtri 2472 . . 3
7160, 70syl6eq 2500 . 2
7258, 71, 593sstr4d 3474 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1443   wcel 1886  cvv 3044   cun 3401   wss 3403   cid 4743  ccnv 4832   crn 4834   cres 4835  cima 4836   ccom 4837   wfun 5575  cfv 5581  ctcl 13042 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-seq 12211  df-trcl 13044  df-relexp 13077 This theorem is referenced by:  frege133d  36351
 Copyright terms: Public domain W3C validator